Abel变换的应用

·习冈Abel变换为:名。‘b:=。产,+忿~1变换得.一I乙a*(。‘一。:十,)丫、一名b、:二。声 .~至。+习a‘(二:一x:+,)其中。:二名。、‘i~1,2…,”)._a味劣月一(x,一x:,:)=名(a一 口曰万问了正:刀。‘乙‘=。:乙:+。2乙2+…+aob。 ,,1·万曰 一 =a:a,+aZ(aZ一a,)+…+a.(口一a。一:) 二a,(a,一aZ)+口2(aZ一a3)+…+a一:(a,l 一口,)十a。气 .一l =。。a.+刀a‘(a,一a‘十:). 云口1 众所周知.人bel变换在高等数学中有其广泛的应用.其实.它在初等数学中也占有一席之地.请看下列几例. 例一设a:,aZ,…,a。:b:,bZ,…,b。是实数.证明使得对任何满足…     

Hlder不等式的巧用

这是熟知的著名不等式—H61der不等式a,m牛a,,产‘+…+a_’“_/a,+aZ+一+a.、成 刀一\月I此处:a*(R+,i=1,2,…,:,。、,:(N.求证(瓦十会)’+(凡十士)三十二十(付彩 巧用H61der不等式,可以使一类代数、三角、只何不等式的证明显得特别简洁明燎.+资。)’知小十封’例1证明若正数a+b=1,则a‘。一卜b,‘,》512一,.依H6lder不等式,aio+b‘o 2、/a+b\10户多妞--气二-~I一、乙j证明依H6lder不等式,了K.+李丫、.了K,长上)’一。,.r汀人一。一1、、一二‘K:/‘、一“凡/’‘又一“‘龙/ 打卫K 1.‘不丁= 11024’!“才 一 一 一。。‘二al。+b10…     

一类二元函数最值的求法

(3)得C办r军{\恻口 bZ扩二\,,,~万两一一二万爪-刀,pJ丫a‘十b‘/一浓一b/才一一+ 本文介绍形如:f(x,沪=(t7召万二牙十b心不二百)(乙了万不万十。了石万歹的二元函数最值的求法.(a、乙、c、d、。、了任尸且e+。=d十f)。 解:显然f(x,妙的最小值为。,下而给出厂(x,砂的最大值的求法. 设x,二。功刃无,xZ一西而马,,,=b石不妥,,:二a甲不es云,c+。一J+f一二,则得(2)、(3)得二(十b乙2丫 这说明(4)给出的P(爪D的中点,因此当(x:,万,)=心,碧十豁一。+。,即黯+黯一1(万:,aZ十石2,吸1)只px=f(x,92)=b Ze一aZ(筑嘿王(烹兴号 aZ、/,打\丫a‘十b一/.沪…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

浅谈不等式a

张世镕 《数学教学通讯》1989,(2)

三元二次齐式因式分解一法

对三元二次齐次多项式f(:,,::,x3)二a;,:,“亡不12苏J工二 2+a 2 3xzzs+aZs刃之xs+as3x3-+a:,x里我们有 定理f(::,x:,x。)能分解为实系数多项式b,二,+b:x:一卜b。x3与。,x,+。:x:+。:x3之积的充要条件是 f(o,:2,::)=(b:x:+b。x3) ·(。:::+e 3 x3), f(二:,o,x3)=(占,二工+西3二:) ·(e工x,+。,x3), 了(:,,::,o)=(乙,:,+b::2) ·(。Zx王+。:x:). 证:必要性显然.将三个恒等式展开比较系数即得充分性, 例1.分解因式: 2劣2+xy一3y艺+3xz+7夕之一2之2. 解:以f(二,歹,习记原式,则 f(o,夕,z)=(一夕+2:)(3夕一:), f(:,o,z)二(:+22)(Zx一:), f(x,y,…     

一个不等式的应用

本文给出不等式,然后讨论它的应用: 命题:若二,)o(落=1,2,…,无),。,希均为自然数,且。,希)2,则 /a,八气几一1).1,二一丁~一a鑫】妻(a一a。). \了己一1/化简得,,嵘一Zaa。(o,.、。簇。。簇兰a.叫+叫+…十畔)乃”一1(劣,+劣。+…+劣:)玲(I>同样有 例1八__2U气吸气丽a““1一2…,儿一1).成立.立.当且仅当‘:二二:=·一二、时上式等号成已知a、b、。、d、· a+b+c一卜d十e己是满足,证明:依柯西不等式的推广式:(a全,+a瑟,+…+a瑟,)(a全:+a瑟:+… +a井:)…(a全。+a二,+…+a井。) )(a,lai:一al:+a:ia::一aZ。+… 十a、la、:…a、。)”. aZ十…     

