圆幂定理在解题中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论却称圆幂定理。在解有关圆的问题中，应用广泛、下面举例说明圆幂定理在解题中的应用．一、求线段的长树l如图1，在凸ABC中，AB=AC，／C”一72“．①O过A、B两点且与BC7相切干B．与At、交于D，连结BH．若BC一八一1．项gAC一．（1996年山西省中考题）分析由切割线定理知BC’一CH·AC，即AC·L4C－AD＞一DC’．又AD一AC，／C一72？一易得HI：）—BH一BC一八一1．…AC·（AC一八十1）一（人一1）2，ROHCZ－（八一1）HC－（八一1）2一0解得AC—2·二、求城段的比值例2如图2，PA是…     

圆幂定理在几何计算中的应用

相交弦定理和切割统定理以及它们的推论统称圆幂定理．在解有关圆的问题中,应用广泛．下面举例说明圆幂定理在几何计算中的应用．一、来国的半径例1如图三月0的弦AB与半径OC交于P点,＊是＊c的中点,且AP：PB＝1：2,若AB＝18,则①0的半径等于（）（A）3拓;（B）2拓;（C）厄;（D）4拓．（1997年大连市中考试题）分析延长CO交①O于D,设①O半径为r,则CP一会r,DP一县。由相交弦定理知”””’”””—“－2”’一2’”一’———”—“～——””’PA·PB。PC·PD．因AP：PB一回：2,AB＝18,故——。＿—＿＿。＿＿、…     

相似三角形中的计算问题

相似三角形中的计算涉及的知识点多,技巧性强．下面将相似三角形中的计算问题予以归类,解析如下．一、求线段的长例1如图1,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,线段EF在对角线AC上,ECAD于C,FH上BC于H,且EC＋FH＝EF．求线段EF的长．（1997年浙江省中考题）解析易知AC＝5,突破口是EG＋FH＝EF,ffiAE＋EF＋FC＝5．②分别用EC和FH表示AE和FC．二、求面积BC边上一点,DEAB于E,ADC＝45．若,求ABD的面积．（1998年北京市中考题）解析欲求ABD的面积,只须求出DE、AB的长．不妨设DE＝X,那么利用勾股定理易得解得x＝2…     

证明圆中两角相等的思路分析

在圆中证明两角相等,是中考题中的常见题型．这里结合1998年的中考题介绍如下．一、用等弧所对的圆周角来证例1如图1,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆O的内接四边形ABCD的边AB切小圆O于P,对角钱AC、BD交于Q,小圆半径等于CD长的一半,AK是大圆O的直径．求证：／BAK＝／CAD．（1998,四｝11省）分析只须证BK＝CD,进而要证BK＝CD．连结BK、PO,·．‘AK是大圆的直径,P为切点．易知PO／／BK,’．PO一步BK．又知PO＝“‘’“’””””“一’‘—““’””“一2—““””—”””—～士CD,…BK＝CD．获证．？…     

证明线段比例式(或等积式)的思路分析

证明线段比例式（或等积式），特别是证明圆中的线段比例式（或等积式）是全国各省市中考命题的重点和热点．因此，同学们学习因这一意时，要系统掌握这类命题的证题思路．证明这类命题的基本思路是：1．利用相似三角形．2．利月圆幕定理（相支弦定理、切割线定理和割线定理统称国幕定理）．3利用平行线分线段成比例定理或其推论．其中用得最多的是相似三角形．下面举例说明，供参考．例1已知：如图1，四边形ABCH内接于00，过点D的切线HP／／AB，DP与AC的延长线相交于点P．求证：CD‘一CB·CP．（1996年河北省中考题）分析欲证CD’…     

相似三角形中的计算问题

近几年中考题中有关相似三角形的计算问题所占比例较大，此类题的特点是综合性强：综合考察几何基础知识、几何作图技能和运用方程的思想方法、分类讨论的思想方法．例1如图1，已知凸ABC，AB—7，AC二8，BC—9，DE／BC．四边形脱？ED的周长与凸ABC的局长的比是5。6．（J求四边形B（WD的周长；（ZJ求DE的长．（93年上海市中考题）分析由已知，（1）容易求得．（Z）是求相似形中的比例线段长度问题，一般考虑综合运用相似三角形的有关知识和方程方法解决．解（l）由已知，凸ABC？的周长一7＋8＋9一2上又因为四边形从＊D周长：凸…     

