例谈一种位置关系及其应用

关于直线l:Ax+By+C=0与圆:(x-a)2+(y-b)2=R2,O(a,b)到l的距离为:d=|Aa+Bb+C|/√A2+B2,则     

巧用直线与圆的位置关系解题

<正>设直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0),圆O:(x-a)2+(y-b)2=R2,则圆心O到直线l的距离为d=|Aa+Bb+C|/A~2+B~2.由直     

一个有趣性质的应用

<正> 性质在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,若a+b+c=0,则该方程必有一根为1. 证明∵a+b+C=0,且a≠0,∴a=-(b+C). ∴ax2+bx+c=-(b+c)x2+bx+C =-bx2-cx2+bx+c     

第39届IMO预选题8的简证

题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D,设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外接圆的切线。 证明:如图1,连AE交BC于F,连FY、FZ、EZ、ED。 ∵点A与点E关于BC对称, ∴AF=EF且AF⊥BD。     

用平面区域求一类直线斜率范围

我们知道:P1(x1,y1)和P2(x2,y2)在直线L:Ax By C=0(A2 B2≠0)的两侧(Ax1 By1 C)(Ax2 By2 C)<0·利用这个性质可得一类直线斜率的统一解法:【例1】已知两点P(2,-3),Q(-3,-4),直线ax y 2=0与线段PQ相交,求a取值范围·解:线段PQ与直线ax y 2=0相交,P、Q在直线的两侧或P、Q在直线上     

巧用代换快速解题

代换是数学解题中经常运用的一种手段,而如何代换,是要讲究方法的。本文结合例子,说明怎样利用代换技巧,实现快速解题。例1:已知ab=1,求11+a2+11+b2的值。解:∵ab=1∴1=ab∴11+a2+11+b2=abab+a2+abab+b2=bb+a+aa+b=1。例2:实数a、b满足ab=1,设M=1a+1+1b+1,N=aa+1+bb+1,则M、N的关系为()。A.M>NB.M=NC.M相似文献   

类比圆的一个性质探求圆锥曲线的性质

正定理1已知AB是圆C:2 2 2x+y=r的直径,直线l与x轴垂直,过圆C上任意一点P(不同于A,B)作直线PA与PB分别交直线l于M,N两A P O B Q N M x y点,记线段MN的中点为Q,则直线PQ与圆相切.证明设点0 0P(x,y),直线l为x=m,     

对一道椭圆试题的探究与拓展

1 题目呈现 已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为1/2 ,F1,F2 为椭圆C的左、右焦点,过F1且斜率不为零的直线l1交椭圆于P,Q两点,△F2PQ的周长为8. (1)求椭圆C 的方程; (2)设A 为椭圆的右顶点,直线AP ,AQ 分别交直线l2:x=-4于M ,N 两点,试判断以MN ...     

每期一题

题:若抛物线y=ax~2- 1(a≠0)上存在关于直线l:x y=0对称的两点,试求a的范围。解法1(判别式法)设抛物线上关于直线l对称的相异两点分别为P、Q,则PQ方程可设为y=x b。由于P、Q两点的存在,所以方程组 y=x b 有两组不相同的实数 y=ax~2-1 解,即可得方程: ax~2-x-(1 b)=0 ①判别式△=1 4a(1 b)>0 ②又设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),PQ中点M(x_0,y_0)。由①得x_0=x_1 x_2/2=1/2a,y_0=     

构造特殊数列，巧求通项公式——从一道高考数学试题谈起

题目 设a&;gt;0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x^2，C上的点Q1的横坐标为a1(0&;lt;a1&;lt;a)．从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于X轴，交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1．Qn(n=1，2，3，…)的横坐标构成数列{an}．     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

两种位置关系及其应用

一、两种位置关系 定理一 关于直线l:Ax By C=O与圆O:(x-a)~2 (y-b)~2=R~2,O(a,b)到l的距离 d=|Aa Bb C|/(A~2 B~2)~(1/2)。 (l)d>R直线l与圆O相离; (2)d=R直线l与圆O相切; (3)d相似文献   

二次根式运算错解剖析

1.概念模糊 ,混淆不清例 1　若 x3 + 2 x2 =- x x+ 2 ,则 x的取值范围是(　　 )。(A) x<0 ;(B) x≥ - 2 ;(C) - 2≤ x≤ 0 ;(D) - 2 相似文献   

一个由定点与定直线确定的常量及运用

在直角坐标平面内点P(X_0,y_0),直线l:Ax By C=0,过 P 作 l 的垂线 PQ,设垂足为 Q(x',y'),显然直线 PQ 的方程为:B(x-x_0)-A(y-y_0)=0,令x'-x_0=λA,则 y-y_0=λB,又Q∈l,则有:A(x_0 λA) B(y_0 λB) c=0.解得:λ=-Ax_0 By_0 C/A~2 B~2,显然λ是由点 P 和直线 l 确定的常量.我们把它记作λ(P,l),有时简记为λ.显然,过 P 作 l 的垂线之垂足 Q(x_0 XA,y_0 λB);P 关于 l 的对称点 P'(z_0 2λA,y_0 2λB).     

