要重视对数函数性质三的教学

教材中关于对数函数性质三的处理极为简单,容易使人误解,以为它并不重要,实际上它却有广泛的应用。性质三是这样的:“对于底数a>1,当x>1时,log_ax>0(即y>0);当x<1时,log_ax<0(即y<0)。对于底数a<1,当x>1时,log_ax<0(即y<0);当x<1时,log_ax>0(即y>0)”。学生易产生错觉,以为性质三只是在a与1及x与1的大小关系已知时,用来确定log_ax(即y)与0的大小关系而已。实际上,性质三告诉我们:y=log_ax(a>0,a≠1,x>0)的三个因素a、x、y与1、0之间所存在相应的大小关系,只     

聚焦平面直角坐标系中的“点”

一、各象限内的点点P(x,y)在第一象限内,则x>0,y>0,反之亦然.点P(x,y)在第二象限内,则x<0,y>0,反之亦然.点P(x,y)在第三象限内,则x<0,y<0,反之亦然.点P(x,y)在第四象限内,则x>0,y<0,反之亦然.     

基本不等式的推广和应用

众所周知,基本不等式(x+y)/2≥、xy~(1/2)(x>0,y>0)是初等数学中的一个极为重要、应用颇广的不等式。现把它推广如下: 若x>0,y>0,a>0,b>0,且a+b=1,则有ax+by≥x~(?)y~b(当且仅当x=y时等号成立)。     

08年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题1.已知集合A={y|y=x~2+1,x∈R),B={x|x~2+x-2>0},则下列正确的是( ) (A)A∩B={y|y>1}.(B)A∩B={y|y>2}.(C)A∪B:{y|-2-1}.2.当0相似文献   

一道发人深省的中考题

2003年四川省的中考数学试卷里,有一道不起眼的填空小题:已知xy=3,那么xyx姨+yxy姨的值是:.这道题知识含量并不多,只不过是对二次根式的化简求值而已.但是,很多考生都只填了23姨,丢掉了-23姨,失败的教训发人深省.其实,在并不引人注目的外表背后,透射出值得重视的的练习价值.解1先从有理化分母入手.原式=xxyx2姨+yxyy2姨=3姨(xx+yy).当x>0且y>0时,原式=23姨.当x<0且y<0时,原式=-23姨.故应填±23姨.解2先把有理部分移入根号.x>0且y>0时,原式=xy姨+xy姨=23姨.x<0且y<0时,原式=-xy姨-xy姨=-23姨.应填±23姨.解3先代入y=3x.原式=x3x2姨+3xx23姨=x…     

高中数学基础训练题（1）

集合与简易逻辑1 .设全集 U={ 1 ,2 ,3,4,5,7} ,集合 A={ 1 ,3,5,7} ,集合 B={ 3,5} ,则 (　 )(A) U=A∪ B　　　　 (B) U=(CUA)∪ B(C) U=A∪ (CUB) (D) U=(CUA)∪ (CUB)2 .已知集合 A={ y|y=log2 x,x>1 } ,B={ y|y=(12 ) x,x>1 } ,则 A∩B等于 (　 )(A) { y|0 0 >a,0 >a>b;a>0 >b;a>b>0中 ,能使 1a<1b成立的充分条件的个数是 (　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 44 .a1 ,b1 ,c1 ,a2 ,b2 ,c2 均为非零实数 ,不等式 a1 x2 +b1 x+c1 >0和 a2 x2 +b2 …     

函数y=ax+b/x的图象

<正>本文研究y=ax+b/x的图象(a≠0,b≠0).根据a,b的取值,可分以下几种情况讨论:1.当a>0,b>0时,函数为奇函数,图象关于原点对称.定义域为{x|x≠0},只需画出x>0时的图象,便可利用对称性画出x<0时的图象.     

2011中考之二次函数

中考知识梳理1.二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)的图象与性质其图象是抛物线,对称轴是直线x=-b/(2a),顶点坐标是(-b/(2a),(4ac)-(b~2)/(4a)).(1)当a>0时,抛物线的开口向上,当x<-b/(2a)时,函数值y随x的增大而减小;当x>-b/(2a)时,函数值y随x的增大而增     

巧用二次方程证明不等式

利用一元二次方程根的分布的充要条件 ,可以证明以下一类不等式 .例 1　设 x>0 ,y>0 ,且 x3 - x2 - 2 xy-y2 y3 =0 ,求证 :10 ,t>0 ,t2 - 4× t2 - t3>0 ,即 115 ,b>15 ,ab=22 5 ,求证 :a b<35 .证明　设 a b=t,ab=22 5 ,∴ a,b为一元二次方程 f (x) =x2 - tx 22 5 =0的两个根 .由于 a>15 ,b>15 ,f (15 ) >0 t<35 ,…     

