关于“直线和圆的位置关系”教学的若干思考

以"直线和圆的位置关系"内容为切入点,结合具体数学教学实践,探讨那些"想当然"背后的"故事",希望可以起到一点抛砖引玉的作用。一、"动直线"还是"动圆"以及"怎么动"的思考"直线和圆的位置关系"是初中几何的重要内容,对于这一教学内容,在揭示他们位置关系(相离、相切、相交)的教学过程中教师一般有两个思路,一是圆不动,动直线(方案一,见图1);图1二是直线不动,动圆,而"动圆"又牵扯到两种方案,一种是在不改变圆的形状的前提下,改变圆的位置(方     

“斜向”垂线段的最值求解策略

<正>2015年中考压轴题出现了一类新题型:求抛物线上的动点到定直线的距离的最大(小)值问题,解答时一般先画出动点到定直线的垂线段,然后再求垂线段的长.由于定直线不与x轴(或y轴)平行,垂线段往往是"斜向"的,直接求其长度比较困难.这类问题的求解策略是:先过动点作y轴的平行线与定直线相交,再利用条件建立动点与交点连成的线段长、"斜向"垂线段长之间的等量关系,进而设出动点坐标,根据等量关系得到"斜向"垂线段长的函数表达式求最大(小)值.下面举例说明.     

例析直线与圆中的“动中有静”问题

我们经常会遇到含参数的直线和圆的方程,这样的直线和圆称为动直线和动圆.动直线和动圆常常含有不动的元素,也就是所谓的＂动中有静＂.本文通过举例分析动直线与动圆中的不动元素,供大家参考.     

利用动直线恒过定点优化解题过程

<正>有些动直线恒过定点,解题时若能从定点入手,往往可起到"点"到路开、化难为易的功效.下面笔者通过例题介绍动直线恒过定点在解题中的应用.例1(2014年四川高考题)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA||PB|的最大值是.解直线x+my=0过定点A(0,0).直     

“一定一动”巧转化 “数形结合”解参数

<正>含参数二次函数与方程、不等式问题是中考和自主招生的一个热点问题,常见的有二次函数与直线在一定区间的交点问题;二次函数在一定区间函数值的范围问题;一元二次方程根的分布问题等等,这些问题的解答,都可以通过图象数形结合的分析,将问题转化为"动抛物线"与"定线段"或者是"定抛物线"与"动直线"的关系问题来研究.笔者以2018年中考题及自编试题为例,按照参数的位置不同,作归类研究,化繁为简,求解参数.1 二次函数与直线在一定区间的交点问题     

动点到动点距离最值的求解策略

<正>距离问题为大家熟知,动点到定点距离、动点到定直线距离、动点到动点距离常常成为高考命题的第一视角得到青睐.前两种距离有模式可寻,但对于动点到动点距离,学生颇感棘手.下面笔者对该问题从不同角度进行灵活化归,化"动"为"静",焕发新的活力.1利用反函数图象的对称化归为点到直线的距离     

利用动直线恒过定点优化解题过程

有些动直线恒过定点,解题时若善于挖掘和利用这个"小不点",从定点入手,把定点作为寻找解题思路的切入点和突破口,往往可起到"点"到路开,曲径通幽,化繁为简、化难为易优化解题过程之功效.下面笔者通过例题介绍动直线恒过定点在解题中的应用.     

初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略

动点轨迹问题对于初中生来说既是重点也是难点.文章归纳出初中常见的两大类动点轨迹类型——圆弧型和直线型.列举具体实例对学生比较困惑的两种动点轨迹问题(即"定边对定角"的动点轨迹和动点与定点的连线与定直线的夹角为定角的动点轨迹)进行分析讲解:题目中如能找到定边对定角,则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上,这一类型关键的突破口是求出定边对面角的具体度数,为定值.而题目中如出现动点与定点的连线与定直线的夹角为定角时,则该动点的轨迹为直线型(这个夹角的另一边),解决这一类型的方法为夹角定位法.     

以静制动 动中求定

动直线经过定点,动点在定直线上的问题成为近年高考试题的热点．本文抓住动直线方程y=kx＋b,通过运算得到b=f（k）且b是关于k的一次函数,则动直线方程y=kx＋f（k）恒过定点．全文探讨了动直线过定点问题．相辅相成地解决了动点在定直线上的问题．     

动圆圆心的轨迹归类例析

求轨迹或轨迹方程是解析几何中的一个重要问题,而求动圆圆心的轨迹(或方程)贯穿于整个解析几何之中,其轨迹既可以是直线和圆,也可以是圆锥曲线.通过对这类问题的学习,可以帮助学生更好地理解圆锥曲线的定义和性质,帮助学生理清各种多变的动圆圆心的轨迹情形,做到心中有数,胸有成竹.1轨迹是直线若动圆与一定直线相切,且半径为定值时,圆心的轨迹是二条直线.例1一个动圆与直线x+y=0相切,且半径为2,则动圆圆心的轨迹方程是.分析根据直线和圆相切及点到直线的距离公式,不难得到动圆圆心的轨迹方程是y=x±2.2轨迹是圆若动圆与二个给定的同心圆中的…     

