浅析分离参数法求解范围问题

<正>在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数的取值范围时,如果能够把参数分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其对应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围。下面我们就来谈谈分离参数法在解参数取值范围问题中的应用。例1已知函数f(x)=(ax²+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x2+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x³+1/2x3+1/2x²+m的图像有三个不同     

高考全国卷第22题的一题多解

<正>高考全国卷第22题为选修4-4坐标系与参数方程的考题。它涉及到曲线的普通方程、极坐标方程、参数方程。这道题解法往往有多种,且灵活多变,每种方法都各有千秋。例1(2016年高考全国Ⅱ卷)在直角坐标xOy中,圆C的方程为(x+6)²+y2+y²=25。(1)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程。     

Ni2+预嵌入MnO2正极对锌离子电池性能的影响

为了抑制水系锌离子电池正极MnO₂材料在充放电过程中发生的材料坍塌，该研究采用水热法将Ni²⁺插层到δ-MnO₂(NMC)中，并且对其进行碳包覆.制备的NMC材料微观结构发生了改变，其层间距与比表面积变大，为Zn²⁺提供了更多的活性位点；经过碳材料包覆后NMC材料的导电率得到了提高.将该材料用作水系锌离子电池正极活性材料，在0.2 A·g^-1电流密度下，电池经过100次充放电后容量保持率为90%，表现出较好的循环性能.在大电流密度下(1 A·g^-1)，经过800次循环后容量保持率仍高达80%.因此，对δ-MnO₂进行Ni²⁺掺杂并进行碳包覆，为实现水系锌离子电池的高能量密度提供了新的解决方案.     

类氢He+在白矮星磁场范围赖曼系吸收谱的研究

采用发展的(Finite-basis-size)方法用(B-splines)基在典型的磁化白矮星强磁场中计算了类氢离子He⁺的离散光谱。涉及到的磁场范围为2.35～2 350 MG。计算共涉及9个磁化原子态,包含3种对称性0⁺、0^-和(-1)⁺,计算了8种电偶极跃迁的波长、振子强度和跃迁速率。此8种电偶极跃迁分别为1 0⁺→ν 0^-(ν=1-4)和1 0⁺→ν(-1)⁺(ν=1-4)。计算结果显示此8种电偶极跃迁的波长均分布在紫外区域,当磁感应强度γ=0.2a.u时1 0⁺→4 (-1)⁺跃迁属于弱跃迁。计算结果可作为天体物理的参考数据。     

5~(1/2)、13~(1/2)、21~(1/2)、29~(1/2)等都是无理数的统一证明

<正>本文仅从整数的奇偶性上引出矛盾,利用反证法给出5^(1/2)、13(1/2)、13^(1/2)、21(1/2)、21^(1/2)、29(1/2)、29^(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)(1/2)等数均为无理数的统一证明,供同学们参考.定理若p是自然数,则(8p+5)^(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)(1/2)是无理数.证明假设(8p+5)^(1/2)是有理数,即有(8p+5)(1/2)是有理数,即有(8p+5)^(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n(1/2)=m/n(m/n是既约分数),则有(8p+5)n²=m2=m²……(1)[1]假设m与n均为偶数,则恰与m/n为既约分数矛盾!故假设[1]不真!     

一类常系数非齐次线性微分方程特解的求法

针对n阶常系数非齐次线性做分方程y⁽ⁿ⁾+p_1y(n)+p_1y^(n-1)+...+p_(n-1)y'+p_ny=e(n-1)+...+p_(n-1)y'+p_ny=e^(λx)(p_1(x)cosωx+p_m(x)sinωx),运用特征函数导数法和比较系数法,得到了方程的一个公式化特解,简单易行。     

巧用曲线系法 速解四点共圆

<正>一、二次曲线系基础知识二次曲线的一般方程为Ax²+Bxy+Cy2+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0,由此很容易得到下列结论:(1)已知四边形四条边的方程为l_i:A_ix+B_iy+C_i=0(i=1,2,3,4),则过四边形四个顶点的二次曲线系方程为l_1l_3+λl_2l_4=0(λ∈R),如图1。     

函数中“1”的妙用

<正>在三角函数中,"sin² A+cos2 A+cos² A=1"是一重要的常见考点,在近几年高考或各地模拟试题中出现的频率逐年增高。当看到"1"时就想到是否把它转换为"sin2 A=1"是一重要的常见考点,在近几年高考或各地模拟试题中出现的频率逐年增高。当看到"1"时就想到是否把它转换为"sin² A+cos2 A+cos² A"来进行配方等其他变形。当看到"sin2 A"来进行配方等其他变形。当看到"sin² A+cos2 A+cos² A"时就立马想到把它换为"1"来进行简单运算。     

方程与不等式思想在“数与代数”问题中的应用——以2021年中考题为例

<正>本文从概念、性质、图形或图象、实际应用四个方面探究方程与不等式思想在中考中的应用.一、由概念产生方程与不等式例1 (2021年聊城中考题)关于x的方程x²+4kx+2k²=4的一个解是-2,则k的值为( )(A)2或4(B)0或4(C)-2或0 (D)-2或2解析 此题考查了方程的解的概念.把x=-2代入方程x²+4kx+2k²=4,得4-8k+2k²=4,解得k₁=0,k₂=4.故选B.     

