追本溯源,例谈“将军饮马”问题在中考中的应用

一、原题呈现苏科版教材八(上)第38页习题第9题:例1如图,点A,B在直线l同侧,点B′是点B关于l的对称点,AB′交l于点P.(1)AB′与AP+PB相等吗?为什么?(2)在l上再取一点Q,并连接AQ和QB,比较AQ+QB与AP+PB的大小,并说明理由.本题就是著名的"将军饮马"问题,一个经典的几何最值问题,实际上是在直线l上找一点P,使点P到直线l的同侧     

直线型f=|PA|±|PB|的最值分类讨论

问题1:已知直线l上动点P及两定点A、B,试求f=|PA| |PB|的最值.讨论:1.点A、B在直线l的异侧.如图一,当P取AB与l的交点时(这样的P点只有一个),fmin=|AB|;f无最大值.2.点A、B在直线l的同侧.如图二,设A′为A关于l的对称点,当P点为A′B与l的交点时(这样的P点只有一个),fmin|PA| |PB|     

从一道课本习题谈初中数学模型思想的培养

苏科版教材八上第38页第9题：如图（1）,点A、B在直线1同侧,点B’是点B关于1的对称点,AB’交1于点P． （1）AB’与AP＋PB相等吗？为什么？ （2）在l上再取一点Q,并连接AQ和QB,比较AQ＋BQ与AP＋PB的大小,并说明理由．     

轴对称性质的几类应用与延伸

如图1,在直线l上求一点P,使得PA+PB的值最小.通过作A点(或B点)关于l的对称点A′,则A′B与l的交点P即为所求.这是利用轴对称性质求两条线段和最     

例谈对称法解最小值问题

引例苏科版教材八（上）第45页灵活运用第9题： 如图1,点A、B在直线l的同侧,点曰’是点B关于1的对称点,AB’交l于点P． （1）AB’与4P＋PB相等吗？为什么？     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐篷B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA=PA′,故有PA PB=PA′ PB,由“两点之间线段最短”可知最短的线路为A→P→B.图1图2拓展1如果     

一个经典作图题派生的最值问题

1引例——类比联想 例1几何模型： 条件：如图1，A，B是直线l同旁的2个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交直线l于点P，则PA＋PB=A′B的值最小（不必证明）．     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

一个平几命题在立体几何中的推广及应用

命题 1　设 P,Q,A,B为同一平面上任意不共线的四点 ,则 PA2 - PB2 =QA2 - QB2的充要条件是 PQ⊥AB.(证明略 )命题的结论在空间仍然成立 .命题 2　设 P,Q,A,B是不在同一平面上的四点 ,则 PA2 - PB2 =QA2 - QB2 的充要条件是 PQ⊥AB.图 1证明　充分性 :即由 PQ⊥ AB,推出 PA2 - PB2 =QA2 - QB2 .因 P,Q,A,B是不在同一平面上的四点 ,两两连结 ,得到一个四面体 ,如图 1所示 .过 Q作 QH⊥ AB于 H,连PH ,又 PQ⊥ AB,则 AB⊥ PH ,又 PA2 -PB2 =H A2 - H B2 ,QA2 - QB2 =H A2 -H B2 ,∴PA2 - PB2 =QA2 - QB2 .…     

轴对称性质的几类应用与延伸

如图1,在直线l上求一点P,使得PA＋PB的值最小．通过作A点（或B点）关于l的对称点A′,则A′B与l的交点P即为所求．这是利用轴对称性质求两条线段和最小的一道典型题,利用这个基本性质我们可以作如下应用与延伸．     

对于初中平面几何中心对称一个定理的证明的商榷

现行初级中学课本平面几何关于中心对称的定理的证明为: 定理如果作一条线段的两个端点关于一个已知点的对称点,那末: (1)连结这两个点的线段平行于已知线段,并且和已知线段相等。 (2)已知线段上任何一点的对称点,都在所作的线段上。求证(2) AB上任何一点的对称点都在所作的线段上。证明(2) 在AB上任取一点M,连结MO,并且延长MO交B′A′于M′。在ΔA′OM′和ΔAOM中∠2=∠1(平行线的内错角相等)。∠4=∠3(对顶角相等)OA′=OA;     

三角形两个性质的三维推广

本文将三角形的两个平凡而有趣的性质推广到四面体中.先介绍三角形的两个性质:题1 设 M 是△PAB 的 AB 边上的点,任作一直线分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′点,则(PA)/(PA′) (PB)/(PB′)=2·(PM)/(PM′)的充要条件是 AM=MB.题2 设 M 是ΔPAB 的 AB 边上的点,过P点任作一圆分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′,则 PA′·PA PB′·PB=2PM′·PM 的充要条件是 AM=MB.题1的证明较易,证明从略.下面证明题2:     

椭圆切线的初等作法

关于圆锥曲线的作法,已有众多的文章论述,本文试再向广大读者介绍一种不置椭圆于平面直角坐标中,不依赖于椭圆的对称中心与对称轴,过椭圆外一点作椭圆切线的初等作法。作图:过已知椭圆外一点P作椭圆的切线。作法:过P点作两条射线PAB、PA′B′分别交椭圆于A、B、A′、B′,分别在弦AB、A′B′上作出点T、T′,使PA:PB=AT:TB,PA′:PB′=A′T′:T′B′(*)。过点T、T′作弦QR交椭圆于Q,R,连结PQ,PR,那么PQ、PR就是所求作的切线。     