对人教版新教材一道习题的探究与拓展

本文对动圆与两定圆相切、动圆过定点且与定圆相切、动圆与定圆及定直线相切时,动圆心的轨迹作了较为全面的探究,发现其轨迹类型都是直线或圆锥曲线,探究过程多次运用圆锥曲线定义、数形结合和分类讨论的方法．     

“两定点一定线”模型及其应用——再探等腰三角形的存在性

<正>一、"两定点一定线"数学模型已知两定点(或一线段的两端点),在某条直线(或射线)上探求另一点与之构成等腰三角形,是最为常见的等腰三角形存在性问题.笔者将这类等腰三角形的存在形态概括为"两定点一定线"的数学模型,即存在于一条直线(或射线)上的动点与两个定点(或长     

念好三字经 解题有保证

<正>模拟试题中经常会遇到"两条线段和最小"这类问题.笔者在教学中,指导学生解决这一传统问题时,总结出的解题方法是,作其中一个定点关于直线的对称点,连接对称点与另一个定点,与这条直线的交点即为所求作的动点,利用轴对称的性质把两条线段之和转化为一条线段.后来将其细化为"三环节"进行,学生掌握得可以,也收到了不错的教学效果.这三个"环节"是:1"作".即作出其中一个定点关于直线的对称点;2"找".即把这个对称点和另一个已知定点连接     

单叶双曲面是动直线的轨迹两例

单叶双曲面是动直线的轨迹两例刘绍颖单叶双曲面作为直纹面的一种是由一族直线所构成可由以下两例得到。例１与三椭圆都相交的动直线在三椭圆上滑动的轨迹是单叶双曲面这里ａ、ｂ、ｃ均大于零。证明：设Ｐ（ｘ、ｙ、。）为轨迹上的任意一点，过点Ｐ的动直线与椭圆ｅ；、ｅ...     

例谈平行线上两动点之间距离的最短问题

<正>初中几何中有一类关于距离最短的问题,这些问题最终都会转化为"垂线段最短"或"两点之间线段最短".本文就一类平行线上两动点之间距离最短问题,谈谈笔者对此的分析和见解,以供读者参考.一、基本问题如图1,直线m∥n,且两直线之间的距离为d,若点A和点B分别是直线m,n上的动点,则点A和点B之间的距离最小值为d.解析根据运动的相对性,不妨固定点A,则问题就变成了直线n外有一定点A到直     

对《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文的商榷与补充

《圆与圆锥曲线的不解之缘》一文介绍了与具有不同位置关系的两个定圆都相切的动圆的圆心轨迹随两圆位置的变化而变化,但是,当两定圆相交时,动圆与两相交定圆同时相切的位置关系应该有三种情况:与两相交定圆同时外切;与两相交定圆同时内切;与两相交定圆中的一个内切,一个外切.动圆的圆心轨迹是双曲线(特殊情况是直线)或椭圆.同时,该文标题是圆与圆锥曲线的不解之缘,为了体现圆锥曲线的"完整性",本文补充了与定直线和定圆都相切的动圆的圆心轨迹是抛物线.这样我们就可以说双曲线、椭圆、圆、抛物线都能够从圆相切而生成.     

直线与椭圆相交的三角形面积问题探究

<正>直线与椭圆相交所产生的三角形面积问题是高中解析几何中的常见问题.它不仅能充分体现数形结合、分类讨论及转化与化归等重要数学思想,更重要的是对于提升学生的整体数学素养具有很大的作用.本文从直线与椭圆相交所构成三角形的基本特点出发,就定直线与定点构成三角形、定直线与动点构成三角形以及动直线与定点构成三角形这三类问题对椭圆内三角形面积的问题求法进行探究.一、定直线与定点构成的三角形面积     

解析几何中定点问题的教学设计

<正>所谓定值问题就是"动中求定"的问题,即在一定条件下所构成的几何问题中,一些动态的几何对象(如动点、动直线、动弦、动角、动三角形、动轨迹等)按一定的规律在确定的范围内变化时,与它相关的某些几何元素或几何元素的代数量保持不变的问题.近三年高考及各地模考试题中,定值问题约占解析几何部分命题的40%,可见是考试中的高频问题.但由于解析几何涉及的知识点多、     

分类例说几何中考题

<正>本文对河北中考中出现的由"形动"而引发的动态几何问题略作分析.举例如下:1.直线的平移运动问题例1(2000年)在如图1所示的直角坐标系中,点C在y轴的正半轴上,四边形OABC为平行四边形,OA=2,∠AOC=60°,以OA为直径的⊙P经过点C,点D在y轴上,DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线.设DM与AB边的交点为M(点M在线段AB上,     

寻找“动点型”问题的静态“节点”

正所谓"动点型"问题,即指在图形中存在一个或多个动点,沿直线或曲线运动所形成的一类开放型问题。这类问题往往与分类讨论、方程函数、数形结合、转化迁移等数学思想融合在一起,对学生空间想象、逻辑推理、归纳抽象的能力要求较高,成为近年来中考的热点。动点势必导致分类,如何寻找分类的静态"节点"是破题的关键,下面就实例谈"节点的寻找方法以及产生的效果。一、由动点构造的特殊图形例1(2013·龙岩)如图,在平面直角坐标系