由勾股定理想到的

由勾股定理可知,两个面积分别为m和n的正方形通过剪切后,可以拼接成一个新正方形（不重叠,无间隙.下同）,新正方形的边长为（m+n）^1/2;三个面积分别为m,n和p的正方形可以先把面积分别为m,n的两个正方形剪切、拼接为一个边长为m+n的正方形,再把面积分别为m+n和p的正方形剪切、拼接成一个新正方形,这个新正方形的边长为、（m+n+p）^1/2;进而,面     

第六讲 无理数(之3)

（4）不是由开平方得到的无理数前面说到,开平方是无理数的一个来源,一个正有理数,对它开平方,如果开不尽,那么这个有理数的平方根是无理数,如我们已经熟悉的2^1/2,3^1/2,5^1/2,6^1/2,7^1/2,10^1/2…等等,像这样的无理数我们可以写出很多很多,它们有无穷多个,细心的读者可能会发现上面     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

一个数形结合模型及其在解题中的运用

<正>先介绍一个数形结合模型.代数式(x²+9)2+9)^(1/2)可表示成两直角边分别为x和3的直角三角形斜边长,((12-x)(1/2)可表示成两直角边分别为x和3的直角三角形斜边长,((12-x)²+4)2+4)^(1/2)可表示成两直角边分别为12-x和2的直角三角形斜边长,(x(1/2)可表示成两直角边分别为12-x和2的直角三角形斜边长,(x²+9)2+9)^(1/2)+((12-x)(1/2)+((12-x)²+4)2+4)^(1/2)表示成两斜边长之和,(x(1/2)表示成两斜边长之和,(x²+9)2+9)^(1/2)+((12-x)(1/2)+((12-x)²+4)2+4)^(1/2)的最小值就是两斜边长之和.这里,两个直角三角形各     

无理数,撩起您的面纱！——谈谈怎样认识无理数

首先,应当明白,无理数在我们的生活中大量存在.无理数来自实践,源于生活.请看下面实例:(1)一个正方形,面积是2平方米,它的边长就是2~(1/2)米; (2)一个直角三角形,两条直角边长分别为1和2,由勾股定理知,     

“无理数”的认识误区

学生对无理数的认识存在误区.1."无限小数是无理数"分析无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数是有理数,只有无限不循环小数才是无理数.所以,说"无限小数是无理数"是片面的.2."带根号的数是无理数"分析4^1/2带根号,但4^1/2=2是有理数,所以不要认为带根号的数就是无理数.     

相似、解直角三角形、视图与投影易错解密

1概念不清例1已知三个数1,2,3^1/2,请你再添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这个数是_<sub>.错误答安若设所添加的数是x,则有1:2=3^1/2:x,解得x=2 3^1/2.故这个数为2 3^1/2.错因剖析错解对四个数成比例的概念理解模糊,认为已知三个数1,2,3^1/2,再添上一个数,要使它们能构成一个比例式,则所添     

第五讲 无理数(之2)

（2）（2）^1/2,一个典型的无理数前面,我们已经证明:（2）^1/2不是有理数,也就是说:（2）^1/2既不是整数,也不是分数.那么,（2）^1/2是什么数呢?它同有理数有没有关系呢?让我们先做一些推算:因为1²=1,1比2小;2²=4,4比2大,所以（2）^1/2是介于1和2之间的数,即     

实数学习指要

一、感受知识要点七年级数学从“数怎么又不够用了”把我们再一次带进了一个奥妙无穷的数字世界．我们已经知道了有理数的概念,现在我们又知道了无限不循环的小数叫做无理数．如面积为2的正方形的边长a是一个无理数,圆周率π也是一个无理数等．     

实数学习指要

一、感爱知识要点 七年级数学从“数怎么又不够用了”把我们再一次带进了一个奥妙无穷的数字世界。我们已经知道了有理数的概念，现在我们又知道了无限不循环的小数叫做无理数。如面积为2的正方形的边长a是一个无理数，圆周率π也是一个无理数等。     

如何快速化简(m+nR1/2)1/3

若(m+nR^1/2)^1/3能化简,则 m+nR^1/2必能整理成（a+b）³的形式,现将化简的方法总结如下:设 a 为有理数,b 为无理数（这里指开方开不尽的数）,则在（a+b）³的形式 a³+b³+3a²b+3ab²中,a³+3ab²为有理数,b³+3a²b 为无理数,这样,可将a³+3ab²分解成 a（a²+3b²）,同时将 m 分解质因数,     

第七讲 无理数(之4)

（7）用连分数表示无理数我们知道1<2^1/2<2,这个不等式说明:2^1/2的整数部分是1,还有一个在0,1之间的小数部分.又因为2^1/2=1+(2^1/2-1)这个等式说明:2^1/2的小数部分就是2^1/2-1.     