关于直线对称问题的常用方法

对称问题是高中数学中比较重要的内容,它的一般解题步骤是:一、在所求曲线上选一点M(x,y);二、求出这点关于中心或轴的对称点M′(x0,y0)与M(x,y)之间的关系;三、利用f(x0,y0)=0求出曲线g(x,y)=0.直线关于直线对称的问题是对称问题中较难的,但它的解法很多,现以一道典型习题为例给出几种常见解法,供同学们参考.[例题]:试求直线l1:x+y-1=0关于直线l2:3x-y-3=0对称的直线l的方程.解法1:(动点转移法)在l1上任取点P(x′,y′)(P!l2),设点P关于l2的对称点为Q(x,y),则3x′2+x-y′2+y-3=0y′-yx′-x=-13"$$$$#$$$$%&x′=-4x+53y+9y′=3x+54y-3"$$$…     

有趣的轴对称(下)

(本讲适合初中 )例 6　矩形ABCD中 ,AB =2 0cm ,BC =10cm .若在AC、AB上各取一点M、N ,使得BM MN的值最小 ,求这个最小值 .图 9解 :如图 9,作点B关于AC的对称点B′,联结AB′ .则点N关于AC的对称点为AB′上的点N′ .这时 ,BM MN的最小值等于BM MN′的最小值 ,等于B到AB′的距     

巧用平面几何解高中数学题

一些看似简单的平面几何知识,在高中数学解题中却有着极其重要的作用.笔者在高三的教学实践中发现,学生在某些问题的解决中因为没有充分运用平面几何知识,经常导致“卡壳”或陷入繁琐的解题困境.平面几何在高中立体几何中的应用是显而易见,所以本文主要探讨平面几何在其他方面的妙用.下面通过一些具体例子说明如何运用平面几何知识进行有效解题.1在函数最值问题中的应用例1求函数y=(x-3)2+x2+(x-4)2+(x-1)2的最小值.图1解析由两点距离公式可知,该函数的几何意义是点P(x,x)到点A(3,0)的距离与点P(x,x)到点B(4,1)的距离之和.显然点P在直线l:y=x上.如图1,作A(3,0)关于直线l的对称点A′(0,3),则│PA│+│PB│=│PA′│+│PB│,平面内两点之间线段最短,连接A′B,显然该函数的最小值为│A′B│=2 5.2在平面向量中的应用例2已知向量a≠e,│e│=1,对于任意t∈R,恒有│a-t e│≥│a-e│,则().(A)a⊥e(B)a⊥(a-e)(C)e⊥(a-e)(D)(a+e)⊥(a-e)图2解析此题一般先两边平方进行等价变形.下面给出一种利用平面几何的解法.若a∥e,显然...     

怎样画轴对称图形

下列美丽的图案都是利用轴对称设计出来的 .怎样画轴对称图形呢 ?第一 ,要能准确找到对称点 .我们知道 :“如果一个图形关于某一条直线对称 ,那么连结一对对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴 .”那么这两个对称点就应该在对称轴两旁与对称轴垂直的直线上 ,且到对称轴的距离相等 .如果点在对称轴上 ,那么图 1这点的对称点就是它本身 .如图 1 ,作点A关于直线l的对称点 .过点A作l的垂线AH ,H为垂足 ,延长AH到A′,使HA′ =AH ,则点A′就是点A关于直线l的对称点 .而点B的对称点B′与B重合 .第二 ,如果图形是由直线、线段或射线组…     

数学问题与解答(1992年 第6期 问题解答)

286.三棱锥P-ABC的侧棱PA、PB、PC上分别有点A′、B′、C′,求证: V_(P-A′B′C′)/V_(P-ABC)=PA′·PB′·PC′/PB·PB·PC。证:如图1,过侧棱PC作一平面垂直于平面PAB,并设交线为PD,与A′B′、AB(连它们的延长线)分别交于D′和D。在平面CPD内,过点C′、C分别作C′H′⊥PD′,CH⊥PD。易知C′H′∥CH,C′H′/CH=PC′/PC。     

一道课本习题的五种构造解法及其推广应用

题目求证3+8>1+10(高二数学(上)复习参考题六第7题)解法一(构造直角三角形)证明:构造直角三角形几何模型:以10为斜边、8为直角边与以3为斜边,1为直角边所画的直角三角形另一直角边长都是2(如图1)图1AB=10,BC=8,AB′=3,B′C=1,AC=2则BB′=8-1在△ABB′中,BB′+AB′>AB,∴8-1+3>10即3+8>1+10原不等式获证.几何模型的一般形式推广:已知a,b,m∈R+,且b≥m求证:a+m+b≥a+b+m证明:如图1,设AB=a+b,BC=b,AC=a,AB′=a+m,B′C=m,则BB′=b-m(b>m).在△ABB′中,由BB′+AB′>AB,得a+m+b>a+b+m当b=m时,不等式取等号解法二(构造单调函数①…     

对“向量在■方向上的正射影”的补充性研究

(人教版教材)高中数学第二册(下B)第33页第五段如下:已知向AB=a和轴l,e是l上与l同方向的单位向量.作点A在l上的射影A′,作点B在l上的射影B′,则A′B′叫做向AB在轴l上或e方向上的正射影,简称射影.可以证明A′B′=|AB|cos