巧用直线和圆的位置关系解竞赛题

众所周知,直线l：Ax＋By＋C=0和圆C：（x-a）^2＋（y—b）^2=r^2有公共点的充要条件是圆心（0,b）到直线l的距离d=｜Aa＋Bb＋C｜/√A^2＋B^2≤r．     

关于直线与圆的两个重要模型及应用浅析

构造是一种重要的数学思想 ,在数学解题教学中 ,教师应注意引导学生依据题目特征 ,类比相关知识 ,通过相关数学模型来促使问题的解决 .本文利用直线与圆有关常用数学模型求解一类数学题 ,供参考 .1　利用点到直线的距离公式解题设 A(x0 ,y0 ) ,直线 l:Ax + By+ C=0 ,则 A到 l的距离 d=| Ax0 + By0 + C|A2 + B2 .例 1　已知实数 a,b满足 a+ b=1.求证 :(a-3) 2 + (b+ 4 ) 2 ≥ 2 .图 1证明　不等式左端可视为点 P(a,b)到点 Q(3,- 4)的距离的平方 ,而点 P(a,b)可看作直线 l:x+ y=1上的任意一点 ,于是问题转化为点 P在直线l上什么位置时线…     

利用均值不等式巧解抛物线有关对称问题

抛物线上有关存在相异两点关于某直线(或某点)对称求参数范围的问题,一般都是利用构造判别式大于0(Δ>0)或利用对称中点M(x0,y0)位于抛物线焦点所在范围内构造y20与2p x0不等式进行求解.本文给出利用均值不等式解决此类型问题的一种新方法,其特点是思路明快,解法简捷.例已知抛物线C:y2=4x与直线l:y=2x+m,若C上总存在相异两点P、Q关于直线l对称,求m的取值范围.解设P(t2,2t),Q(s2,2s)(t≠s),则kpq·kl=-1且PQ的中点M∈l,所以2s-2ts2-t2·2=-1,2t+2s2=2·t2+2s2+m.即s+t=-4,s2+t2=-m-4.所以s2+t2=-m-4,2st=20+m.因为s2+t2>2st(s≠t),所以-m…     

一道解析几何题的多种解法

<正>题目已知圆O:x~2+y~2=8交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,直线l:x=-4为准线的椭圆.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若M是直线l上的任意一点,以OM为直径的圆K与圆O相交于P,Q两点,求证:直线PQ必过定点E,并求出E的坐标;(3)如图1所示,若直线PQ与椭圆C交于     

说明

设直线l：Ax＋By＋C=0（A、B不同时为0），圆O：（x-a）^2＋（y-b）^2=R^2，则圆心O到直线l的距离为d：｜Aa＋Bb＋C｜/√A^2＋B^2．由直线与圆的位置关系可知，直线l与⊙O有交点的充要条件是：d≤R．     

高中数学基础训练题（4）

直线与圆1.点 P(2 ,5 )关于直线 x+ y=0的对称点的坐标是(　 ) .(A) (5 ,2 )　　　 (B) (2 ,- 5 )(C) (- 5 ,- 2 ) (D) (- 2 ,- 5 )2 .点 M(2 ,0 ) ,N是圆 x2 + y2 =1上任意一点 ,则线段 MN中点的轨迹是 (　 ) .(A)椭圆　 (B)直线　 (C)圆　 (D)抛物线3.直线 ax+ 2 y+ 2 =0与直线 3x- y- 2 =0平行 ,那么实数 a的值为 (　 ) .(A) - 3　 (B) - 6　 (C) - 32 　 (D) 234.如果直线 l将圆 x2 + y2 - 2 x - 4y=0平分 ,且不过第四象限 ,那么 l的斜率的取值范围是 (　 ) .(A) [0 ,2 ]　　 (B) [0 ,1](C) [0 ,12 ](D) [0 ,- 12 ]5 .在直角坐…