对称区域上积分的性质

众所周知．若函数f（x）在闭区问卜ala）上连续，则有定积分的这～性质常常使积分简化，这在Fouler级数中求Fourier系数时已有体现，现将这一性质推广到多元函数的积分中去。为了叙述上的简便，不妨将重积分和第一型线、面积分统一记为l’（M川Q，、、—、————，，·，——－“QMEQ．若Q是平面区域D，则表示二重积分；若Q是三维空间区域V，则表示三重积分；若Q是曲线L，则表示第一型曲线积分；若Q是曲面2，则表示第一型曲面积分，于是有定理设积分＼f（M）dQ满足“Q（）Q可分为对称的两部分Q；和Q。，点MEQ；的对称点M，EQ。…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析

∠QED，故QD＝QE，故AQ＋QB＝AQ＋QE＋BE＝AQ＋BP＋QD＝AD＋BP＝AB＋BP，即BQ＋AQ＝AB＋BP．思考四：引平行线证法９：过P引PD∥BQ交AB的延长线于D．（以下同证法１）《二次根式》一章内容中有两个重要等式：（１）（a√）２＝a（a≥０）；（２）a２√＝｜a｜＝a（a≥０），－a（a＜０） 许多同学由于对（a√）２与a２√认识不清，而出现解题错误．下面我们来讨论（a√）２与a２√的区别、联系，以及应用上述两个等式时需要注意的问题．一、区别１．数学含义不同．（a√）２表示a的算术平方根的平方，是幂的形式；而a…     

函数F(Z)=integral from n=Z_1 to Z(f(ξ))dξ的两个性质

设f(Z)是区域D内的解析函数,,当积分不能用初等函数表示时,往往不宜直接对函数F(Z)进行讨论,因此,我们试图通过考察被积函数f(Z)来了解函数F(Z)的有关性质。首先,借助这一方法探讨一下F(Z)在区域D内的单值解析性。 引理:(参看[3])设D是复平面上的区域,函数f(Z)在区域D内连续,并且f(Z)沿D内任意一条闭曲线的积分等于零,则     

在轮换对称区域上的积分

定义：设有一区域Q，若将变量X、y、Z依次轮换后，Q保持不变，则称Q为轮换对称区域。定理1设函数P（X，y，z）、Q（X，y，z）、R（X，y，一在轮换对林区域V（三维空间区域）上可积，且在变换。：X’＝y，y’＝Z，Z’＝X作用下，P变为Q，Q变为R，R变为P，则推论1设L为三维空间曲线，且为可轮换对称域，其余条件同定理1，则有识分推论2设积分区域为空间曲面Z，其余条件同定理1，则有积分由上面的定理及推论不难得出推论3设二元函数P（X，y）、Q（X，y）在轮换对称区域g上可积，且在变换。；：其中Li］球面X‘＋y‘＋Z‘＝1在第一…     

关于几个初等数学命题的积分证明

在师范院校的《数学分析》教材中,用定积分证明了圆的周长和面积公式。事实上,在初等数学中,可以用积分理论来证明的命题是很多的,而且同一个命题可以有多种证明方法。一、圆的周长和面积的计算例1求半径为R的圆的面积S。这个问题既可以用定积分的方法,也可以用二重积分的方法求解。这里用第二型曲线积分求解。解取P（X,y）—－y,Q（X,y）一X,由格林公式知：圆域D：X’＋y’＜R’的面积为：其中闭曲线C为区域D的边界,即圆周X’＋y’一R’,C的方向取正向（如图1箭头）。取C的参数方程为x—Rocs6,y。Rsins,（0＜8＜2。）…     

一类广义积分的计算

本文应用留数定理讨论广义积分∫＋∞-∞P（x）/Q（x）eimxdx的计算问题,包括积分路径上无奇点和有奇点两种类型     

Fe~(3 )与SO_3~(2-)反应的实验探讨

Fe3＋与SO2_3之间发生什么反应？《化学教学》96年第2期上“高中化学课本中溶解性表‘一’探究”一文中认为是发生了氧化一还原反应：2Fe3 SO2-3＋H2O＝2Fe2 ＋2H＋SO2-4原因是：（化学教学）流年第9期上“FeC13与Na。C0a等的反应问题讨论”一文中，在讨论了FeC13与N32C03溶液发生双水解反应之后说：“用Na。5＊。溶液代替Na。＊0。溶液也有相同的现象”，即认为Fe’牛与5O厂之间发生了双水解反应：ZFe3＋＋3H20＋350；＝ZFe（OH）。（胶体）＋350。T两种看法截然不同，谁是谁非呢？笔者通过了以下实验进行了验证和分析：1．配…     

