用a≥2-1/a证不等式

若a∈R_ ,则有a≥2-1/a (*),等号当且仅当a=1时成立. 不等式(*)不仅结构简单,而且利用它还可以简捷地证明一些较难的不等式.下面举几例说明. 例1 设a_i,b_i∈R_ ,且sum from i=1 to n(a_i)=sum from i=1 to n(b_i),求证sum from i=1 to n(a_i~z)/(a_i b_i)≥1/2 sum from i=1 to n(a_i).(1991年亚太地区数学竞赛题)     

用计算机求二类收敛级数和的近似值

用手工方法近似计算收敛级数的和往往十分繁琐,电子计算机具有计算速度快,精度高的优点,是用来求收敛级数的和的理想工具。由于级数sum from i=1 to ∞(a_i)的和一般只能用部分和S_n=sum from i=1 to n(a_i)来近似代替,因此关键是要确定达到给定的精度,必需计算到哪一项。也就是说,对预先给定的ε,n为多大时,余项R_n=sum from i=n 1 to ∞(a_i)能有|R_n|<ε。下面对二类收敛级数进行讨论。 一、求p级数sum from i=1 to ∞(1/i~p)(p>1)和的近似值     

柯西不等式的一个变式及应用

在柯西不等式:(sum from i=1 to n a_i~2)·(sum from i=1 to n b_i~2)≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2(其中a_i,b_i∈R,i=1,2,…,n)     

构造柯西不等式,用取等号条件解题

我们知道,柯西不等式:a_i,b_i∈R,则sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2……(1)当且仅当a_i=kb_i(i=1,2,…,n)不等式等号成立。它可以作如下变形: 由(1)得(sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2)≥sum from i=1 to n a_ib_i,添项变为sum from i=1 to n a_i~2 2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≥sum from i=1 to n a_i~2 2sum from i=1 to n a_ib_i sum from i=1 to n b_i~2,或sum from i=1 to n a_i~2-2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≤sum from i=1 to n a_i~2-2 sum from i=1 to n a_i b_i sum from i=1 to n b_i~2,分别配方,并开方转     

再谈一类分式不等式的证明

文[1][2][3]分别从不同角度介绍了一类分式不等式的证明,但显得技巧性强,难以掌握,本文将从此类不等式的题源出发,证明之。 先看以下命题: 对a_i>0,b_i>0,(i=1,2,3,…,n)有 (sum from i=1 to n(a_i~2/b_i))≥(sum from i=1 to n(a_i))~2/(sum from i=1 to n(b_i)) (*)证明∵a_i>0,b_i>0(i=1,2,3,…,     

关于几个误差问题的解释

对某一物理量在相同条件下进行N次测量,得x_1、x_2、…x_n,我们通常用(?)=sum from i=1 to N(x_1/N)代表测量的最佳值,用Δ=sum from i=1 to N(|x_1-(?)|/N)代表测量误差,而将结果表示成x=(?)±Δ(单位)。那么将(?)作为测量结果的最佳值的依据是什么?结果x=(?)±Δ(单位)又表示了什么?本文对其进行了证明和解释,并介绍了方均根误差,且又给出可平均绝对误差和标准误差的关系。     

关于《一个不等式的推广》问题

胡道煊同志在文[1]中曾绐出了如下的不等式:sum from i=1 to n((a_i~m)/(b_i))≥n~(2-m)·((sum from i=1 to n(a_i))~m/sum from i=1 to n(b_3))。(1)其中a_i、b_i>0,(i=1,2,…,n),且|m|≥1。 此处我们说(1)是一个不恒成立的不等式。例如取n=2,b_1=a_1,b_2=a_2,m=3/2,则有     