两个三元三次不定方程的整数解

<正>文[1]编入两道关于不定方程的习题:(1)证明x³-y3-y³=xy+1993无正整数解;(2)求x3=xy+1993无正整数解;(2)求x³-y3-y³=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x3=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k(x3-3xyz=k(x²+y2+y²+z2+z²)+d(1)x2)+d(1)x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k x(y+xz+yz)+d(2)其中k、d∈Z,因对称性,约定方程⑴和方程⑵中x、y、z的值任意轮换时所得诸解为同一组解.     

如何快速化简(m+nR1/2)1/3

若(m+nR^1/2)^1/3能化简,则 m+nR^1/2必能整理成（a+b）³的形式,现将化简的方法总结如下:设 a 为有理数,b 为无理数（这里指开方开不尽的数）,则在（a+b）³的形式 a³+b³+3a²b+3ab²中,a³+3ab²为有理数,b³+3a²b 为无理数,这样,可将a³+3ab²分解成 a（a²+3b²）,同时将 m 分解质因数,     

用“相关点”法解含参数的一元二次不等式

<正>解含参数的一元二次不等式ax²+bx+c<0,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?普遍方法有三种:(1)按x2+bx+c<0,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?普遍方法有三种:(1)按x²项的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0;(2)按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)按方程ax2项的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0;(2)按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)按方程ax²+bx+c=0的根x2+bx+c=0的根x¹,x1,x²的大小来分类,即x2的大小来分类,即x¹>x1>x²,x2,x¹=x1=x²,x2,x¹2。以上分类方法学生不易掌握而且经常出现"二级分     

CaF2:Yb3+,Er3+的上转换发光及其色度调控

采用水热法制备了Yb³⁺,Er³⁺共掺CaF2上转换材料,XRD分析证实所得产物为单一立方相CaF2.通过比较Yb³⁺和Er³⁺的浓度影响,发现CaF2:Yb³⁺,Er³⁺的上转换发光对Er³⁺浓度变化非常敏感,当Er³⁺掺杂浓度由1%增加到3%时,荧光显著猝灭;与之相比,Yb³⁺更大的浓度变化却导致更小的发光强度变化.由于绿、红光的功率关系非常接近,且紫光对三刺激值的影响可以忽略,泵浦功率由0.47W增加到0.85W仅导致非常小的色差.色度研究表明,Yb³⁺的浓度变化是有效的色度调控方法,而Er³⁺的浓度变化和泵浦功率调节对色度的调控能力都非常有限.     

巧用双曲线的特征三角形解题

<正>在双曲线的两种标准方程x²/a2/a²-y2-y²/b2/b²=1和y2=1和y²/a2/a²-x2-x²/b2/b²=1(a> 0,b> 0)中,都有c2=a2=1(a> 0,b> 0)中,都有c2=a²+b2+b²(其中c为半焦距),因此,以a、b、c分别为边长构成的三角形为直角三角形,它隐含了双曲线中三个基本几何量,我们不妨称这些三角形为双曲线的"特征三角形".以焦点在x轴上的双曲线标准方程为例,     

幂等算子核空间上的投影

记H为复可分无限维Hilbert空间,H上的有界线性算子F若满足F²=F,则称F为幂等算子,P₍N(F)),P_F分别为幂等算子F的核空间N(F),值域R(F)上正交投影.借助算子分块技巧,给出P_FP₍N(F))范数的表达式,进一步研究了P_QP₍N(Q))及P_Q-P₍N(Q))范数的最大值与最小值,其中Q是满足R(Q)=R(F)的H上的幂等算子.     

顺应“三新”趋势探索变式教学模式——数学变式征集活动解析几何专题试题选登

<正>【精选变式题组】【母题1】(2022·江西余干一中)已知⊙O的方程为x²+y²=4,过M(4,0)的直线与⊙O交于A,B两点,则弦AB的中点P的轨迹方程为____.【变式1】(知识变式)将母题中的“圆”换为“椭圆”已知椭圆C的方程为x²/4+y²=1,     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

关于丢番图方程px~4-(p-q)y~2=qz~4

利用初等方法给出了丢番图方程px⁴-(p-q)y4-(p-q)y²=qz2=qz⁴当p=Q4当p=Q²+q为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了Mordell等学者关于ax2+q为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了Mordell等学者关于ax⁴+by4+by⁴=cz4=cz²的结果。     

关于等幂和一个不等式的注记

<正>文[1]作者介绍了等幂和的一些背景与结果,特别介绍了紧密联系数论的一些结果.文[2]利用贝努里不等式及数学归纳法证明了关于等幂和的一个猜想.即对于任意的λ∈N*,则有n^(λ+1)/λ+1<1(λ+1)/λ+1<1^λ+2λ+2^λ+…+nλ+…+n^λ<(n+1)λ<(n+1)^(λ+1)/λ+1.文[3]作者采用定积分估计的方法重新证明了上述不等式.本文通过等幂和的一个等式证明并改进了上述不等式的右边,并且也给出了等幂和的一个下     

巧设“圆系” 事半功倍

在2019年版高中数学教材选择性必修第一册第二章《直线与圆》中,第98页中有如下几道关于圆的方程的问题.题1求经过点M(2,-2)以及圆x²+y²-6x=0与圆x²+y²=4交点的圆的方程.题2求圆心在直线:x-y-4=0上,并且经过圆x²+y²+6x-4=0与圆x²+y²+6y-28=0的交点的圆的方程.