圆幂定理在几何证题中的应用

圆益定理指的是相交弦定理、切割线定理以及它们的推论．下面举例说明它们在证题中的常见应用．一、证明两条线段相等例1如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边的高,H是垂心,AD的延长线交凸ABC的外接圆于点G．求证：DH＝DG．（1997年,甘肃省）分析由相交弦定理有DG·DA＝BD·＿＿。。＿＿BD·DC＿。、＿＿＿,＿＿＿＿、＿DC．即DC＝y分子上．欲证DH＝DC,只须证——”””——－DA“—”“—““－—一’””””“＿、,BDllL1。＿＿、＿。a＾‘＿＿＾＿＿,＿＿DH＝errs．放考虑证明凸ABD。凸CHD来—““DA“—…     

圆中常见的辅助线

在解圆的有关问题时，辅助线能起到铺路搭桥的作用．辅助线的作法，应该选择那些我们接触较多，比较熟悉的线段为宜．一、两回相切，常常委作出公切钱树1如图1，①OI与①02内切于点T，o01的弦TA、TB分别交①02于C和H．（1）求证：凸TCD①凸TAB；＿＿7，x’2＿。＿‘＿。。，（2）当HC—5，王子一手时，求AB的长．”“”“““”’WHq－””－”’———”””－（1996年浙江省中考试题）分析（1）欲证凸WCHOO凸WHB＜一上CN一ZABW．为此，过T作①01与①02的外公切线MN，由弦切角定理可得zMTH一ZCHT一Z见于是命题得证．（…     

构造相似三角形证题

利用相似三角形的性质来证明比例线段,有时会遇到在所给定的图形中没有相似三角形的情况,这时需要根据已知条件及图形特征,添加适当的辅助线来构造相似三角形,从而打通证明思路,使问题迅速获证．请看下列各例．例1如图1,在等边AlABC中,P是BCL任一点,线段AP的垂直平分线分别交AB、。IC于M、N．求证：BP·PC＝jlllCN．分析要证Bp·pC＝BM·CN、只须证生二——”———————““一’”””””一（;一万二二．横向看比例式：线段BP与BAI含有三个w””””“”“—”“—“””’—“”“““’“”““‘“一’字母B…     

用特殊直角三角形巧解中考综合题

用特殊直角三角形解综合题的基本思路是：遇特殊角可通过作适当的辅助线，构造特殊直角三角形，以便用勾股定理或锐角三角函数解题．现以中考题为例，分类分析解题思路．一、求线段的长例1已知：如图1，D、E、F是日0上的三等分点，过D、E、F三点作凸ABC，使DF／／BC，ZABC—45。，AB—3八，BC—4．求HE的长．（不取近似值）、（1996年四川省会考题）分析由题设可知DE是等边凸DEF的＿＿，，＿＿＿AHHF。。油征二”．’DF／／BC，”．ff：一一2，即——。、·’—。，，—一”4BBC”一’而AB、BC为已知，关键是求AH．”．”…     

中考试卷中与圆有关的综合题浅析

中考试卷中的综合题，往往都是以圆为背景设计的，本文将与圆有关的综合题归类予以剖析．一、与圆有关的计算题这类题与相似形中的比例线段、圆幂定理的应用以及解三角形等知识相联系，解答中往往是计算与推理并存，有些还需设元代换，借助代数运算达到计算的目的．例1已知：如图1，DB为①0的直径，A为BH延长线上一点，AC与co相切干点E，CB上AB如果AE。EC一2：1，HE＋BE—4＋2八．求凸ABC的面积．（996年db京市中考题）分析设CE—X，则＊B一ZX．易知CB为co的切线，故＊B一CE—X．在Rt凸HBC中，有AC’一CB’WAB’．故易证…     

线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．同数学语言表示：如图1,直线ｌ上AB于CAC＝BC）。PA。PB．点P在l上J逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：如图1,PA二PBrt点P在AB的垂直平分线上．定理提供了判定两条线段相等的依据,逆定理提供了证明点在直线上的依据．它们在计算、证明、作图中都有重要的作用．一、在计算中的应用移ul如图2,等腰rtABC中,过腰AB的中点D作垂线（A、C在此垂线的两侧）交另一腰AC于E,连结BE．如果AD＋AC＝24cm,BD＋BC二20cm,求…     

与圆有关的综合题选讲

一、圆的综合题1．与圆有关的计算题：这类题与解直角三角形．相似形中的比例线段和圆幂定理等知识有关．有时还需用到面积计算和三角计算．例1如图1，圆已经过圆01的圆心．与圆01相交于A、B两点，直线0102交圆02于C，HOI的延长钱交圆01于H．设圆01和圆02的半径长分别为l厘米、，；厘米（nl＜I；〕．并且，II’＝212．（1）求证：DB／／O（；（2）求线段DB的长；门）连结oA、oB，如果已A上oD．求n的值．分析（1）连AB，要证DB“OIC？，只须证HB上AB，0；C上AB．（2）要求线段HB，可解Rt凸ADB．AD一2】l·只须求线段AB．即…     

