对课本一道习题的反思

课本习题一般是编者为了让同学们对新知识得到进一步的巩固而编拟的,具有一定的代表性、典型性.因而在学习中,我们要善于研究它们,发挥课本习题的价值.注意一题多解,比较方法;一题多样,推而广之;一题多改,突而破之.新教材苏教版选修2-1中第47页的第8题是下面的原问题.图1原问题如图1,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,O是坐标原点,求证:OA⊥OB.分析此问题涉及到抛物线的弦对其顶点张角的问题,学生多数用纯解析几何知识来解的.也可以用平面向量的知识来解决题.1问题的另解证明设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x-2代入y2=2x,得x2-6x+4=0.由韦达定理得x1+x2=6,x1x2=4,y1y2=(x2-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=-4.OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)则OA·OB==x1x2+y1y2=0,OA⊥OB,即OA⊥OB.2问题的推广原问题中,直线AB与x轴的交点(2,0)的横坐标恰好是抛物线的参数p的两倍,将其推广为一般.变题1若直线l过定点(2p,0)且与抛物线y2=2px(p>0)交于两点,求证:OA⊥OB.证明设A(x1,y1),B...     

一道课本例题的高考引申

将课本例题进行有效的变通及拓展,既能让学生真正掌握所涉及内容又有利于其探究能力的培养,也是提高我们教师处理教材能力的有效途径.全日制普通高级中学教科书(实验修订本·必修)数学第二册(上)第130页图1例2:如图1,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点,求证OA⊥OB.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=x-2代入抛物线y2=2x得:x2-6x+4=0.从而有x1+x2=6,x1·x2=4.又因为y1=x1-2,y2=x2-2,所以y·1y2=(x1-2)(x2-2)=x·1x2-2(x1+x2)+4=-4.∴kOA·kOB=xy11·xy22=yx11yx22=-44=-1.∴OA⊥OB.在讲解完本题之后,我把题目改为:设直线l与抛…     

一个定理的引申——对一道解析几何例题的再探究

文[1]对高中数学(试验修订本·必修)第二册(上)P130例2:“直线y=x?2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB(如图1)”进行探究,得到如下结论:若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,则OA⊥OB?直线l过定点(2p,0).文[2]在上述命题的基础上作了进一步的探究,得到如下的定理:定理若直线l与抛物线y2=2px相交于点A、B,C(x0,y0)为抛物线上不同于点A、B的一定点,若直线CA、CB的斜率存在且分别记为k CA、k CB,则k CA?k CB=d(d为定值)?直线l过定点200(2,)2y p yp?d?.(如上右图)本文在上述定理的基础上作进一步探究,对定理进行引申.1由“k CA…     

对一道解析几何例题的探究性学习

高中数学新教材第二册(上)P130例2:直线y=x?2与抛物线2y=2x相交于A、B,求证OA⊥OB.(图略)这道题的证明不难,但是其内涵极为丰富,若能引导学生对其进行深入探究,将会有较大发现,对培养学生的探究能力、创造能力大有裨益.探究1如果改变直线的斜率,把直线换为y=k(x?2)(k≠0),结论还成立吗?经验证,结论仍成立.这表明,只要直线AB过定点(2,0),则必有OA⊥OB.而且容易证明,其逆命题也成立.进一步探究发现,对抛物线2y=2px(p>0)和直线y=k(x?2p),结论仍成立,于是有命题1设AB是抛物线2y=2px(p>0)的一条弦,O为坐标原点,则OA⊥OB的充要条件是直线…     

错在哪里

题已知A,B是抛物线y2=4x上两点,0A⊥OB,其中O是抛物线顶点.求证:直线AB恒经过一定点.     

一道试题的分析

每次考试后,教师通常都要带领学生对试卷上的题目进行一次回顾分析.而笔者用了一节课的时间,和学生回顾分析的仅仅是一道直线和圆锥曲线相交的常见问题.先看试题:已知抛物线y2=-x与直线l:y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB;(2)当△OAB的面积等于     

利用CAS系统探究圆锥曲线一类定点问题

问题 1:(原问题)已知 A,B 是抛物线 C:y2 = 4x 上的两个动点,F是C的焦点,O是坐标原点,且恒有OA ⊥ OB.求证直线AB过一定点,并求其坐标.     

由课本一道例题所想到的

人民教育出版社高中教科书实验修订本《数学》第二册(上)130页例2是这样的: 如图1,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证OA⊥OB. 这道例题可以推广如下:     

双曲线的几个有趣性质与应用

笔者最近对双曲线的准线作了些研究,得到了几个十分有趣的性质,供读者参考.定理1　设直线l经过双曲线x2a2 - y2b2 =1 ( a >0 ,b >0 )的焦点F,l交双曲线的两条准线于A,B两点,O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈( 0 ,π) ) ,则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明　由对称性,不妨设l的方程为y= k( x - c) (其中k =tanθ) ,分别与x =- a2c 和x =a2c联立,解得两交点A( - a2c,- a2 c2c k) ,B( a2c,a2 - c2c k) ,故OA⊥OB x A.x B y A.y B=0 ,即a4 k2 ( a4-c4) =0 ,或1 k2 ( 1 - e4) =0 .把k2 =tan2θ代入,即得sin2 θ=1e…     

一个结论的两个推广

解析几何中有这样一个结论,即命题1在抛物线y2=2px(p>0)中,过顶点O作互相垂直的两直线交抛物线于A,B两点,连A,B交x轴于E点,则E为定点.图1证设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=ky+m,代入y2=2px,得y2-2pky-2pm=0.故y1y2=-2pm.又OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,(1)21y22故y4p2+y1y2=0,m2-2pm=0,m=2p,或m=0(舍).即E点坐标为(2p,0)是定点.利用这个命题,求点O在直线AB上的射影的轨迹,显得特别方便,因OE为定长,就能看出所求轨迹是一个以OE为直径的圆(去掉点O).y1y2=b2m2-a2b2a2+b2k2,又DA=(x1+a,y1),DB=(x2+a,y2),因DA⊥DB,故DA·DB=0,即(x1+a)(x…     