切比雪夫不等式的推广及其应用

本文将切比雷夫不等式:“a_1≥a_2≥…≥a_n,b_1≥b_2≥…≥b_n(?)(sum from i=1 to n a~i)(sum from j=1 to n b_j)≤n sum from i,j to n a_ib_j”作如下的推广:如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(i=1)~n同时为单调增加或单调减少实数列,那么对于任何实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_ic_i)(sum from i=1 to n c_i)(?)(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j) ……(Ⅰ) 如果{a_i}_(i=1)~n与{b_j}_(j=1)~n中有一个单调增加而另一个单调减少,那么对于任何非负实实数列{c_i}_(i=1)~n有(sum from i=1 to n a_ib_(ii))(sum from i=1 to n c_i)≤(sum from i=1 to n a_ic_i)(sum from j=1 to n b_jc_j)……(Ⅱ) 如果{c_i}_(i=1)~n为正的实数列,那么不等式(Ⅰ)、(Ⅱ)中的等号成立当且仅当{a_i}_(i=1)~n或{b_j}_(j=1)~n 中有一个是常数列。如果取c_i=1(i=1,2,…,n,那么就得原来的不等式。推广后的切比雷夫不等式的证明:在第一种情形下,sum from i=1 to n sum from j=1 to n (a~i-a_j)(b_i-b_j)c_ic_j     

求函数值域应注意的一个问题

在应用初等方法,求如下类型的函数y(x)=sum from i=1 to ∞(1/n)a_ix~k_i……(1)(n为不小于2的自然数,a_i>O,x>0,K_i为非零整数且sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的值域时,因sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的诱发,极易上基本不等式a_1+a_2+…+a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n)……(2)(n为不小于2的自然数,a_i均为正数;当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,等式成立)的当！请看下面的例1:     

关于Alavi猜想的一个结果

Alavi在[1]中提出了图的升分解问题,并猜想:设G是星S_1,S_2,…,S_k的并图,S_1含有a_i条边,n≤a_i≤2n-2, sum from i=1 to k(ai)=((n+1)/2),则G可升分解为星图的并,本文证明了当a_i≥n,且a_(i-1)-a_i=d(d≤5,1≤i≤k-1)时,猜想的结论成立,它可作为[2]的扩展。     

证明组合等式方法例说

本文通过例题阐述证明组合等式时,如何根据题设特征选择适合的方法,供参考。一、待定系数法待定系数法的根据是多项式恒等定理:若 f(x)≡sum from i=0 to n a_ix~(n-i),g(x)≡sum from i=0 to n b_ix~(n-i),且,(x)≡g(x),则有a_i=b_i。(i=1,2,…,n). 例 1 求证C_m~0 C_n~k+C_m~1 C_n~(k-1)+…++C_m~k C_n~0=C_(m+n)~k。分析观察此式两端组合数的特点,即     

等差数列一个性质及应用

性质:设{a_n}为等差数列,则(1) 1/(2k-1)sum from i=1 to (2k-1)(a_i=a_k).(2)1/2k sum from i=1 to 2k(a_i=(a_k a_(k 1))/2).此性质可叙述为:等差数列奇数项的算术平均值等于中间一项;等差数列偶数项的算术平均值等于中间两项的算术平均值.证明:设d为等差数列{a_n}的公差,则a_i=a_k (i-k)d=(a_k-kd) id(i=1,2,…)应用这个性质,可给出一些高考数列题的简解.例1.在等基数列{a_n}中,若a_3 a_4 a_5 a_6 a_7=450,则a_2 a_8的值等于( ).(A)45,(B)75,(C)180,(D)300.(1991年上海高考题)     

分和法证明不等式

设欲证不等式为A_n相似文献   

第2类Stirling数Bernoulli数与Euler数的解析表示式

本文给出第2类Stirling数,Bernoulli数与Euler数的解析表示式: s_2(m+1,n)=(-1)~n/n1 sum form j=1 to n(-1)~j(?)_j~(-m+1) B_n=sum form k=1 to n 1/(k+1) sum form j=1 to k (-1)~j(?)_j~(-n) E_(2n) =1/(2n+1)[sum from p=0 to n-1 sum from k=1 to 2(n-p) sum from j=1 to k (-1)~(j-1)/(k+1)·(?)(?)(4j)~2(n-p)+4n+1]因此解决了它们的计算问题。     

均差不等式及其应用

若n个正数为a_i(i=1,…,n),则A_n=1/n sum from i=1 to n(a_i)为其算术平均数,G_n=(multiply from i=1 to n(a_i)~1/n为其几何平均数。它们的关系有著名的平均值不等式:A_n≥G_n,当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。 本文研究的是关于算术平均数与几何平均数之差(即A_n-G_n)的不等式,简称均差不等式,并简单地举例说明它的应用。 先介绍一个引理:     