初二数学单元达标自测题(2)

一、选择题（将下列各题中惟一正确答案的序号填入题后括号内，每小题３分，共１８分）１．把－４a８√的根号外的因式移到根号内，结果是（）．A．－２a√B．－２a√C．－a２√D．－a√２．若最简二次根式３４４a２＋１√与２６a２－１√是同类二次根式，则a的值为（）．A．１B．－１C．０D．±１３．下列算式：①２√＋３√＝５√；②３＋２√＝３２√；③１２５√＋３２５√＝２５√；④５√b＋３５√＝b＋３５√；⑤４x２＋９y２√＝２x＋３y．其中错误算式的个数有（）．A．１个B．２个C．３个D．４个４．线段、菱形、等边三角形…     

(十八)相似形测试卷(B卷)

一、填空题（每空5分，共50分）：。db，。r．．id＋b1．若干一手一0，则二：一；“””一53””’”””ah’n＿＊＿＿y：＿。。，J十打一3Z2．若干一手一手一O，则t－，m－－－－－－－一一一’－432”—””””———’3‘在凸＊＊C中，若＊B＋＊C一ZO。二，＊D是用平分线，＊E／＊A交＊C于E，＊E：＊C一3：2，则AB一，AC一；4在梯形ABCD中，AD／／BC，AB—9，BC—15，CD—7，AD—IO，BA、CD的延长线相交于E，WiAE一，DE一；5．在凸ABC中，AC—15cm，AD是中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于P”，则AF一，F…     

已知值域求相应的线性变换

求线性变换的值域,许多教科书中都已涉及到。本文给出已知值域求相应线性变换的一种方法。定理：设。l,q,…已,是数域p上l维线性空间V的一组基,QI,QZ,…,Qn是V中任意n个向量,p是V中任意向量,且p＝XIEI＋XZ。2＋…＋Xn己则到四一XI。1＋”””＋XIQn是V上的线性变换,且di（已）＝Q;,i－f··n证明：任意p,yEV,设p－】此一,y－Zy．q1＝l一I二l．”．O是V的线性变换因为q—0＊l＋…＋0。i－l＋1巳十0。i＋l＋…＋O。＋,i＝1,2,·’,n,·”‘评一oaf＋…＋OQ;－1＋1q＋0x＋l＋…＊OQn一a,1－l,2,－”,n…     

几个常用结论应用的简捷方式

众所周知，数学中许多的公式、结论有着密切的联系，如果能把这些结论归纳、整理，则在教学中效果是很显著的．通过多年的教学实践，我把一些相关的结论进行了归纳整理，现总结如下，供大家参考．1关于复变目数在简单封闭曲线上的积分复变函数在简单闭曲线上的积分，结论繁多．我用一个简单定理把文［1」中常用结论归纳如下：定理1投入Z）在区域D内处处解析对为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于D，Z。为C内任一点，则有定理1的证明见文［l」．当。—一旦，－2，－3，…时，定理1为柯西定理；。一0时，定理工为柯西积分公式；。…     

(十九)圆的基本性质测试卷

一、填空题（每空4分，共48分）：1．在OO中，若AB所对的圆心角是80”，则AB所对的圆周角是．．；2．在OO中，AB是直径，CD是弦．若ABICD于E，且AE—2，EB—8，则CD一；3．在圆内接四边形ABCD中，若AB—BC—CD，AC是对角线，／ACD—3O’，则／C／ID一4在①O中，A是乙”D的中点，直径＊B交弦＊D于P，＊D一8，＊P一3，则＊P一，＊P5在圆内接四边形ABCD中，若cosA一：，则sinC一；－—一’”——————”—————一’”———一‘－2”“”“—一’6．在OO中，AB是弦，C是AB的中点，OA—12，OC—6，则AB一，…     

