直角四面体的性质分类与解析

直角四面体(也叫直角三棱锥)是由同一点出发的，两两互相垂直的三条棱所构成的四面体，其中两两垂直的三条棱叫直角棱，两两垂直的三个面叫直角面，另一个面相对来说叫做斜面。     

直角四面体的性质及应用

所谓直角四面体 ,是指由同一点出发的 ,两两互相垂直的三条棱所构成的四面体 .其中两两垂直的三条棱叫直角棱 ,两两垂直的三个面叫直角面 ,另一个面相对来说叫做斜面 .本文旨在通过对直角四面体的多种性质的挖掘 ,揭示直角四面体的结构特征 ,展示思维过程 .1　直角四面体中有关角的性质定理 1　直角四面体斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于 1.分析　设Ｐ是直角四面体Ｏ -ＡＢＣ的斜面ＡＢＣ上任一点 ,若Ｐ为ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ上的任一点 ,命题显然成立 ;若Ｐ为其他的点 ,则过Ｐ作三个平面分别平行于三个直角…     

从三角形的外接圆到四面体的外接球

在平面上,当一个三角形的两条边互相垂直时,该三角形的外接圆直径的平方等于两直角边的平方和。而在四面体中,也类似地有: 引理:三条棱互相垂直的四面体的外接球直径的平方等于这三条棱的平方和。 证明:以这三条两两互相垂直的棱为长、宽和高,作一长方体,而该长方体的对角线恰是它的外接球直径,从而也是已知四面体的外接球直径,由于长方体的对角线的平方等于它     

再探直角四面体的性质

具有由同一点出发的两两互相垂直的三条棱的四面体称为直角四面体,其性质的研究对中学数学创新性教学,对深化学生的类比学习思想,开阔学生的视野,都有着相当的份量,我们从下面的高考真题可见其重要性：     

从一道数学竞赛题谈起

第十届国际奥林匹克数学竞赛有这样一道试题: 证明:任意一个四面体总有一个顶点,由这个顶点出发的三条棱可以构成一个三角形的三边。我们利用反证法来证明这个命题。设四面体ABCD中AB是最长的棱。如果任意一个顶点出发的三条棱都不能构成一个三角形,则对由A出发的三条棱,有AB≥AC±AD;又对由B出发的三条棱,有BA≥BC BD,两式相加得2AB≥AC AD BC BD (1)但在△ABC中,AB相似文献   

正方体中的组合数问题

本文初步归纳了正方体中比较典型的与组合数相关的问题 ,特介绍如下 .图 1(1 )正方体的1 2条棱中任取两条 ,有 C1 8· C23=2 4种相交的情形 ,有C1 3·C24 =1 8种平行的情形 ,有 C21 2 - C1 8C23- C1 3· C24 =2 4种异面的情形 .其中 C23是指有公共顶点的三条棱任取两条 ;C1 8对应 8个顶点 .C1 3· C24 是指左右水平、前后水平、上下垂直这三种情形的棱各有四条且从中任取两条 .图 2(2 )正方体的 8个顶点中任取 4个 ,能够形成三棱锥的有 C48- 6 - 4 - 2 =5 8种情形 .其中 6 ,4,2分别表示三类 4个点共面的情形 .上下左右前后是正方体的 …     

立体几何——第二章 多面体和旋转体(A组)

一、选择题 1.下列条件中能判定棱锥是正棱锥的条件有()个. (1)侧棱都相等的棱锥;(2)两相邻侧面所成的角都相等的棱锥;(3)侧棱与底面所成的角都相等的棱锥;(4)侧面与底面所成的角都相等的棱锥, A .0 B.1 C.2 D.3 2.四棱柱成为长方体的一个必要但不充分的条件是(). A.各个面都是正方形 B.从某顶点出发的三条棱两两垂直 C.侧面和底面都是矩形 D.底面是菱形 3.侧面都是正三角形的正n棱锥,那么n的最大可能值是(). A .4 B.5 C.6 D.7 4.已知平行六面体中,一个顶点上的三条棱长都是“,且这三条棱中,每两条棱的夹角都是600,则其体积是().A.卒…     

四面体上的组合问题(高二、高三)

有读者提出一个问题:由过正四面体顶点和各棱中点的直线所组成的异面直线有多少对?几何体上的组合问题可用分类的方法解决.此题中,满足条件的直线共33条:侧棱6条,中线16条,中位线16条,对棱中点连线3条.可以从点、线、面等三个不同角度进行分析.     