解含有绝对值符号的一元二次不等式的一种方法

解不等式 ax~2 bx c sum from i=2 to n-1(d_i)|a_ix~2 b_ix c_i|>0。(或<0)其中a、b、c、a_i、b_i、c_i、d_i、i=2,3,…,n-1均为常数。简捷的解法是:先令 y=ax~2 bx c sum from i=2 to n-1(d_i)|a_ix~2 b_ix c_i| 因为函数y的表达式中含有n-2个二次式的绝对值,要去掉基些绝对值的符号,可按绝对值符号内二次式的零点把数轴分成若干个区间,在每个区间上写出这个函数的表达式,显然都是一元二次式或特殊情形的一次式,可知函数y的图象是由若干条抛物线段或直线段所组成,我们并不需要作出函数y的图像;只须列出若干条抛物线段的端点坐标,以及当抛物线     

Legendre级数的积分定理

本文对P.Heywood研究的广义积分:integral from 0 to 1 (f(x)/(1-x)~W dx)进行了探讨。在莫叶、陈留琨、霍守诚、蒋润勃等人的研究基础上,将结果推广到:W=4,或4相似文献   

变分制考试核分和难度统计

<正> 我们知道,变分制考试核分和分析试题的难度,要进行大量计算工作,比较费时、费力。如果利用计算机进行统计,只需一次输入考生在每个试题所获得分数a_(ij)即可(i=1,2,…,k;j=1,2,…,n,其中,k表示试题总数,n表示考生总数,i表示题号,j表示考号)。例如,a_(23)表示3号考生在第2题所获的得分点数;a_(ij)就表示j号考生在第i题所获得的分点数。用N_i(i=1,2,…,k)表示每道题所设的得分点数,那么,j号考生在本次考试的成绩就是(sum from i=1 to k a_(ij)/sum form i=1 to k N_i)·d(j=1,2,…,n),d是分制的取值。用p_i,(i=1,2,…k)表示第i道题的难度值,那么,p_i=1-(sum from j=1 to n a_(ij)/n·N_i),(i=1,2,…,k)。例如,某次考试共设10道题,每题所设得分点数分别是5,5,8,10,12,15,18,20,20,25,仅以前6位考生为例,他们的得分点数是:     

用激光测量线材直径初探

一、引言目前,激光越来越广泛地应用于工业生产的各个环节,随着工业技术的发展和科学技术的提高,各生产厂家对生产线材的质量检测也在相应地改进,能够随时监测生产流水线上的线材直径已成为不可忽视的经济问题.针对钢厂在生产盘条的过程中速度快、温度高、不易实现在线测量的问题,利用激光的高强度、方向性好、单色性好的特点,我们设计了一套实验装置,给出了激光测量线材直径的一种方法,确定了静态线材直径与光强变化的线性关系,此种方法也适用于测动态线材直径.二、实验基本原理用激光测线材直径的简单原理是:让一束光通过一扩束镜使光斑扩大,均匀照射在—透镜L_1上,并成一定面积的平行光出射到达另一透镜L_2,用一探测器接收从透镜L_2出射的光,并把光信号转换成电信号在显示仪上显示出来.在两透镜中间放一线性材料,设原来光斑面积为S_θ=b×b,线材直径为a,如图1所示.则挡光面积: S_1=a×b,剩下光照面积为:S=S_o-S_1=b~2-ab,则挡光后的光强Ⅰ与原光强Ⅰ_O之比为:Ⅰ/Ⅰ_0=S/S_0=(b~2-ab)/b~2=(b-a)/b=1-a/b假设原来光强Ⅰ_0不变,则Ⅰ(?)b-a,据此,则通过显示信号的改变,,可知线材直径.实验原理图如图2所示:     

广义循环不等式初探

1 广义循环不等式 1954年,美国数学家萨碧洛曾提出猜想:设a_1∈R~+,i=1,2,…,n,n≥3,n∈N,则 sum from i=1 to n(a_i/(a_(i+1)+a_(i+2)))≥n/2 (1)其中,a_(n+1)=a_1,a_(n+2)=a_2,此即著名的循环不等式[1]。此不等式和谐匀称优美,但遗憾的是当n为不小于14的偶数及不小于25时,(1)式不成立,反例见[1]。为使(1)式成立,[2],[3]等文献分别从加强条件和改变结论两方面对(1)式进行校正。本文旨在对(1)式校正并加以推广,主要结果是: