“美丽”的错解源自思维定势

<正>笔者所在学校七年级数学期中考试试卷上有这样一道试题.题目如图1,有5张边长为2的正方形纸片,4张边长分别为2,3的矩形纸片,6张边长为3的正方形纸片.从中取出若干张纸片,且每种纸片至少取一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(原纸张进行无空隙、无重叠     

一道宁波中考选择题赏析

<正>题目如图1是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S_1,另两张直角三角形纸片的面积都为S_2,中间一张正方形纸片的面积为S_3,则这个平行四边形的面积一定可以表示为().A.4S_1B.4S_2C.4S_2+S_3D.3S_1+4S_3此题图文结合,简洁明了,以直角三角形和正方形为素材,以赵爽弦图的适当变形与平方差公式的几何解释图形的合理组合为背景,以生成的动态平行四边形面积的定     

折纸中的数学原理

折纸是一项集学习探索与娱乐为一体的活动.它不仅能折出许多几何形体,同时也能揭示许多数学原理.一、全等三角形在折纸中的运用例1如图1,把矩形纸片ABCD沿BD对折,使点C落在E处,BE与AD交于点O,请找出除AB=CD,AD=BC外所有相等线段.解由于折叠过程中纸片被折部分长度及角度不发生改变,可得△ABD≌△EDB,AB=ED,AD=EB.又∠A=∠E,∠AOB=∠EOD(对顶角相等),AB=ED,∴△AOB≌△EOD.得AO=EO,BO=DO.二、折纸中的轴对称图形例2如图2,将一张正方形纸片两次对折,然后剪下含30°角的一块纸片.解欲知展开后图形,从图形轴对称性质分…     

折出正方形的黄金分割点

黄金分割是几何中的一个著名问题.它是指把一条线段分成两条不等的线段,使其中较长线段为原线段与较短线段的比例中项.现有一张正方形的纸片,能否通过折叠的方式找出正方形纸片各边的黄金分割点呢?我们只需按图1～图3所示的方法折纸即可找到正方形各边的黄金分割点.1.将正方形纸片对折(图1),折痕为EF;2.折出折痕AF(图2);3.把AD边翻折到折痕AF上,新折痕为AG(图3).那么G点即为DC边的黄金分割点.现在我们来证明上面结论的正确性.如图3,设正方形ABCD的边长为a,DG=x,那么BF=12a,AF=52a,CG=a-x.因为△AGD′是由△AGD翻折所成,所以△A…     

对分割正方形问题的探究

<正>将一个正方形分割成若干个全等的小正方形,是常见的分割形式,如果将一个正方形分成n个小正方形,而不限制分出的小正方形的大小,这种分割形式更富有探究性.一、问题背景如图1,将一个正方形纸片分割成四个面积相等的小正方形纸片,然后将其中一个小正方形纸片再分割成四个面积相等的小正方     

听故事得灵犀巧解中考题

1考题回顾例1在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.(1)如图1(a),四边形DEFG为△ABC的内接正方形,求正方形DEFG的边长;(2)如图1(b),△ABC内有并排的两个相等的正方形,由它们组成的矩形内接于△ABC,求正方形GDKH的边长;(3)如图1(c),△ABC内有并排的三个相等的正方形,由它们组成的矩形内     

如何将矩形剪拼成正方形

剪拼图形问题,是几何学上的面积问题.本文从一道中考题人手来谈谈如何将矩形剪拼成正方形.例1(2011年天津中考题)如图1,有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD,要通过适当的剪拼,得到一个与之面积相等的正方形.     

第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题

一、选择题1.如下图所示,将一张正方形纸片先由下向上对折压平,再由右翻起向左对折压平,得到小正方形ABCD。取AB的中点M和BC的中点N,剪掉△MBN得五边形AMNCD。     

巧求面积

[题目]如下图,在一张大正方形纸片上,覆盖着A、B两张较小的正方形纸片,A和B面积相等,已知A与B重叠部分的小正方形面积为5平方厘米,且两个空白部分的面积之和是40平方厘米。求大正方形纸片的面积。     

巧用全等三角形面积相等解几何题

CHBDGA图2全等三角形是能完全重合的两个图形,因此,全等三角形的面积相等.巧用这一结论,可顺利地解答一些几何题.例1如图1,正方形OMNP的顶点O与正方形ABCD的中心O重合,且它们的边长相等,都为a.若四边形OEBF的面积为16,求a的值.解:在正方形ABCD中,∵O是对角线的交点,∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,S△OBC=14SABCD=14a2.∵∠EOP=∠EOB+∠BOF,∠BOC=∠FOC+∠BOF,又∵∠EOP=∠BOC=90°,∴∠EOB=∠FOC.又∵∠EOP=∠BOC=90°,∴△EOB≌△FOC.∴S△EOB=S△FOC.∴S△OBC=SOEBF.∴14a2=16,a=8.例2如图2,在四边…     