平行线等分线段定理两个推论的应用

推论１经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰．推论２经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．平行线等分线段定理的推论１和推论２是两个重要的定理，在论证和计算梯形及三角形的问题中经常用到，利用它们可平分线段、证线段的中点或证明线段的和差倍分等．为了让学生能熟练地掌握并运用这两个推论，本人采用了将定理简化记忆的方法．这两个定理可简记为“中点”＋“平行”“中点”（条件）（条件）（结论）现将应用举例如下．一、证线段相等问题例１．已知：如图１，M、N分别是平行四边形ABCD的AB、CD边的中点…     

巧解中考试卷中的三角综合题

现以1994年各地中考题为例，介绍三角综合题的巧解．一、三角形综合题例1如图1，已知M为△ABC内一点，AB＝，AC＝2，LBAC＝75-°LMBA＝MAB＝30°．求CM．（湖北孝感市1994年中考题）解作MD上AC于H，ME上AB于E．二、王角与方程的综合例2实数m，n应满足怎样的条件，才能使方程x。－／示x＋n一。的两根成为一直角三角形两锐角的正弦．（无锡市1994年中考题）储设直角三角形两锐角为A、B，”．’A＋B—90”，“．stuB一。。sA，即sinA和。。sA是方程的两根，由韦达定理得sinA＋。。sA一／示＞0，sinA、cosA一nDeo，’．”sin…     

圆幂定理在几何证明中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论统称圆幂定理．在许多涉及国的证明题中可以直接应用它或借助它进行转化获得解决．举例说明如下：一、证明线段相多例回如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边上的高,H是垂心,AD的延长钱交凸ABC的外接圆于点C．求证：DH＝DC．（1997年甘肃省中考题）分析由相交弦定理知DG·DA＝BD·DC．欲证DH＝DC,只须证DH·DA＝BD·DC．为此,只领证凸ABD。凸CHD．由已知易证／BAI）＝／HCD,而LADB。／CDH二印,所以凸ABD。凸CHD．从而结论可证．证明略．二、证明线段比例式（或等积式…     

线段和最值问题的分类赏析——以2022年中考题为例

<正>形如“a+kb”型最值问题一直是各地中考的热点问题之一．此类问题通常借助“对称”“平移”“相似”“函数”等方法,以“两点之间,线段最短”或“点到直线垂线段最短”或“共线时共端点线段和最大”为依据来解决．本文以2022年中考题为例分类解析线段和最值问题的求解策略．一、作对称变换1．两点之间线段最短例1（眉山中考题）如图1,P为矩形ABCD的对角线AC上一动点,E为BC的中点,     

理科教学片断评析(3─4)

3.倍数关系应用题1．教师出示线段图,提问：“图中告诉了我们哪两种数量？提出了一个什么问题？”“谁能根据图中的已知条件和问题编一道应用题？”2．教师出不例10（l）：学校有6个足球,18个排球,排球的个数是足球的多少倍？引导学生对照线段图进行讨论：“求排球的个数是足球的多少倍就是求什么？怎样列式？这仅题是谁跟谁比,谁为一份数？为什么用除法计算？”“在18＋6＝3中,18、6、3各表示什么？”3．将线段目中第二个条件改成问题,将问题改成条件（如下图）,引导学生看图编应用题。4．教师出示例10（2）：学校有6个足球,排球的…     

利用“中点线段倍长”法解题

在解决线段的有关问题时,如果已知条件中有线段的中点,那么可以考虑将经过中点的线段延长一倍作为辅助线,以便构造全等三角形．我们不妨把这一添加辅助线的方法称为“中点线段倍长”法．现举例如下：一、求线段的长度例1（2011黄冈中考）如图1,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边的中点,     

方程根的定义和韦达定理的应用

在应用一元二次方程报与系数的关系求一些代数式的值时,如果能恰当地运用报的定义,则可使问题迅速获解例1已知x、b是方程。’＋hi－2＼＋1＝O的两根则问十un;＋a’VI＋;;山十b＼的位为＿,（如年湖北省荆什］地区中考题）解一a、b是方程的两根,a＋nltlZa＋1＝O,hi＋nib－Zb＋l＝O．故a’＋n。＋l＝Za,b’＋nin＋l＝Zb．又由书达定理知ah＝l从而有（1＋n。＋a’）（l＋nib＋b’）＝Za·ZI）＝4（ah）二4．例2设a、b是相异两实数,且满足a’二。,la－b“4a＋3,b上一4b＋3,贝U,t＋”＝”“—’—”一’””“b一——”（％年…