第Ⅱ类双色完全平方数的构造

《中学数学月刊》文[1]研究了2n位（不妨称为第Ⅰ类）双色完全平方数的构造,本文给出2n 1位（第Ⅱ类）双色完全平方数的定义及其构造。 定义 若2n l位自然数a_(2n 1)a_(2n)…a_2a_1（n∈N_ ）是一个完全平方数,且a_(2n 1)a(2n)…a(n 1) a_n…a_2a_1也是一个完全平方数,则称a_(2n 1)a_(2n)…a_2a_1     

完全平方数的一种判定法及其应用

在数论中,如果正整数n等于另一个整数的平方,则称n是一个完全平方数,完全平方数在数论中占有重要地位,因为完全平方数有许多重要性质。本文介绍完全平方数的一种判定方法,以及这种方法在解其它问题中的应用。完全平方数的这种判定方法,归结为如下的定理: 定理一个正整数n是一个完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身)。     

双色完全平方数的构造

定义 若自然数a_1a_2…a_(2n)(n∈N)是一个完全平方数,且 a_1a_2…a_n (a_(n 1))(a_(n 2))…(a_(2n))也是一个完全平方数,则称a_1a_2…a_(2n)为双     

n~(1/2)是有理数还是无理数

马继英[1]用初等方法证明:如果n不是完全平方数,则是无理数.[1]的证法较繁,且不易推广到的讨论,我们给出一个适用于一般情况的简单的初等证明n不是完全平方数,则是无理数证:n不是完全平方数,则n=P_1~(a1)P_2~(a2)…P_t~(at),且其中必有某一α,为奇数,不妨设     

K3,4的生成子图的计数和构造

给出了生成子图的定义;证明了生成子图的计数定理和构造定理;提出了生成树的计数方法和构造方法;介绍了完全二分图K3,4的生成子图的计数和构造.     

N维欧氏空间中开集的各种区间构造

本文在分析了以往开集构造定理证明的基础上,完全从开集的定义出发给出了直线上和高维欧氏空间上开集构造定理的另一证明．如果在开集构造中不要求区间互不相交,还给出并证明了高维欧氏空间上开集的左开右闭、开区间、闭区间构造定理．     

问题3．4

如果对于不小于8的自然数n，3n 1是一个完全平方数时，n 1都能表示成k个完全平方数的和，求k的值．     

完全平方数（下）

4利用完全平方数序列的间距特征 完全平方数序列的间距具有如下特征：（1）m^2-n^2≥3（0〈n〈m,m、n∈N）;（2）m^2与（m＋1）^2之间不存在完全平方数,即：若m^2〈P〈（m＋1）^2,则p不是完全平方数．     

完全平方数和完全平方式

设n是自然数,若存在自然数m,使得n=m^2,则称n是一个完全平方数（或平方数）．     

n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数

对于任意自然数 n,n~2与(n 1)~2之间没有自然数的完全平方数,这是一个非常明显的数学事实.在处理某些涉及完全平方数的数学竞赛试题时,这一结论有着不可低估的作用.下面以各地数学竞赛试题为例来说明.例1 对于任意自然数 n,试说明,数 n~4 2n~3 2n~2 2n 1不可能是完全平方数.     

《因式分解》测试题

大排列的前4个完全平方数,并指出当n满足什么条件时,an为完全平方数（不必说明理由）．     

一道国际数学竞赛题的巧解(初一、初二、初三)

题求所有这样的正整数n,使得2“ 21‘ 2”是一个自然数的完全平方. (全俄第6属中学生奥林匹克竟赛试题) 解(l)当n<8时, N=28 2“ 2月=2.(28一 2“一 1). 因为N为偶数,2s一”十211一”十1为奇数, 所以2”必为完全平方数, 即n为偶数,n只能取2,4,6. 当n一2时, N一28 211 2,=22(26 29 1), 经检验不是完全平方数. 当n一4时, N~28 2“ 2‘~24(24 2, 1), 经检验也不是完全平方数. 当n一6时, N=28十2“ 26=26(22 25十1), 也不是完全平方数. (2)当n)8时, N=28 21‘ 2.一28(1 23 2r8) ~28(9 2~8). 因为2s是完全平方数, 所以9 2间必是完全平方数. …     

完全平方数的一个性质及应用举例

在自然数中,因为1=1~2,4=2~2,9=3~2,16=4~2,…,N=n~2,则称1,4,9,16,…,N为完全平方数.除完全平方数外,则其余称为非完全平方数.定理 完全平方数有奇数个因数;非完全平方数有偶数个因数.证明 若N是一个非完全平方数,则对它进行因数分解时,必有成对的因数,其一小于N~(1/2),另一必大于N~(1/2).例如 N=12,对12进行因数分解如下:12=1×12,12=2×6,12=3×4,     

判定某数是相邻两整数之积的一个定理

有关相邻两整数之积的问题,经常出现在数学竞赛题之中.本文将给出一个判定某数是相邻两整数之积的定理,并利用它来解决一些有关的问题.定理万是相邻两整数之积的充要条件是4M十1为完全平方数. 证明先证必要     

完全平方数

完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方．如：３６＝６×６，４９＝７×７．你知道下面几个好玩的事实吗？１．从１开始的n个奇数的和是一个完全平方数．即１＋３＋５＋…＋（２n－１）＝n２．例如，１＋３＋５＋７＋９＝２５．２．每一个完全平方数的末位数是０，１，４，５，或９．３．每一个完全平方数要么能被３整除，要么减去１能被３整除．４．每一个完全平方数要么能被４整除，要么减去１能被４整除．５．每一个完全平方数要么能被５整除，要么加上１或减去１能被５整除．完全平方数@田各     

递推数列中的完全平方数分析

完全平方数分析是竞赛数论中的常见问题,文[1]归纳了一些判断完全平方数的方法.而在近年的赛题中,还出现了以(递推)数列为载体的完全平方数分析问题,这类问题中,不仅涉及到完全平方数的性质研究,还需要借助递推数列的处理技巧,如构造、配凑、变阶等,形成别具一格的题型.本文针对这类问题,在解题方法上进行探究和归纳,以飨读者.     

一道2012克罗地亚数学竞赛题的探究

2012年克罗地亚数学竞赛试题如下: 试题 已知n、d是正整数,满足d| 2n2.证明:n2 +d不是一个完全平方数. 笔者思考将条件一般化,试题是否可以推广呢?即若已知n、m、d是正整数,满足d| mn2,那么n2 +d是不是一个完全平方数呢?     

争鸣

本刊文[1]对问题:是否存在 n∈N,使 f(n)=2~(100) 2~(1050) 2~n 是一个完全平方数?给出了一种简便解法,拜读之后,觉得解法有误,为便于阅读,现摘其部分如下:分析     

对“平方数猜想”的思考

湖南中学数学网在2006年8月6日转载了一篇有关平方数猜想的文章,内容是:"……希托突玛图(S.Hitotumatu)提出了一个猜想:除了10~(2n),4×10~(2n),9×10~(2n)之外,由两个数字组成的完全平方数只有有限个.这个猜想至今未获证明.一般的,对于 k(k=2,3,4,…,9)个不同数字组成的完全平方数,能做出什么结论呢?我们知道,完     

2004西部数学奥林匹克

第一天 一、求所有的整数n,使得n4+6n3+11 n2+3n+31是完全平方数.