发掘隐含条件 寻找解题契机

解题时,学生往往因忽视题目中的隐含条件,而使求解过程十分繁难甚至于隐入困境,影响解题效率.发掘隐含条件是寻找解题契机,发现解题突破口的有效方法之一,可以事半功倍.一、从相关定义发掘隐含条件,寻找解题契机例1设P为椭圆2x25 y2b2=1(0相似文献   

探究椭圆定义在解题中的应用

椭圆是圆锥曲线中的重要内容,也是高考命题的热点、椭圆的定义是研究椭圆的基础,也是解椭圆题的一把金钥题.椭圆给出了2种定义:第一定义:平面内与2个定点F1、F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1、F2|)的点的轨迹叫做椭圆;第二定义:到一个焦点和相应准线的距离比是常数e(0相似文献   

倍角关系下数量积问题的多解探究

以椭圆为载体,考查椭圆与解三角形、平面向量等知识的综合运用,是一类重要题型.本文侧重探究在椭圆的焦点三角形中,如果给出了某两个内角成倍角关系,如何具体求解数量积的值,旨在帮助同学们理清常用解题思维的切入点(数量积的定义、数量积的坐标运算),巩固相关知识在解题中的灵活运用能力,培养学生的直观想象能力和数学运算求解能力.     

几何性质 优化解法

所谓解析几何,就是用代数方法来研究几何问题.引入解析法,大大地延拓了我们研究几何图形性质的空间,但另一方面也造成思维上的负面定势,即忽视了解析几何的本源——几何图形的性质.倘若在解题进程中,能注意到图形自身(或隐性)的几何性质,并加以利用,可以大大缩减运算量,从而优化解题过程,提高解题能力.一、利用图形的对称性【例1】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,设P是椭圆上的任一点,则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的对称点M轨迹是().A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆简解:如图1,∵|PF1|+|PF2|=2a,由角平分线的对称性可…     

动态生成直观展现——用《超级画板》纠正直觉错误

解题的第一感觉我们常称之为直觉.直觉是否可靠呢？我们需要证明.面对复杂问题,由于解题者认识不全,难免会产生一些错误的判断,如果一一去证明,需要花费很多时间.为了节省时间,我们可以利用计算机来直接验证猜想.先请读者思考以下两个问题:设F1,F2分别为椭圆的左、右两焦点,点A为椭圆上不为左、右顶点的任意一点,分别作椭圆在点A处的切线和法线,法线与x轴交于点B.如图1,此时点B与原点重合.     

椭圆的两个有趣性质及应用

性质1椭圆中,短轴的一端点与两焦点所成的角,是椭圆上所有的点与两焦点所成的角中的最大角。性质2椭圆中,短轴的一端点与长轴两端点所成的角,是椭圆上所有的点与长轴两端点所成的角中的最大角.利用这两条性质解题,不仅求解思路清晰、和谐、优美,而且解题过程简捷、明快,可收到事半功倍的结果.椭圆的两个有趣性质及应用@曾庆宝     

一道高考试题的探究及应用

<正>问题已知,椭圆C经过点A(1,3/2)两焦点为(-1,0),(1,0).(1)求椭圆的方程;(2)E,F是椭圆上的两个动点,如果直线的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值并求出这个定值.这是2009年全国高考辽宁卷第20题,本题以椭圆为载体考查直线与椭圆的位置关系和计算能力,是一道极具有研究价值的好题,在教学过程中笔者对这道题的第2问从解题方法到一般性结论进行了全面、深入的研究.     

例谈伸缩变换在椭圆问题中的应用

解析几何中与椭圆相关的问题经常出现.此类问题的常规求解过程复杂繁琐,利用高中数学选修课程中的伸缩变换可以优化计算,降低解题难度.在变换φ:{x'=λx,λ>0,y'=μy,μ>0下,点P(x,y)的对应点为点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.     

几道数学趣题的向量解法

正向量作为工具性知识已列入中学数学教材之中,其应用价值已被广大师生认可.用向量知识解题,方法新颖、运算简捷,是启迪学生思维的有效途径之一.笔者现用向量法证明几道数学趣题,供参考.例1证明椭圆的最大弦长等于椭圆的长轴长.证明:设F1,F2是椭圆的焦点,O为椭圆     

简约——数学解题追求的一种境界

简约,是数学之美,也应该成为我们解题所追求的一种境界.那么在数学解题中采取何种策略才能简化运算、优化过程呢?1.“回归定义”求简【例1】已知A(4,0),B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的两点,M是椭圆上的动点,则｜MA｜+｜MB｜的最大值为,最小值为.解析:本题直接求解比较困难,这也不符合解填空题的思路,但我们注意到A点即为椭圆的右焦点,所以,借助椭圆定义作如下转化:如图,令椭圆的左焦点为F,则｜MA｜+｜MF｜=10,｜MA｜=10-｜MF｜,从而｜MB｜+｜MA｜=10+(｜MB｜-｜MF).所以,只要求｜MB｜-｜MF｜的最大与最小值即可.而最值显然是在M、…     