柯西平均值定理应用

不等式ai aZ十…十a。 ”>。,仅当。1二a:=一二o.均值定理。L》刀瓦不落二(a,aZ,…“。时上式取等号)称柯西平一、直接利用定理证不等式、,‘办、,__,In十1、.节组1口」吃习七几l尧尧、~一一石一一、】 、‘曲证:粼而「=刀不厄污不云《~1 2十3 二 ” 怜二” 1 2 一I” 1 nl尧眨,龟一一蕊~一一 ~、乙(仅当n二1时取等号)例2 .P>o,证明略。例3 .a,,a,,求证1 P PZ … P召”)(Zn 1)P.…,火>。,求证(al a: 一 。·)(一箭 公 … 一井)浏证:。,十。: 一 a’》”刀可云声云石止 止十…十一上》。刀二二二ala,。。一,o盆0.‘,·0.二式相乘即得二…     

椭圆上关于某直线的对称点存在问题——从92年一道高考题谈起

蛇年高考理科试卷28题实际_卜给出了在椭圆上关于某一已知直线对称点的存在性问题.即 命题l椭圆子+子一1(a>b>“)上,若存在与Z轴交于P(工。,0)的直线l对称的两点,那么 aZ”诱aZ十bZkZ’ aZ”‘ aZ十bZkZ+,. x,.丫﹄z!‘l 心(x,,,,)任l,代入l得矿一犷__护一犷—咬了。<几—· a口 aZ”‘aZ+bZkZ十仍= aZ,,认2“2+石2七2+xok, 对此命题我们给出有别于该卷标准答案中两种证法的另一证明.整理得即不。=x。(aZ+乙2无2)”‘二飞石于二落万(l) 证明:设l:;一k(x一x。),月、刀为椭圆上关于l对称的两点,并设直线月B方程为,一牛:+”‘,,, 二,一…     

一类不等式的证明

先考虑一个例子. 若a、b、。均为正数,求证: (a+b+。)(a‘+b‘+e.) )(a,+bs+口,)(‘B+b.+e.). 证:因为(a一b)(a一护)》。, 所以a.+b岛>ab(a+b). 同理, b.+口,》b。(b+e),ea+a.)鸽(c+“). 由此知, ab(a.十b.)+b口(b.+。.)+ca(。.+as) 夯a,b,(“+b)+b,尸(b+e)+沪a,(口+。), 上式两边同加上矿十护十沪再分解因式,神得 (a+b+口)(。‘+b.+沪) >(a,+b,+沪)(a,+bs+沪). 显然,不等式中的等号当且仅当a二b=。时成立. 下面我们将给出这一类问题的一般性结论: 定理:设内(唇=1,2,…,哟均为正数,。、k、犷、s均为实数且满足。十k=犷+s及。>护)s>希,则(aT…     

自然数的一种迭代性质及猜想

设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(…     

第34届IMO试题解答

1.解法一假设f(x)可分解为两个整系数多项式之积 f(x)=g(x)·h(x),(,)其中g(x)=x户+a,一:x,一‘+…+a,x+a。, h(x)~x.+b,一lxq一’+…+b:x+b0,且a,=l,bq=1,P,宁,a。,a;,…,a,一1,b。,b,,…,bq一:任2. 首先证明P和q均不小于2.若不然,不妨设P~1,有了(x)~(x+a。)h(x).由aob。~3,有a。~士l或士3,即f(x)有根士1或士3.但 f(1)=8, f(一1)=(一1)‘+5(一l)一’+3 ~(一1)一’·4+3转O, f(3)=3一+5·3‘一’+3笋0, f(一3)~(一3)’+5(一3)一’+3 ~(一3)一’·2十3笋0.所以,士1,士3不会是f(x)的根,即P,q均不小于2. 设2簇户镇q(n一2.由aob。一3,不妨设a…     

