一类有关三角形不等式的代数证明

一、转化方法任何三角形总存在内切圆。为此，将三角形三边a、b、c施行如下变换（如图）：a＝y＋z（＊）b＝z＋x（x，y，z∈R＋）c＝x＋y就可以把关于三角形各元素的不等式转化成关于正数x、y、z的代数不等式。（Ⅰ）设p＝１２（a＋b＋c）则p＝x＋y＋zx＝p－ay＝p－bz＝p－c我们用x、y、z来表示时，关于三角形各边长度的限制条件：b＋c＞a，c＋a＞b，a＋b＞c可以转换为如下的表述：p－a＞０，p－b＞０，p－c＞０。因而，对任何x、y、z∈R＋，不等式有G（x，y，z）≥０G（p－a，p－b，p－c）≥０。（Ⅱ）为下面叙述方便起见，列出三角形中…     

两个几何不等式的加强

1 .1 96 5年 ,H .Demir-D .C .B .Marsh建立了三角形高线ha、hb、hc 和旁切圆半径为ra、rb、rc 的不等式[1] :raha+ rbhb+ rchc≥ 3.①文 [2 ]把上述结果加强为 :设三角形的内角平分线和旁切圆半径分别为ωa、ωb、ωc,ra、rb、rc,则raωa+ rbωb+ rcωc≥ 3.②本文将②再加强为 :rarb+rc+ rbrc+ra+ rcra+rb≥32 .③由三元均值不等式易证式③成立 .欲证③是②的加强 ,只须证下列三式rb+rc≥ 2ωa,④rc+ra≥ 2ωb,⑤ra+rb≥ 2ωc.⑥据旁切圆半径及角平分线公式 ,rb+rc≥ 2ωa 等价于p(p-a) (p -c)p -b + p(p-a) (p -b)p -c≥ 4 bcp(p -a)b…     

涉及周界中点三角形的两个不等式

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分，则称这一点为三角形的周界中点，并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形．     

不等式

不等式是中学数学的基础和重要部分,它和函数、导数方程、数列、三角、解析几何等知识关系密切,相互渗透,相互为用,因而成为历届高考考查的内容．它主要包括不等式的性质、解不等式、证不等式、用不等式四大板块．其中,不等式的性质是基础,证不等式是难点,解不等式、用不等式是重点,而含参数不等式的综合问题是命题的热点．复习时应弄清不等式多个性质的条件和结论,准确运用不等式的性质,用好等价转化思想,掌握证明不等式的常用方法,提高用不等式解决综合同题的能力．[第一段]     

垂足三角形的几个有趣不等式

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.由于直角三角形的垂足三角形退缩为一条线段,所以只需要研究锐角三角形与钝角三角形两种情况.文[1]得到了垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式.本文将给出有关面积、周长、边长的三个等式,由此得到几个似曾相识的不等式.引     

两个几何不等式的强弱关系

比较了两个已知的几何不等式,证明了它们之间的强弱关系。     

三个不等式猜想的反例构造

猜想 1　设 ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc,ra,rb,rc表示△ ABC的中线、内角平分线、高线及旁切圆的半径之长 ,则有 4R2 4Rr 3r2 ≥ ∑mawahara .这是文 [1]中提出的猜想 .构造 Rt△ ABC,a =BC=1,b=CA =1,c=AB=2 ,通过计算得 ma =mb=52 ,mc=22 ,wa=wb=4- 2 2 ,wc=22 ,ha=hb =1,hc=22 ,ra =rb =12 ,rc=12 - 2 ,R=22 ,r=2 - 22 ,则∑ mawahara =2 10 - 5 2 2 - 12 ,4R2 4Rr 3r2 =9- 2 22 ,不难验证2 10 - 5 2 2 - 12 >9- 2 22 ,即此时有∑ mawahara>4R2 4Rr 3r2 ,故猜想1不成立 .猜想 2　设 ha,hb,hc,ra,rb,rc 表示△ ABC…     

三个无理不等式之间的链接

2003年笔者在文[1]里提出如下不等式:问题1 在△ABC中三边长为a,b,c,求证.     