对数函数性质的记忆与应用

在现行高级中学课本《代数》(甲种本)第一册p.64上,关于对数函数的一个性质叙述如下:y=log_ax(a>0且a≠1) 对此,笔者在教学中发现,由于该性质归纳方法中:y的正、负,既要考虑a的范围,又要考虑x的范围,两种因素合在一起,学生往往很难掌握,并且在应用时也时常会搞错。为此,笔者作了如下之尝试,即将该性质归纳为:y=log_ax(α>0且a≠1) 以1为分界点,当a、x同侧时,y>0;当a、x异侧时,y<0。由此,“异曲同工”的归纳,既便于学生记忆,又便于学生运用,对此,学生普遍反映效果较好。     

2004年高考中与导数有关的试题

例1(2004年重庆高考题)设函数f(x)=x(x-1)·(x-a),a>1,求导数f'(x),并证明有两个不同的极值点x1、x2.解析f'(x)=3x2-2(1+a)x+a.令f'(x)=0,得方程3x2-2(1+a)x+a=0.因Δ=4(a2-a+1)≥4a>0,故方程有两个不同的实根x1、x2.设x10;当x1x2时,f'(x)>0,因此,x1是极大值点,x2是极小值点.例2(2004年全国高考题)已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.解析函数f(x)的导数:f'(x)=3ax2+6x-1.(Ⅰ)当f'(x)<0(xR)时,f(x)是减函数.3ax2+6x-1<0(xR)a<0且Δ…     

一元二次不等式解集公式的逆用

大家都知道一元二次不等式在 Δ=b2 -4ac>0时的解集公式与相关一元二次方程的解的关系 ,即不等式 ( x - x1 ) ( x- x2 ) <0( x1 0 ( x1 x2 }.事实上 ,这个解集公式的逆命题也是正确的 ,即当 x1 x2 ( x1 0 .灵活运用这个结论对解、证一些常见的有理不等式是非常有用的 ,可以有效地降低计算的复杂性 ,提高解不等式的速度和正确性 .本文试就它的运用作一些探讨 .1　解形如…     

关于ln|x|的导数和推广

本文就《高等数学》第24讲中谈到的ln|x|的导数问题,作如下两点论述,供授课教师和听课的同学们参考。(一)(ln|x|)′=(lnx)′吗?1.求 y=ln|x|的导数。<解>y=ln|x|=lnx(当 x>0) ln(-x)(当 x<0)①当 x>0时,y′=(lnx)′=1/x②当 x<0时,y′=[ln(-x)]′=(-1)/(-x)=1/x     

题库(二十六)

1.定义在R+上的函数f(x)满足如下条件:①存在x0>1,使得f(x0)≠0;②对任意的实数b,有:f(xb)≠bf(x).求证:(1)对一切x>1,均有f(x)≠0;(2)当a>2时,有f(a-1)f(a+1)<[f(a]2.2.已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf2(x)>f(x)在x>0时恒成立.(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数;(2)求证:当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);(3)已知不等式1n(1+x)-1且x≠0时恒成立,求证:1/221n22=YSW2006.12编辑/刘鹏原创题库43     

数学竞赛训练题（二）

如图1,不含阴影部分的矩形有个.2·-|-m|2×2005是().(A)零(B)负数(C)正数(D)非正数3·若|-x|>-x,则().(A)x>0(B)x<0(C)x<-1(D)-10,a+b>0时,用“<”连接a,b,-a,-b四个数得.5·已知a相似文献   

两道高考题的简捷解法

82年高考数学(理科)第五题:设00,a≠1,比较|logα(1-x)|与|logα(1+x)|的大小(要写出比较过程) 解法一:∵ 01。这样,由对数函数的性质可知:logα(1-x)与logα(1+x)异号,logα(1-x)与1logα(1-x~2)同号。又∵ogα(1-x)+logaα(1+x)=logα(1-x~2)由实数异号两数相加的法则,和的符号总是同绝对值较大的那个加数的符号相同。立即可得: |logα(1-x)>|logα(1+x)|     

这个条件并非多余

题目两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴,交点O为原点,如图1所示.在y>0,00,x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为B.在O点处有一小孔,一束质量为m、带     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…     

超越方程a~x=x~α根的个数

1问题研究关于x的方程ax=xα(a>0且a≠1,α≠0,x>0)根的个数.为了研究方便,这里我们仅考虑x>0时的情况.下面给出两个处理方案:方案1转化为研究指数函数y=ax与幂函数y=xα(x>0)图象的交点个数.     

导数的基本应用

从近几年全国高考新课程试卷来看 ,利用导数的相关知识来分析和解决问题已成为高考命题的一个热点 .以下举例说明导数法的基本应用 .一、研究函数的单调区间【例 1】　 ( 2 0 0 3年高考新课程卷 )设a>0 ,求函数f(x) =x-ln(x +a) (x∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .分析 :f′(x) =12x-1x+a(x >0 ) ,当a >0 ,x>0时 ,f′(x) >0 x2 + ( 2a-4 )x +a2 >0f′(x) <0 x2 + ( 2a -4 )x+a2 <0( 1 )当a >1时 ,对所有x>0都有f′(x)>0 ,此时f(x)在 ( 0 ,+∞ )上单调递增 .( 2 )当a =1时 ,对x≠ 1 ,有f′(x) >0 ,f(x)在 ( 0 ,1 )内单调递增 ,在 ( 1 ,+∞ )内…