构造正方体 巧解高考题

正方体有8个顶点,6个面,12条棱,有4条体对角线,有12条侧面对角线,有1个对称中心,有3对互相平行的侧面或者底面,有3组成互相平行的棱,每1组有4条棱,其中有线在平面内,线面平行、垂直,面与面平行、垂直.可以说,立体几何整个体系可以在正方体里面得到体现,因而有“百宝箱”的美称.有许多高考立体几何题,可以构造正方体得到一些巧妙的解法,下面略举几例.     

长方体与四面体包含关系的妙用

长方体是立体几何中的基本几何体,其结构对称,各元素之间存在着相等、平行、垂直等关系,是研究线面关系、特殊几何体的一个重要载体.某些四面体可以看成是"寄居"在长方体内.如三组对棱分别相等的四面体、直角四面体(即一个顶点处的三条棱两两垂直)都可以看成是长方体的寄居体;     

一类特殊四面体的性质

三对对棱彼此互相垂直的四面体,称为对棱垂直的四面体．它是一种特殊的四面体,有它特殊的性质．本文将给出此类特殊四面体的一些性质,供大家参考．     

设而不求思想在解题中的应用

“设而不求”思想是减少计算量的有效手段,在解题中,若能合理地、大胆地“设而不求”,往往能将一些看起来较为复杂问题变得十分简单,达到快速解题的目的.一、在立体几何中的应用在立体几何中,当试题涉及到几何体的三条棱的垂直关系集中一点时,我们可以假设共点的三条棱长,并通过它们之间的关系求解.例1三棱锥三个侧面两两垂直,它们的面积分别为S1,S2,S3,求它的体积.解:如图1所示,在三棱锥P-ABC中,由已知条件知,三侧棱PA、PB、PC也两两相互垂直设PA=x,PB=y,PC=z,则S1=21xy,S2=21yz,S3=21xz.所以xyz=22S1S2S3.从而VP-ABC=VA-PBC…     

证明两条直线垂直的定理向空间推广

笔者发现,本刊1987年第5期《关于证明两条直线互相垂直的一个定理》一文的定理,可进一步推广到空间的情形。有定理:四面体一组对棱垂直的充要条件是另外两组对棱的平方和相等。即在四面体     

再谈这道典型习题的应用(高二)

题三个平面两两相交,有三条交线.求证:这三条交线于一点或互相平行. 受文[1]的启发,笔者发现利用此习题结论可以求作无棱二面角的棱.其具体方法是先考察无棱二面角的两个面与第三个平面的两条交线的位置关系,如果这两条交线相交,则无棱二面角的棱必过此交点,如果这两条交线平行,则无棱二面角的棱必与这两条交线平行.     

为什么正多面体只有五种

高中数学统一教材第二册P。92内指出正多面体只有五种,但未加以证明,现在应用欧拉定理来证明这个事实,很有必要,可供师生参考,证明如下: 设正多面体的F个面都是正n边形,V个顶点处的多面角都是m面角。因为每一个面有n条边,每两边并成正多面体的一条棱,所以共有nF/2条棱,又因为从每一个顶点出发有m条棱,V个顶点共发出mV条,每条棱都计算了两次,所以棱的总数是mV/2,因此nF/2=mV/2=E。     

关于四面体中的一个充要条件

大家知道:四面体的四条中线交于一点;四条高线交于一点的充要条件是:每组对棱互相垂直,这里考虑四面体的各顶点与对面三角形内心的连线,这四线共点的充要条件。定理四面体各顶点与对面三角形内心的连线共点的充要条件是:三组对棱的乘积相等。     

直角四面体的若干性质

我们称三条侧棱两两互相垂直的四面体叫直角四面体，直角四面体具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质，在教学中发现这种四面体还具有一些美妙独特的性质，现归纳如下，仅供参考。     

构建长方体巧解立几问题的几个实例

凡事都有巧合.能用长方体或正方体性质解决的问题也有某种"巧合",如问题含有条件:"由一个点出发的三条两两垂直的射线"、"长方体面对角线构成的四面体"、"相邻的三个面两两垂直"等等均与长方体或正方体有关,此时构造长方体或正方体往往能巧解有关问题.下举数例浅析这类问题的一般思维方法.     

勾股定理的应用——探究最短路径问题

勾股定理的应用是初中数学重点内容之一,探究最短路径问题是勾股定理运用的重要内容.本文通过对一道例题的研究和同学们探讨最短路径问题. 例题:如图1所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长分别为长为4,宽为2,高为1),问怎样走路线最短?最短路线长为多少?     

建空间直角坐标系四法

1．利用共顶点的互相垂直的三条棱 例1如图1,直三棱柱ABC—A1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=AC=CB=√2/2AB．