一道与正方形有关竞赛题的变式探究

<正>题目如图1,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为().A.((10)^(1/2))/2B.((17)(1/2))/2B.((17)^(1/2))/2C.((17)(1/2))/2C.((17)^(1/2))/3D. (2(10)(1/2))/3D. (2(10)^(1/2))/3本题是2011年北京市初二数学竞赛中的一道选择题,笔者曾在文[1]对本题的解法及变式进行了一定的研究,在不改变基本图形的条件下,只改变线段MN的构图方式,得到了一些有趣的变式.近期     

(n~2±1)~(1/2)为无理数的几何证明

<正>在学习无理数的过程中,同学们都学过2^(1/2)为无理数的反证法,即假设2(1/2)为无理数的反证法,即假设2^(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n²±1)2±1)^(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2^(1/2)的办法     

对一道中考题的探究

<正>内蒙古赤峰市曾有一道中考题如下:观察一组式子:3²+42+4²=52=5²,52,5²+122+12²=132=13²,72,7²+242+24²=252=25²,92,9²+402+40²=412=41²,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a2,…猜想一下第n个式子是.一、解法探究观察所给的四个式子___,它们都满足a²+b2+b²=c2=c²,我们知道满足a2,我们知道满足a²+b2+b²=c2=c²的正整数a、b、c叫勾股数.其中,第一个数为奇数,最大的数与较大的数差为1.     

如何求最大圆的面积

<正>我们知道,计算圆的面积时,一般直接用公式S=πr²,就是说,只要我们知道圆的半径,然后代入公式计算就行了。可是下面的问题,你会解答吗？1.已知正方形的边长是10厘米,求正方形中最大圆的面积。(π取3.14)很显然,正方形的边长是10厘米,圆的直径就是10厘米,半径就是5厘米,那么最大的圆的面积就是：3.14×5²=78.5 (平方厘米)。     

这是“循环论证”吗

1.问题与争论.某次初三调研试卷中有这样一道试题:知识回顾:在学习"二次根式"时,我们知道:2^1/2+3^1/2≠5^1/2;在学习"勾股定理"时,由于2^1/2、3^1/2、5^1/2满足等式(2^1/2)²+(3^1/2)²=(5^1/2)²,因此以2^1/2、3^1/2、5^1/2为边长的线段能构成直角三角形.     

数学新题型设计6-7

阅读理解能力,用字母表示数,分式运算 说明具有上述特征的“怪”运算是正确的. 再看下列运算: 52一225 2 82一628 6 132一102一13 10’192一172一19 17’ (1)判断上述运算是否正确; (2)观察这些式子中数字的特点,仿照上例的思路,用较少的字母表示数,加以验证. 附者…浙江杨燕考查知识点无理数概念及大小比较,作图,几何证明,数形结合思想.估计难度系数0 .65 题7(原创试题)有两个数碑、乃~和2戈扭. (1)说出这两个数的一个共同特点; (2)比较它们的大小(用“>”、“=”或“<”连接); (3)如图,在4 x4的正方形网格中,每个正方形的边长为l,从点A出…     

“实数”学习经纬

初中阶段 ,我们共经历了两次数系的扩展 .在初一 ,引入负数 ,将我们对数的认识扩展到有理数的范围 ;在初二 ,学习了无理数 ,将数的范围进一步扩展到实数 .我们主要从以下几方面学习实数 .　　 一、实数的概念　　对实数 ,教材是这样介绍的 :有理数和无理数统称为实数 .因此要学好实数 ,就得先掌握好无理数的有关知识 .1 无理数的存在性历史上对数系的每一次扩展都源于实际生活的需要 :引入负数是为了解决“不够减”的问题 ;由于发现用已有的数无法表示边长为 1的正方形的对角线的长度 ,所以引入了无理数 ,这个长度就可用无理数 2表示 .2 …     

巧用“r2”求圆或圆内组合图形的面积

<正>为了帮助学生探索以圆半径为边长的正方形面积和圆面积的联系,巧用“r²”求圆和圆内组合图形的面积,可设计如下教学活动。一、借助基本图形,探明基本规律教师出示任务：如图1,已知正方形的面积是40cm²,你能求圆的面积吗？学生独立完成,再重点讨论：“圆的半径是多少？怎样求圆的面积？”教师引导学生发现这个组合图形是由正方形和圆组成,