用联系发展的眼光理解四边形问题

三角形和四边形之间的关系非常密切 ,熟练地掌握它们之间的联系对四边形的学习无疑是十分有益的。任意四边形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个三角形 ,即△ ABC、△ ACD,如图 1所示。平行四边形 ABCD的一条对角线 AC把它分为两个全等的三角形 ,即△ ABC≌△CDA,如图 2所示。菱形 ABCD的一条对角线 BD把它分成两个全等的等腰三角形 ,即△ ABD≌△ CDB,如图 3所示。矩形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个全等的直角三角形 ,即 Rt△ ABC≌ Rt△ CDA,如图 4所示。正方形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个全等的等腰三角…     

一组有趣的剪纸题

问题1把图1中的格点多边形剪成四部分.要求:(1)沿格点剪裁;(2)四部分全部全等.问题2如图2,由五个相同的正方形组成的“+”字形纸板,请将它剪两刀,然后重新拼成一个正方形.问题3将正方形ABCD按图3(a)比例裁剪后拼成另一个矩形如图3(b),试求(x+y)∶y的值是多少?问题4有直角边分别等于2和3姨的直角三角形纸块(如图4),请将这个三角形剪裁成3块,再拼成一个正三角形(通过画图表示).问题5设M是△ABC(非等腰三角形)边BC的中点(如图5),求最小值n,使得可以把△ABM剪成n个小三角形,这n个小三角形能够重新拼合成一个全等于△ACM的三角形.问题6请…     

中心对称的作图题（二）

五、图形分割例4如图4-1,有一方角形钢板,请你用一条直线将其分成面积相等的两部分.解析:矩形是中心对称图形,经过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都可以把这个图形分成面积相等的两部分,因而把图4-1可以分割成两个矩形,如图4-2、图4-3,也可以补形成两个矩形,如图4-4,由对角线的交点是矩形的对称中心,经过两个矩形的对角线的交点作一直线,即为所求,如图4-2、图4-3、图4-4所示.例5如图5-1,把大小为4×4的正方形方格分割成两个全等图形,请在图中沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格分割成两个全等图形.解析:这是一道开放性试…     

利用正方形的对称性解题

正方形是一种比较特殊的图形,它不仅是特殊的矩形,又是特殊的菱形,身兼二者性质.在对称性方面也如此,既是轴对称图形,对称轴有4条;又是旋转对称图形,最小旋转角为90°,同时又是中心对称图形.利用它的对称性可较好地解题.例1已知:如图1,正方形ABCD边长为4,AC是其一条对角线,求图中阴影部分的面积.观察到每个阴影部分的面积都不容易求,注意到AC是正方形的一条对称轴,可将阴影部分的面积对称到一起,构成△ADC或△ABC,这时阴影部分面积=正方形面积的一半=4×4÷2=8.图1图2例2已知:如图2,在正方形ABCD中,P为对角线AC上一点,过P作PE⊥A…     

对三角形内接矩形问题的探究

<正>题目(苏科版教材九年级下册)一张等腰三角形纸片,底边长15cm,底边上的高长22.5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条,如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是()(C)第6张(D)第7张分析根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长,再根据矩形的宽求得结果.解已知剪得的纸条中有一张是正方     

解决实际问题的能力亟待提高

盐城市2005年中考数学试卷有这么一道题:已知:如图,现有a×a、b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块,试选用这些纸片(每种纸片至少用一次)在下面的虚线方框中拼成一个矩形(每两个纸片之间既不重叠,也无空隙,拼出的图中必须保留拼图的痕迹),使拼出的矩形面积为2a2 5ab 2b2,     

数学擂台

1．用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片,一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片,一张黄色的正方形纸片,如下图所示这样拼成一个直角三角形。问：红、蓝两张三角形纸片的面积之和是多少？     

关注过程 回归本源——PISA框架下的数学试题分析

<正>真题呈现 (宁波市2019年初中学业水平考试12题)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载,如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )(A)直角三角形的面积(B)最大正方形的面积(C)较小两个正方形重叠部分的面积(D)最大正方形与直角三角形的面积和PISA 项目是目前国际学生学     

图形剪拼一例

题目如图1,有一矩形硬纸片ABCD,AB=5,BC=1,试把它剪4刀且拼成与它面积相等的正方形(要求:在图中画出虚线,以表示剪法,并画出拼成的正方形).     

巧用平行线间的等面积三角形解题

<正>一些几何问题通过面积相等的图形进行转化求解,会起到化繁为简、出奇制胜之效.本文以正方形网格、矩形、菱形、三角形、一次函数的图象、反比例函数和二次函数的图象等图形为背景,探讨如何巧妙利用两平行线间的等面积三角形进行转化的求解策略.一、以正方形网格为载体例1如图1,在4×4的正方形网格图中,每个小方格的边长为1.若点A,B,C在格点上,且S_△ABC=1,则符合条件的格点C的个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5