从课本习题引发的造桥选址问题

九年义务教材七年级下册P31中习题:如图(1),A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,造桥在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)     

对造桥选址问题的探索

利用平移变换进行造桥选址,是平移变换的一个重要应用.下面就课本中的一道习题,加以拓展探究,探索其一般规律.1.原题再现如图1,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平     

关于造桥选址问题的进一步思考

在新人教版七年级下册的第31页新增加了造桥选址问题.如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)     

应用平移解决生活问题

问题1造桥选址如图,A和B两地在一条河的两岸,现在要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)问题探究:如图所示,桥的两端分别为M、N,则从A到B的     

一道课本例题的再思考

<正>在人教版八年级数学上册中的课题学习中有这样一道例题:如图1,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)     

造桥选址中的数学道理

问题（教材第31页第7题）如图1,A和B两地分别在一条河的两岸,现在要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直）     

对“造桥选址问题”的再认识

<正>问题(人教版八年级上册)A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)%A B N M图1b a教科书的分析是:把河的两岸看成两条平行线a和b(图1),N为直线b上的一个动点,MN垂直于直线b,交直线a于点M.这样,上面的问题可以转化为:当点N在直线b的什     

生活中的几何问题（上）

如图1,A、B两地之间有两条平行的河,一河宽为a,另一河宽为b,现欲在两条河上各造一座桥（桥必须与河岸垂直）,使得A、B之间路程最短,试找出造桥的位置。     

这样的路线并非最短

贵刊2006年第5期《“饮马问题”的拓展》一文,将一个教材中的问题从不同侧面作了些拓展,读后受益颇多,只是觉得拓展4的解答有问题,现提出来与同行商榷,不妥之处请指正.原题是这样的:如图1,如果A、B两点的中间有两条河,假定河的两岸都笔者且平行,现要在两条河上垂直于河岸各建一座桥,问把两桥建在何处,才能使由A点经过两座桥到B点的路程最短?文中的解答是:将点A垂直向第一条河的河岸移动到C点,使AC与这条河宽相等,连结BC,交这条河的另一岸于D,过D作DE与该河岸垂直,此处为第一座桥的位置.将点B垂直向第二条河的河岸移到H点,使BH与该河…     

平移距离为什么要等于桥宽

这是八年级数学教科书上的一道习题:如图1,甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,现准备合作修建一座过街天桥.问桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短?注意,桥必须与街道垂直平.移法:如图2,将点A沿竖直向下的方向平移,平移距离等于桥宽,到达A1点,连结A1B,与街道靠近B的一侧交于点B1,过B1点建桥即符合要求.那么,平移距离为什么要等于桥宽?先看一个最简单的问题,如图3,公路同旁有A、B两个车站,在公路L旁修建一个加油站,使得加油站到A、B两个车站的距离之和最短.作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B交直线l于点P,点P的位置即加…     

一个研究性问题的补充教学

全日制普通高级中学数学教科书 (试验修订本·必修 )第一册 (下 )研究性课题“向量在物理中的应用”中有这样一个问题 :“如图 1所示 ,一条河的两岸平行 ,河的宽度 d=5 0 0 m,一艘船从 A点出发航行到河的正对岸 B处 ,船航行的速度 | v1| =10 km/ h,水流速度 | v2 | =4 km/ h,那么 v1与 v2 的夹角θ(精确到 1°)多大时 ,船才能垂直到达 B处 ?船行驶多长时间 (精确到 0 .1min) ?图 1课堂上 ,在我的引导下 ,学生完成了课本上两个问题的研究 ,并对第二个问题达成共识 :只要保持船头与河岸垂直 ,则过河所用的时间最短 ,这时船没有垂直到达对岸 …     

初中平面几何常见最值问题分析

<正>几何图形中的最值问题是大型考试的热点和难点.我们要学会归纳总结,透过问题看本质,将其浓缩为一个题根模型并加以变形,以不变应万变,触类旁通.我们以导学案"轴对称图形及性质"一节的一道习题为例,提炼模型,展开本文的阐述.导学案习题如下:题源 (1)如图1,直线MN表示一条河流的河岸,在河流同旁有A、B两个村庄,现要在河边建一个供水站给A、B两村供水,问:这个供水站建在什么地方,可以使铺设的管道最短?请在图1中找出表示供水站的点P.     

动中探定 以定制动——一道2022年福建省高三质检题的探究

<正>1试题呈现(2022年福建省高三诊断性测试第11题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别为棱AB,CC₁,C₁D₁的中点,Q∈平面MNP,B₁Q=AB,直线B1Q和直线MN所成角为θ,则()．A.MN∥AC₁B.θ的最小值为■.A,M,N,P四点共面D.PQ∥平面ACD₁2试题分析本题以正方体为载体,考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系,线线所成的角、动点的轨迹问题等基础知识;     

探索一类与圆锥曲线焦点弦有关的定值问题

<正>１案例呈现题目已知双曲线■的离心率是■过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点．设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d₁和d₂,且■(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点作直线l(与x轴不垂直)与曲线C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数λ,使得MN=λPB？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由．     

万变不离其宗——几何最值问题的变式探究

几何中最值问题的依据是:"两点之间,线段最短"、"垂线段最短".在解决最值问题时,通常利用轴对称、平移等变换作出最值位置,从而把已知问题转化为容易解决的问题.本文在课本(人教版八上数学课题学习最短路径问题)中"饮马问题"、"造桥选址问题"的基础上进行变式探究,与同行交流.几何模型一、基本图形1.条件:如图1,点A、B是直线l异侧的两定点.     

巧用线段公理解决“最短”问题

在初中数学中,“两点之间,线段最短”(以下简称“线段公理”)是一个非常重要的知识点,在解决实际问题时,它的用途也非常广泛,尤其是在解决有关“最短”的问题时,通过运用化归的思想方法,效果更为显著.下面试举两例说明. 例1 如图1,在一条河的同侧有A、B两个村庄,要在河岸a上修码头M, 使AM+BM为最短,试确定M点的位置.     

关于有心圆锥曲线上有限点集重心的一个性质

<正>文[1]证明了下面的命题:命题1设G为平面有限点集?={A₁, A₂,···, A_n}的重心,则以G为中心的椭圆上的任一点到A₁, A₂,···, A_n距离的平方和与该点到椭圆两焦点距离的乘积的n倍之和为定值.本文研究与之相关的一个问题:若A₁, A₂,···, A_n是给定椭圆上的n个点,则点集?={A₁, A₂,···, A_n}的重心G有何性质?     

立体几何最值问题求解

一、与最短路径有关的最值问题 例1如图1,在圆柱形的玻璃杯外侧面,有一只蚂蚁要从A点到杯内侧面的B点去吃食物。已知A点沿母线到杯口C的距离是5cm,B点沿母线到杯口D的距离是3cm,     

运动的合成与分解典例分析

<正>一、小船渡河问题例1有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河。小明驾着小船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值为k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为()。     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐篷B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA=PA′,故有PA PB=PA′ PB,由“两点之间线段最短”可知最短的线路为A→P→B.图1图2拓展1如果