二重积分对称性的应用

在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋1 解 由于积分区域D关于x…     

(二十三)圆一章测试卷(A卷)

一、填空题（每空2分，共36分）：1．在的内接△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝12，E是BC的中点，AE交BC于D，则BD＝；2在中，弦AB经过弦CD的中点P，AB＝16cm，AP：PB—3：l，则CD一；3．在OO中，AB是直径，长为10／了cm的弦CD垂直平分OA于E，则OO的面积为4．在圆内接四边形＊＊CD中，若上B。＊D一4：5，则／B一，／D一；5．在圆内接三角形中，若三内角度数的比是2：3：4，则此三角形最小角所对的弧的度数是6．在00中，AB是直径，AC是弦，OD上AB交AC于D．若AD·AC—32，则AB一．；7在圆外切四边形ABCD中，若AB—2…     

圆

（一）圆的有关性质一、知识要点1．圆的基本概念（1）圆的定义在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．（2）确定圆的条件（i）圆心和半径，圆心确定国的位置，半径确定圆的大小．（ii）不在同一直线上的三点决定一个圆．（3）点和目的位置关系设圆的半径为R，点到圆心的距离为d，则点得圆的位置关系有三种：（5）点在圆外乍一＊＞r；川）点在圆上年志d—r；（iii）点在圆内twdwtr．（4）弦连结圆上任意两点间的线段叫做孩．经过圆心的弦叫做直径．直径是圆中最长的弦．同心到弦的距离叫做弦心距…     

关于f(x)＝sin(ωx+rπ)在两连续整数间取得最值的一个充要条件

题目 设f（x）=sin（ωx＋rπ），常数r∈Q．若ω∈Q使得对任意的n∈Z，f（x）在区间[n，n＋1]上至少取到一次最大值及一次最小值，那么，ω应满足怎样的条件？     

关于Diophantine方程x^2＋D=4y^3

对一些d,Q（√d）是Euclid域,则在其对应的Euclid整环Q＇（√d）中算术基本定理成立．由此通过利用Z[i]整除理论来证明一类不定方程x^2＋D=4y^3有整数解的情况;且当D=11,该不定方程x^2＋D=4y^3没有整数解。     

全纯函数与其微分多项式分担函数的正规性

研究全纯函数与其微分多项式分担函数,得到了如下的正规定则：设F是区域D内的全纯函数族,k是一正整数,h1（z）,h2（z）在区域D内的解析,满足｜h1（z）｜2＋｜h2（z）｜2≠0。若f∈F,f的零点重级至少为k,且f（z）=0｜f（k）（z）｜≤M（常数M〉0）,（z）=αi（z）L（Z）=αi（z）,i=1,2,其中L（z）=f∞（z）＋α1（z）f（k-1）（z）＋…＋αk（z）f（z）为f的微分多项式,αi（z）（i=1,2,…,k,k≥1）在D内解析,那么F在D内正规。     

泛函微分方程x'(t)=f(x~(n)(t))单增解的存在性

在条件f：R→R连续，单调递增，当z=0时，zf（z）＞0，limf（z）=M，z→＋∞其中M＞1，研究了过t-X上半平面上任意一点方程X’（t）=f（x（n）（t））解的存在性及其性质，得出了解曲线可以“填满”整个上半平面的结论．     

初二(上)代数段考模拟试题

一、境空题（每空2分，共38分）：1．把一个多项式化成几个整式的积的形式叫、它和整式乘法是、的变形．2运用公式法分解因式的公式有3．】‘3－42‘一｛互m“，＊221h，＊一且一I（／＝5．a‘b‘＋ah＝（a＋b）（）＋（）。6．3，naz6，na＋3，n。7·aa4＝8．＿2－SH－14一9．6a、Zllcy＋3y‘＝10．已知多项式／十天X＋9是一个完全平方式．那么人一二、单项选择题（每小题4分．共20分）：L把。、’＋。，’y一。／－y’分解因式．最际准的答案是（）（A）b·＋y）O、’－y）；（B）、I（I－》一、。－h、－。…：（）（l＋）（J、－V…