不等式

不等式是中学数学的基础和重要部分，它和函数、导数方程、数列、三角、解析几何等知识关系密切，相互渗透．相互为用．因而成为历届高考考查的内容。它主要包括不等式的性质、解不等式、证不等式、用不等式四大板块．其中．不等式的性质是基础，证不等式是难点，解不等式、用不等式是重点。而含参数不等式的综合问题是命题的热点．复习时应弄清不等式多个性质的条件和结论,准确运用不等式的性质。用好等价转化思想．掌握证明不等式的常用方法，提高用不等式解决综合问题的能力．     

挖掘隐含条件解不等式

<正> 解不等式是高考重点考查的知识之一,其中含参数的不等式的解法,经常出现在高考试题中,它可以考查学生综合运用所学知识解不等式的能力.学生在解含参数的不等式时,往往感到有一定困难.究其原因,常常是因忽视了题中的隐含条件.下面举几个例子说明.     

三方关系在思维教学中的应用及其效果评价

思维贯穿教学的各个方面。该文着重从学生、教师、媒介三方面对思维教学进行阐述 ,并解释了思维教学里的学生、教师、媒介在互动思维中是如何发生作用最终完成教学任务———教会学生用自己的思维方式去思考问题、分析问题、解决问题。     

三个积和式不等式

积和式理论在概率统计等领域有较广泛应用,该文给出三个有用的积和式不等式,并给出详细的证明.     

关于一类广义算子隐向量变分不等式的解

在广义算子向量变分不等式的解（GOVVI）的基础上,提出了广义算子隐向量变分不等式的解（GOIVVI）,得到解的存在性．     

一类广义隐拟向量变分不等式解的存在性问题

本文研究了Hausdorff空间中一类广义隐拟向量变分不等式问题（GIVQ1）,利用不动点定理得到了解的存在性定理,给出了（GIVQI）若干推论．     

Young不等式的三种证明与三个经典不等式的简捷推导

用三种方法证明了一个简单而又重要的Young不等式,以此为基础证明了赫尔德(H lder)不等式、柯西(Cauchy)不等式和闵可夫斯基(Minkowski)不等式。     

论实验教学应处理好的三个关系

在高校实验教学中，处理好动口与动手、传统与创新、在校教育与跟踪继续教育等三个关系，对消除旧的教育传统的影响，对改善人才培养的模式，对促进教学效果的提高，具有重要的意义．     

有关平均差距的三个不等式

利用方差来估计它们的差距成为一个研究热点.利用最值压缩定理给出了n元算术平均、几何平均和调和平均的差的三个新的上下界估计.     

评析西方政党之间的“潜规则”：合法反对原则

政党制度是现代政治制度的重要组成部分,合法反对原则是西方民主政治历程中发展出来的一项政治原则,为西方国家多党竞争轮替制度的游戏规则提供了依据。对西方合法反对原则的评析,需要进行客观的评价与分析。     

论"三种文明""三大纲领"和"三个代表"的关系

“三种文明”“三大纲领”和“三个代表”之间存在着密不可分的内在联系。它们之间不仅存在着形式上的对应性关系。也存在着内容上的相互交叉、相互包容关系。江泽民同志的“三个代表”思想是人类社会现代文明与无产阶级政党本质特征的完美结合。“三个代表”把建设人类现代物质文明、精神文明和政治文明同党的根本宗旨统一起来。集中体现了我们党的先进性，突出反映了我们党区别于其他政党的本质特征，为在新时期进一步加强党的建设指明了根本方向和前进目标。     

再探三圆相关的几个不等式

文[1]给出如下一个定理: 定理若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别是⊙I1、⊙I2、⊙I3,其半径分别是r1、r2、r3,则有a/r1 b/r2 c/r3≥12√3.