一道高考试题的几种证法

<正>一题多解,一题多证,可拓展解题思路,开阔视野,启迪心智,激发学习兴趣,有利于培养我们的发散思维、创新思维以及数学素养。现以2016年山东理科数学20题为例,通过一题多证,探究如下。例题(2016年山东卷理20题)已知f(x)=a(x-ln x)+(2x-1)/x²,a∈R。(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+3/2对于任意的x∈[1,2]成立。     

一道会考试题的几种证法

已知:如图,AB 是⊙O 的直径,PO 上 AB 交⊙O 于P 点,弦 PN 与 AB 相交于点 M,求证:AB~2=2PM·PN.此题是重庆市97年会考数学试题的31题,根据考试说明,属较难题.除参考答案给出的两种证法外,还有下面几种证法.     

一道竞赛试题的五种证法

2001年江苏省第十五届初中数学竞赛第二试初二第17题为:如图1,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=1/2BD,求证:BD是∠ABC的角平分线.     

一道IMO试题的五种证法

第25届IMO试题l(证明:__._一7U乓夕z十岔十叼一Z叼名气又;, 乙,其中二,歹,:为非负实数,满足x+犷+:=1)是一道好题.证明不等式的主要方法在这里几乎都有用武之地.卜面给出五种证法. 7 一西‘二、增!法由对称性,不妨设x乒梦):,则 ,1.~2名乓下~,二十夕声.二· 0O一、综合法根据柯西不等式,故可设:一喜一*, O 2x十梦=:犷十几, Q (二十,+:)(上+李+粤)妻。 芯夕汤好+二十x梦妻gx犷)Zx粥.这里于是。、*、音·就是因此厂+:x+x梦一2二粥妻0.由对称性,不妨设二)梦)2.于是 笋+忿+叼一Zx笋=名(梦+x)+x歹(l一22) l_、2._、.1=(音一久)(于+劝+砂(音+2又…     

一道IMO试题的嵌入证法

许以超先生在文[1]中公布了第35届IMO第2题的标准答案,并指出“答案虽然写得很简单,可是特别是第二部分不是容易想到的”.这里用嵌入法给出一个有趣的证明,并对第二部分作较大的改进.     

一道中考试题的多种证法

1994年黔东南高中升学考试最后一题为:在RtΔABC中,∠C=90°,∠C的平分线与AB相交于D,已知AC=b,BC=a,证证: 此题由《几何》二册P46例题变式而得,将特殊转化为一般形式加以论证,入口宽,方法多,为考生各尽所能创造了条件,有利于调动学生的思维,考查了学生综合应用知识解决问题能力,现介绍几种方法,供参考。     

一道竞赛试题的多种证法

2003年“TRULY信利杯”全国初中生数学竞赛试题第11题如下: 如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P,问EP与PD是否相等?证明你的结论. 这是一道探索型的几何综合题,所考查的知识点较多,解法较为灵活,可从多     

一道CMO试题的不同证法

原题（2006年中国数学奥林匹克）Rt△ABC中,∠ACB-90°,△ABC的内切圆⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F,联结AD,与内切圆⊙O相交于点P,联结BP、CP．若∠BPC-90°,求证：AE＋AP=DD．     

一道CMO试题的纯代数证法

题目 在Rt △ABC中，∠ACB=90°，△ABC的内切圆⊙0分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F，联结AD，与内切圆⊙0相交于点P，联结即、CP．若∠BPC=90°，求证： AE＋AP=PD．[第一段]     

一道MO试题的又一证法

在△ABC中,AA1为中线,AA2为角平分线,K为AA1上点,使KA2∥AC,证明：AA2┴KC。     

一道IMO试题的另一证法

《中学数学月刊》2 0 0 2年第八期上 ,蔡玉书老师在《两条直线合成技巧的应用》一文中用解析几何法证明了下列竞赛题 :△ ABC是等腰三角形 ,AB=AC,假如 :(1) M是 BC的中点 ,O在直线 AM上 ,使得 OB⊥ AB;(2 ) Q是线段 BC上不同于 B和 C的一个任意点 ;(3) E在直线 AB上 ,F在直线 AC上 ,使得 E,Q和 F是不同的和共线的 .求证 :OQ⊥ EF,当且仅当 QE=QF.(第 35届 IMO试题 )这里再给出一种平几证法 .证明　题目所求证即为 QE=QF是 OQ⊥ EF的充要条件 .充分性 :过 E作 DE∥ AC交 CB延长线于 D,连 OE,OF,OC.∵ DE∥ AC,…     

一道全国初中联赛题的三种证法

题目 :如图 1,梯形ABCD中 ,AD∥BC ,分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形图 1ABGE和正方形DCHF ,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M .求证 :点M为EF的中点 .(2 0 0 4,全国初中数学联赛 (B卷 ) )本文给出三种证法 .证法 1:如图 2 ,过A、D分别作PA、QD图 2垂直于AD ,分别交EF于     

一道好试题 三种新理念

2008年浙江省金华市的中考语文试卷中有这样一道试题： 1．为了迎接2008年北京奥运会．弘扬奥运精神,传播奥运文化,某校学生会决定举行“迎奥运”游园活动,邀请你参加,相信你一定收获丰厚。     

一道IMO试题的背景及证法讨论

１ 题目的背景 第３９届（１９９８年）国际数学奥林匹克第一大题是道几何题,为深入了解此题的意义,我们先看一个古老的定理［１］： 婆罗摩芨多定理　圆内接四边形ＡＢＣＤ中,若二对角线交于Ｈ且互相垂直,则一边的中点与交点的连线必垂直于对边;反之,过交点作一边的垂线     

一道好试题 三种新理念

2008年浙江省金华市的中考语文试卷中有这样一道试题:1.为了迎接2008年北京奥运会,弘扬奥运精神,传播奥运文化,某校学生会决定举行"迎奥运"游园活动,邀请你参加,相信你一定收获丰厚。     

一道IMO试题的纯平几证法研究

第35届 IMO 试题中有一道平面几何试题△ABC 是等腰三角形,AB=AC,假如:(1)M 是 BC的中点,O 在直线 AM 上,使得OB⊥AB.(2)Q 是线段BC 上不同于 B和 C 的任一点(3)E 在直线 AB 上,F在直线上,使得 E、Q、F 是不同的和共线的.求证:OQ⊥EF,当且仅当 QE=QF     

一道加拿大MO试题的几个证法

1991年加拿大数学奥林匹克试题第5题:设△ABC为锐角三角形AD是边BC上的高,H是AD的任一内点,直线BH和CH分别与AC和AB相交于点E和F.证明:∠EDH=∠FDH