一个有趣的平几命题及应用

究竟是什么使我们感到一个结果和一个证明是精美的呢?它就是不同部分之间的和谐,它们的对称性,它们的美好的平衡……——(法国大数学家)庞加莱     

一个三角公式在平几解题中的应用

部编数学高中第一册P167第19题:在△ABC中。求证:tgA+tgB+tgC=tgAtgB tgC。一般学生都会证明这个三角恒等式。可是对于它在平几解题中的应用及其推广却不太清楚,现分别介绍如下,供中学生参考。 [例1]如图(1),已知:O是△ABC的外接圆圆心延长AO交BC于D。交圆于E,延长BO交AC于F,交圆于G,延长CO交AB于P,交圆于Q。求证;DE/AD+FG/BF+PQ/CP=1。 [证明]连BE,CE,则     

一个有趣、有用的公式

梁绍鸿先生在《初等数学复习及研究(平面几何)》中第四十节关于垂直的证明术11指出:证两条直线互相垂直,可在其中一直线上取P、Q两点,在他线上取M、N两点,而证PM~2-PN~2=QM~2-QN~2。若设PM=c,PN=a,MN=b,QM=d,QN=f,PQ=e,上式可写为: c~2+f~2=a~2+d~2。若设b、e所成的角为a。显然becosa=0则b、e垂直。我们设想b、e不垂直时,是否有下式成立:     

一个有趣平几公式的三角证法

《中学数学》(苏州)1996年第9期《一个有趣的平几公式》一文介绍了一个新发现的颇为有趣的平几公式,本文将巧用三角法提供一种别致的证明. 定理 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r_1,r_2,则△ABC的内切圆半径r满足     

一个有趣平几公式的对偶式

文[1]给出定理: 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1,r2,则△ABC的内切圆半径r满足r=r1+r2-(2r1r2)/(h).     

有趣的配对问题和一个组合数公式

在排列组合的应用题中，有一类非常有趣的问题，就是有关鞋子、袜子、手套、夫妻等的计数问题，这类问题的特点是成对计数，因此与其它排列组合问题有所不同，选取元素时，有时成对选取，有时又要按单个选取，请看下面的问题。     

三角形面积公式解平几题

在计算三角形面积公式中,常用的有:S=(1/2)ah、S=(1/2)bcsinA,从这个公式出发与三角形面积有关的性质有: 1.等底等高的两个三角形面积相等、等底(高)的两个三角形面积之比等于高(底)之比。 2.有一组内角相等(或相补)的两个三角形的面积之比等于夹这组内角的两边乘积之比。 3.相似三角形面积之比,等于相似比的平方。下面举例说明:许多与线段或角的度量关系有关的几何题,若能恰当地应用面积公式或上述有关性质,解决起来比用其它方法来得简捷明快。例1 若对角线AC将四边形ABCD分成两个相等的三角形,则AC必平分对角线BD。证明:作DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,     

一个平几命题的推广

题　如图1,内接于圆的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K,过点K的直线与边AD,BC分别相交于点H和M.求证:(1)如果KH⊥AD,那么CM=MB;(2)如果CM=MB,那么KH⊥AD.这是九年义务教育初中几何课本第三册第210页B组第2题.本文作如下推广:推广1　圆的两弦AC,BD所在直线垂直相交于点K,过点K的直线与弦AD,BC分别相交于点H和M(如图2,3),则KH⊥ADCM=MB.图2　　　　　　　　　图3特别地,平移BD或AC,使BD为圆的切线,B(D)为切点(如图4),此时,上述结论仍成立.证明此略.图4　　　　　　　　　　图5推广2　设直线x y n=0,x-y p=0的…     

有趣的皮克公式

北师大版《数学》七年级(上册)有一个“读一读”的内容,介绍了一个有趣的皮克公式. 皮克公式是奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵多边形面积的公式,其面积公式为S=a (1/2)b-1,其中a表示多边内部的点数,b表示     

有趣的皮克公式

北帅大版《数学》七年级(上册)有一个“读一读”的内容，介绍了一个有趣的皮克公式．     

有趣的皮克公式

在一次迎春联欢会上，观众座无虚席，座位号是按自然数1，2，3，…一直排下去的，节目很精彩，结束的时候，主持人宣布：“下面我们将产生一位幸运观众，产生的规则跟以往不同，座位号码为     

有趣的皮克公式

奥地利数学家皮克(Georg Pick,1859—1943)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式:S=a+1/2b—1,其中a表示多边形内部点的个数,b表示多边形边界上点的个数,S表示多边形的面积. 例如,图1中,a=3,b=10,这个多边形     

有趣的皮克公式

北师大《数学》七年级下册有一个“渎一读”的内容，介绍了一个有趣的皮克公式，说的是奥地利数学家皮克(GeorgPick，1859-1943)发现的一个计算点阵多边形面积公式S=a 1/2 b-1,     

构造四面体证一个平几不等式

命题 在锐角△ABC中,AD,BE,CF为高,H为垂心,记h=(HD·HA)~(1/2),则     

一个有趣的等式

李嘉是一名打工仔，能利用工余时间学习数学，对数学发生兴趣，特写此文，今给予发表．     

一个有趣的不等式

关于一个非负整数不等式,令α=,其中:ω=k、l、∈、N,N为自然数集,则有α≤的证明。     

一个有趣的梦

灯下,我躺在床上看历史课本,不知不觉中头越来越沉,上下眼皮一个劲地在打架,直到打得精疲力尽……我正在一条铺着石板的街道上低头走着,发现身旁渐渐围了很多人,好像看什么稀奇事似的对我指指点点,这可真把我吓了一跳。“咦,我这是到了哪儿?”抬头一看,周围的人一个个留着齐腰长辫,穿着长袍马褂。我大吃一惊,这种打扮,书上不是有记载吗?这是清朝的服装呀。正在这时,一个老夫子装扮的人,对着我摇     

一个平几命题在解几中的应用

文 [1]运用解析法给出了圆锥曲线上点的四个有趣性质 .本文由一个平几命题得到这四个性质的统一简证 .定理　设直线 l1 与 l2 交于点 O,点 M,N是 l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n(m >n>0 ) ,l1 上的点 P对线段 MN的视角为α,则当 |OP|=mn时 ,α最大 .图 1证明　如图1,过点 M,N 作⊙ C切 l1 于点 K,则∠ MKN是 MN的圆周角 ,∠MPN是 MN的圆外角 .故∠MKN是 α的最大值 ,此时 ,由切割线定理知 |OK|2 =|OM|· |ON |=mn,即当 |OP|=mn时 ,α最大 .推论　设直线 l1 ⊥ l2 于点 O,点 M,N是l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n…     

一个有趣的结论

近日笔者在利用复数解决三角问题的教学中得出这样一个有趣的结论:专这个常数它有无穷多种余弦函数的和的表示形式。为了解释这种结论,我们首先看两个简单的问题,(本文全部是用复数的运算来解决问题,至于其他方法在这里不再介绍)