关于f(θ)=sin~mθcos~nθ极值的初等解法探讨

关于m,n,常见的形式为它们同为正整数或正分数,现将f(0)的极值分情况讨论如下: (I)当,,n任N时,f(0)=sin尸0哪”8又由f(0)= 1fl(夕)’所以我们可以知道f(0)冷户((si矛)(8)=sinz,0翎钾”0=澎“)”一坦欺遨幽应欺迎幽- ,个)]=又因为当al,aZ…a,eR一时,由均值不等式有:的极值情况 (皿)当m,n为正分数时,不妨设。二鱼.,一华.(鱼.生为既约分数).则厂(。)-a 1 02口l“251。二·。一(sin。)舒(二。)赶,设百为。1,。2的最小公倍数,则产(0)=(sin。)瓮·(二。)瓮·,又令多一,,多一。, “1“2al,aZ…a,簇(a一 aZ 二’ a” n则产(夕)=(sine)吞;p(哪夕)…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

单元测试十 三角函数的综合运用

一、填空题(本大题共14小题) .函数f(x)=丫丽兀二妥五丐的最小正周期是2.在艺△ABC“C=900,,的中“。osA SinA=。osB sinB”是条件. ~‘_.。、2/.兀、3二。d.匕知tan气a 户)=下,tana气a 丁)=丽,刀P口“任产“,.、_了。兀、_二La:1、尸一万)-—‘设。。R ,女口果函数f(二)     

巧用因式定理解整除问题

因式定理的等价命题是: 如果了(x)是x的多项式,则 f(“)=0<=二(二一a)If(x). 特别地f(0)~0<=。xlf(二). 利用这个命题处理某些整除问题,思路明晰,步骤简捷. 例1求证4415一1是n的倍数. 证明:设多项式f(劝一(2二一1)’“一l, f(O)一O,令二一11, 川f(二)则 j’(11)二21‘。一1~441”一1. 1 1 If(11)~4415一1, 即4415一1为11的倍数. 例2求证1997,,,5 1995‘,9,是1996的倍数. 证明:设f(x)~(:· l)’,95 (x一1)‘9,,, f(0)~0,.‘.二{f(x). 令x~1996,则 f(t996)二1997,’95 1995,,97, 1 996】f(1996)~1997”,5 1995‘997 即1997‘,,5 1995‘,9,为…     

勾股定理的推广

设R名△ABC的勾,股,弦分别为。,b口,那么关系式a+b)c,。,+石2=。,,a’+b3<。3,启发我们,有如下定理. 定理函数l(劝=护+b‘一c‘当。咬:<2时为正,!(2)=O,当:>2片为负.证明f‘·,二二「(誉)’·(粤)’〕.由:(劲’·(劲2一‘,=夙n。,则互=。。。。,o<。<叮 Cla一c一命考虑甲(x)二/a\劣Ib\忿t—I十t—I\C/\ClSin公a+eos思a。 (下转35页)(上接38页)命x=2+了,则 势(劣)=甲(2+劣,) =sin“十之产a+eosZ十二,a =sin Za,sin,,a+eosZa.eos,,a。 当0<:<2时,:产<0,5 in,,a>z, eos,产a>J, 尹(x)>sin“a+eosZa=J,e’>O,故了(幻>叭 当x二2时,x,二o, …     

合成数列的通项及其应用

设有两个数列{‘}及{右,}: al一a,一a3,.‘”口”, b:,西,,b3,…,b。,依次交错排列a:,西:(k=1,2,…)构成一个新的数列{x。}: a,,b:,a,,b:,…,a。,乙二,我们称上述数列{x。}为数列{么。}和{乙。}的合成数列。 本文讨论两个数列的合成数列的通项公式及其应用。 定理设数列{a’‘},{乙。}的通项分别为 a。=f(n),b矛==g(n),那么,数列{。、}与数列{阮、}的合成数列{x二}的通项为 解:将。,二f(。)=a,b。=g(:)二吞代入(1)得所求数列的通项为X”二例2合、一“,+合‘一‘,”+“口一的·求数歹l】{x。1:1,1,2,2,3,3,n,”,’..的通项.解:将a,=f(:)=n二…     

反正割函数的求导及有关积分公式的商榷

在一般习题集或教材中,有如下求导公式与积分公式〔’〕。 zx\,a 1 arC SeC—I=-一一-二二二二二二二二二=叹口二 、a/劣丫劣‘一a‘丁 dxlx丫劣2一a“a.are see三 e(l}f,一午丁-“芯一下苗-一U“杯二2一aZ 2 aZ劣2 12 a3are see兰 ‘ a(2〕广斌.飞厄丁歹,,移—a劣一y劣“一a“