第三届跨区域命题征集活动成果展示(三)

<正>【深度改编题】【原题】如图,已知直线与抛物线y²=2px(p>0)交于A,B两点,且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于点D,点D的坐标为(2,1),求p的值.【解题思路】因为OD⊥AB,D (2,1),所以k_OD=1/2,则k_AB=-2.直线AB的方程为y-1=-2(x-2),即y=-2x+5.设直线AB交抛物线y²=2px于点A (x₁,y₁),B (x₂,y₂),     

抛物线对顶点张直角的弦的几个性质及应用

本文探讨抛物线对顶点张直角的弦的几个性质及应用.设点A,B在抛物线y2=2px或x2=2py(p>0)上,且OA⊥OB(O为坐标原点).1、对抛物线y2=2px,弦AB过定点(2p,0),反之也成立;对抛物线y2=2px弦AB过定点(0,2p),反之也成立.2、若直线OA的斜率为k(k≠0),则:(1)对抛物线y2=2px,弦AB的中点为(p(k2 1/k2),p(?k 1/k));对抛物线x2=2py,弦AB的中点为(p(k?1/k),p(k2 1/k2)).(2)弦AB的长l=2p(k2 k12 12)2?94;(3)△AOB面积2S2p2k1k= .下面只对y2=2px的情形加以证明,对x2=2py的情形类似可证.证明由???yy2==k2x,px,得A(2k p2,2kp).由OA⊥OB可得B(2pk2,?…     

椭圆的一个优美性质

经研究发现,椭圆有如下一个优美性质:定理A为椭圆(x2)1/2(a2)+(y2)1/2(b2)=1(a>b>0)上一个动点,B为直线y=(ab)1/2c上一点,若OA⊥OB,则直线AB与圆x2+y2=b2相切.证明如图1,设直线OA方程为y=kx(k≠0),则直线OB方程为     

数学单元测试题（一）——二次函数

摇摇一、填空题1.抛物线y=(x-2)2 3的顶点坐标是摇摇摇摇,对称轴是摇摇摇摇.2.请你写出函数y=(x 1)2与y=x2 1具有的一个共同性质摇摇摇.3.已知y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),且x12 x22=17,则k=摇摇摇摇.4.已知抛物线y=x2 bx c的图象如图1所示,则函数y<0时,对应x的取值范围是摇摇摇.5.已知抛物线过A(1,0),B(0,-3),且对称轴为x=2,则解析式为摇摇摇摇.6.如图2,抛物线y=-x2 2(m 1)x m 3与x轴交于A、B,且OA∶OB=3∶1,则m=摇摇摇.7.如图3,边长为1的正方形ABCD中,P是边AB上一动点,QP⊥PD,交BC于点Q,已知AP=x,BQ=y,则y与x的…     

一道课本例题的再探究

如何把生动活泼的学习过程和知识技能的掌握统一起来 ,使“探究新知”成为学生思维发展的重要途径 ?在数学教学中应引导学生学会对所研究的问题进行概括、提炼 ,学会从具体事物中抽象出共同的、本质的特征 .本文试对全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )数学第二册 (上 )第 13 0页例 2作一点探究 .题目　如图 1,直线y=x -2与抛物线y2 =2x相交于点A、B ,求证 :OA⊥OB .关于本题有如下的命题成立 :若直线l与抛物线y2 =2 px相交于点A、B ,则OA ⊥OB 直线l过定点 (2p ,0 ) .本文在上述命题的基础上作进一步的探究 .如图 1,一个自…     

从一道课本例题的探究看数学知识的整合

文[1]对全日制普通高级中学教科书(试验修订本,必修)数学第二册(上)P_(130)例2作了探究．(例2题目:如图,直线y=x-2与抛物线y~2=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB．)得出     

一类解析几何试题的课本渊源

<正>课本是教学和学习的主要材料,同时,也是命题素材的重要源泉.纵观历届高考数学试题、竞赛试题和模拟题,源于课本的试题比比皆是.本文以一道课本例题为源题谈谈一类解析几何试题的命题特点.一、原题呈现原题如图1所示,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B,求证:OA⊥OB.     

一道课本例题的引申与拓展

全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)第二册(上)第130页例2:直线y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于点A、B,求证OA⊥OB.这是教材第八章“圆锥曲线”小结与复习中的演示例题,课本提供了两种证法.事实上,这是一道探究性开拓题,蕴含有丰富的教学价值.本文结合近几年的各类试题,给     

设想一道题的编制过程

高中数学新教材(试验修订本)第二册上有如下一道例题.例如图,直线y=x?2与抛物线2y=2x相交于点A、B,求证OA⊥OB.在备课过程中,教师们可能会产生这样的联想:这道题是怎么编造出来的?让我们来设想一下编制的过程.1.首先是编制人有一个编制目标.在这里我们设想,他要编一道例题,通过     

抛物线切线与焦点弦的若干关系

抛物线的焦点弦是抛物线定义与性质的交汇点.本文就与其相关的切线探索出若干性质.题目抛物线y2=2px(p>0)上不同两点A、B处的切线交于点Q.求证:若AB过抛物线的焦点F,则(1)AQ⊥BQ;(2)点Q在抛物线的准线上;(3)QF⊥AB.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).对于y2=2px求导,有2yy’=2p,得