圆锥曲线定义的应用

<正>圆锥曲线的定义在处理与平面几何知识相结合的有关问题时发挥着至关重要的作用.充分利用圆锥曲线的定义及数形结合、转化思想来解题,是解决此类题目的通法.一、椭圆1.椭圆第一定义的应用例1点F为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点A,使AOF为正三角形,则椭圆的离心率为()     

定义法在解圆锥曲线问题中的应用

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线,是平面解析几何中的重要内容,三种圆锥曲线的定义既是教材的重要基本内容,也是解决许多问题的一种有效途径.有些问题若能巧用定义法则迎刃而解.在教学实践中,我们要积极主动培养学生建立采用定义法解题的意识.众所周知:平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点的轨迹是椭圆.与两定点F1、F2距离之差的绝对值等于常数2a(2a<|F1F2|的动点轨迹是双曲     

2007年高考一类热点问题的求解视角

2007年的高考数学中,与焦点弦有关的综合问题堪称为一大热点.在各地高考文、理科试卷中,有19份试卷出现了以焦点弦为依托的试题.高考对此类问题的考查,既注重基础知识,又强调与向量、三角函数、方程与不等式、应用性问题等结合,体现知识交汇,突出能力立意.由于这类问题一般以压轴题形式出现,学生在求解时有一定的困难.本文以2007年高考题为例,对这类问题的求解视角作些探讨.视角之一联立方程组例1(全国卷理)已知椭圆x32 y22=1的左、右焦点分别为F1,F2.过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.()设P点…     

关于椭圆、双曲线中点弦的几个定理及其应用

解析几何中不乏求解有关椭圆或双曲线中点弦的问题,无疑,这类问题在启迪学生思维、拓宽解题思路诸方面都有十分重要的作用,因而它在中学数学教材及各种数学复习资料中始终占有一席之地。本文拟对此类问题作一探讨。 一、定理 由于以某点为中点的椭圆或双曲线的弦     

利用圆的知识巧解椭圆问题

例1椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上与两个焦点的连线的夹角为90°的点的个数不可能为A.4B.3C.2D.0解析如图1所示,以椭圆中心为圆心、过两个焦点作圆,因b与c的大小关系未知,则可能有三种情形:若c>b,则圆与椭圆有四个交点,每个交点与两个焦点的连线的夹角都为90°;若c=b,则圆与椭圆相切于两个点,其与两个焦点的连线的夹角都为90°;若cb>0)的两个焦点为F1、F2,点P是椭圆上一动点.若∠F1PF2=π2,求椭圆离心率的范围.解析因∠F1PF2=π2,则以F1F2为直径的圆与椭圆相交于四个…     

活用第二定义优化解题过程

在解析几何问题的求解过程中,若适当注意第二定义的运用,常能收到意想不到的效果,使解题过程变得简洁．例1椭圆(x2/a2) (y2/b2)=1(a>b>0)上到右焦点F距离最近的点在哪里?分析在椭圆上找一个点,使其到右焦点F的距离最近,可采用设点坐标的方法,将其转化为“一元二次函数在给定区间上的最值问题”进行求解,在此过程中要进行分类讨论,解决问题的过程比较烦琐。     

圆锥曲线定义解题初探

高中数学圆锥曲线有椭圆、双曲线、抛物线.按其定义,平面内两定点为F1,F2,当动点P到点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)时,点P的轨迹为椭圆.椭圆的第二定义:平面内到定点F的距离与定直线l的距离的比是常数e(0相似文献   

高考题研习“四步曲”

<正>高考题对于熟练掌握学科知识和提升解题能力,特别是高考备考至关重要.本文以2013年山东高考理科第22题为例,谈谈对高考题研习的几点做法和体会,期望能给读者以启示.题目椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为槡32,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连结PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长知识表1     

开拓思维 高效解题——一道解析几何问题的多种解法

<正>焦点三角形是指以椭圆(或双曲线)的焦距F1F2为底边,顶点P在椭圆(或双曲线)上的三角形.熟练掌握焦点三角形的性质,对培养创新能力和解题能力具有重要意义.例题双曲线x29-y216=1的焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.分析设P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.解法1(辅助圆法)构造以焦点F1、F2为直径的辅助圆.由圆的知识可知,若点P在圆上,则F1PF2是直角三角形;若点P在圆内,则F1PF2是钝角三角形;若点P在圆外,则F1PF2是锐角三角形.     

妙用局部固定法处理多元最值问题

<正>多元函数的最值一直是大家难以处理的一类函数问题,中学阶段常规的求解思路是将其转化为一元函数进行处理;而高等数学中则是利用条件极值构造朗格朗日函数法求解.由于这些方法摆脱不了计算量大、思维成本高的现实,在实际考试过程中极有可能达不到解题目标.鉴于此,笔者基于自己的理解与教学实际,采用局部固定法例析以下几道试题,以帮助大家提高认识,增添解题视角.