完全数问题的探讨

利用数的标准分解式给出了一个数为完全数的必要条件，以及若奇完全数存在，则a为（4n＋1）^4k＋1 a^2 1形式的数，其中4n＋l为素数，且a1不含4n＋1型的素因子。     

初等对称多项式与实数判别

给定三个数x1、x2、x3，它们的和σ1=x1＋x2＋x3，两两乘积的和σ2=x1x2＋x2x3＋x3x1，以及三数的积σ3=x1x2x3都是实数，能否保证它们都是实数呢？     

初中数学竞赛训练题

一．填空题1．完全数是一个数的所有因数之和（除该数本身外）等于该数本身的整数，它显示了整数的完满性。第1个完全数是6，它可以被1，2，3整除并且是1，2，3之和，那么第2个完全数是（ ）。2．2个整数相加时，所得的和是2个数字相同的两位数；它们相乘时，所得的积是3个数字相同的三位数，则这2个整数是（ ）。3.若S=1＋1/4＋1/9＋1/16＋…，则P=1＋1/9＋1/25＋1/49＋…=（ ）用S表示。4．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲地、乙地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）种。5．若从1，2，3，…，8这8个整数中同时取4个不同的数，其和为佴数，则不同的取法共有（ ）种。6．如图1，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为棱BB1，CC1的中点，那么把线段AE和D1F平移后，它们相交所得锐角的正弦值是（ ）。     

完全数两个有趣性质的简证

一个正整数，若其全部因子的和等于该数的2倍，称为完全数．如2×6=1＋2＋3＋6，     

碱基互补配对的一个"万能公式"

知识点“碱基互补配对原则”在“DNA分子结构与复制”一节中是一个重点，相关计算是一个难点，不少学生由于方法不当经常出现错误。众多教辅材料中有下列“公式”：①Aα=Tβ，Aβ=Tα；②Gα=Gβ，Gβ=Ga；③若α链中：（A＋G）／（T＋C）=m，则β链中（T＋C）／（A＋G）=m，（A＋G）／（T＋C）=1／m；④若α链中：A＋T=n％，则整个DNA分子中，A＋T=n％，C＋C=1-n％。     

巧解遗传变异题

一、碱基数的计算【例1】经测定,某RNA片断中含30个碱基,其中A＋G=12,那么转录该RNA片断的DNA片断C＋T的数量应为多少？ 解析：由于mRNA是以DNA的一条链为模板转录而成,所以mRNA中碱基数等于DNA分子中碱基数的一半,即mRNA=1／2DNA.又因为双链DNA中由碱基互补配对原则可知A—T,G—C,所以非互补的碱基数之和C＋T—G＋A=1／2DNA,所以C＋T的碱基数就等于mRNA的碱基数,等于30．     

巧解遗传变异题

一、碱基数的计算【例1】经测定,某RNA片断中含30个碱基,其中A＋G=12,那么转录该RNA片断的DNA片断C＋T的数量应为多少？ 解析：由于mRNA是以DNA的一条链为模板转录而成,所以mRNA中碱基数等于DNA分子中碱基数的一半,即mRNA=1／2DNA.又因为双链DNA中由碱基互补配对原则可知A—T,G—C,所以非互补的碱基数之和C＋T—G＋A=1／2DNA,所以C＋T的碱基数就等于mRNA的碱基数,等于30．     

数字应用题解法趣谈

我们学数学，天天跟数字打交道．数字应用题很有趣，解法灵活巧妙．下面举例说明．例1一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数的和是这个两位数的7．求这个两位数．（九义初中代数第一份（上）P231例8）解法一（间接投无法）设十位上的数为X，则个位上的数为（X＋1），这个两位数是[10X＋（X＋1）]．依题意，得解这个方程，得x—4·个位数上的数为X＋1一5·所以所求的两位数为45·旧法二（直接设无法）设所求的两位数为x，那么由于十位上的数比个位上的数小1，＿1也是一个两位数，且个位上的数与十位上的数相同，所以r…     

一道竞赛题的证明和推广

题目已知a，b，c为满足abc=1的正数，求证：a＋b＋c≤a^2＋b^2＋c^2．     

整体代换思想解一类试题

题目：已知x、y都为正数，1/x＋1/y=1，求x＋y的最小值。     

浅析二项式定理的应用

二项式定理： 对于任意两个数a和b以及正整数n，总有（a＋b）n=Cn0an＋Cn2an-1b＋Cn2an-2b2＋…＋Cnran-rbr＋…＋Cnnbn,式中Cnm为组合数．公式右边的多项式称为二项展开式，又称牛顿二项展开式．     

多项展开式项数的计算

我们考察（a1＋a2＋a3）^n展开式中的项数，易见 （a1＋a2＋a3）^1=a1＋a2＋a3，其中共有3（即1＋2）项； （a1＋a2＋a3）^2=a1^2＋a2^2＋2a1a2＋2a1a3＋2a2a3，其中共有6（即1＋2＋3）项；     

归纳与猜想四例

1．找“数”的变化规律 例1 观察表1，寻找规律．表2、表3分别是从表1中选取的一部分，则a＋b的值为________． 分析 表1中数的排列规律从上到下可以看成是：第1列从0开始依次“＋1”；第2列从1开始依次“＋2”；第3列从2开始依次“＋3”；     

一道源于希望杯的高考题

题目 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy=1，则2x＋y最大值为——．     

水仙花数

数１５３有一个特殊的性质，即１５３＝１３＋５３＋３３。那么，有没有其他这样的数呢？有！如：１＝１３，３７０＝３３＋７３＋０３，３７１＝３３＋７３＋１３……有人给这样的数取了一个特殊的名称：水仙花数．任一整数按照下面的运算方式，结果所得都是水仙花数，即把任一数各位数字的立方和求出，再求所得的各位数字的立方和，依次进行下去，总可以得到一个水仙花数．如把７６按这样的运算进行下去：７３＋６３＝５５９，５３＋５３＋９３＝９７９，９３＋７３＋９３＝１８０１，１３＋８３＋０３＋１３＝５１４，５３＋１３＋４３＝…     

一道典型不等式的证法探求

题目已知a、b是正数，且a＋b=1，求证（n＋1）^2＋（b＋1）^2≥9/2．该题是一类典型的条件不等式证明题，可用常规的比较法，综合法，分析法等证明．[第一段]     

一个不等式的推广

文[1]给出了一个试题：设x、y、z为正数，且xyz=1，求证： 1/（2x＋1）^3＋1/（2y＋1）^3＋1/（2z＋1）^3≥1/9.…（1） 本文给出它的一个推广.     

数列

试题 1（湖北卷，理科第15题）将杨辉三角中的每一个数C′n都换成1/（n＋1）C′n，就得到一个如图1所示的分数三角形，成为莱布尼兹三角形，从莱布尼兹三角形可看出1/（n＋1）C′n＋1/（n＋1）C′n=1/nC′n-1，其中x=_____，令an=1/3＋1/12＋1/30＋1/60＋…＋1/nC^2 n-1＋1/（n＋1）Cn^2,则liman（n→∞）=_____.     

非常“5＋1”字母表示数

非常一：知识回顾 1．代数式：像a，a＋b，2（m＋n），s/t，4＋3（x-1）这样的式子叫做代数式．单独的一个数也是代数式．     

一个递推数列中的素数

设{an}^∞ n=1是满足递推关系a1=1，an＋1=a^2n＋4an＋2（n≥1）的数列，本文证明了：当n是偶数时，an仅当n=2时是素数。