一道数学高考题的源头与解法探究

一道好的高考题总会让人产生无尽的遐想,细细品来,令人回味无穷.2014年高考数学全国新课标(Ⅱ)卷文科第17题(以下简称“原题”)就是这样的好题:四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(Ⅰ)求C和BD;(Ⅱ)求四边形ABCD的面积.     

研究高考命题规律 重视求解体积问题

<正>笔者查阅了2023年四套全国卷,其中新高考Ⅰ卷第12小题涉及到与多种几何体体积有关的高难度多项选择题,第14小题求四棱台体积,新高考Ⅱ卷第9小题选择支中有求圆锥体积,第14小题求四棱台体积,全国甲卷文科第10题求三棱锥体积,全国乙卷理科第8小题求圆锥体积,乙卷文科第19大题求三棱锥体积．2022年四套全国卷,其中新高考Ⅰ卷,第4小题和棱台体积有关,第8小题是球内接正四棱锥体积取值范围问题,第19大题已知直三棱柱体积求点面距离;新高考Ⅱ卷第11小题涉及三个三棱锥体积等量关系;全国甲卷第4题(文科第4题)已知三视图求多面体体积,第9题(文科第10题)求两个圆锥体积比,文科第19题求包装盒的容积;全国乙卷理科第9小题(文科第12题)是球内接四棱锥体积最大时求高,文科卷第18大题求三棱锥体积．     

例谈计算推理在高考立体几何试题中的运用

区别于用定理推理的计算推理已成为近几年高考立体几何试题的一大亮点,不能不引起同学们足够的重视.例1(2007年全国Ⅰ理科卷)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AB=2,BC=22%姨,平面SBC⊥底面ABCD,SB=SA=3%姨.(1)求证:SA⊥BC;(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小.解析(1)如图1,取BC的中点O,连结AO,SO.因为∠ABC=45°,AB=     

写“有思想力”的作文——高考“启示”类作文题的备考策略

<正>一、2021-2022年语文高考“启示”类作文综述2022年高考,在最引人注目的作文题中,全国新高考Ⅰ卷、全国甲卷及浙江卷均以“启示”或“启示意义”为引导写作的关键词,这是继2021年的全国新高考Ⅰ卷及全国乙卷后,“启示”类作文题再次占据了全国高考卷中的半壁江山。在2023年高考作文备考启动之际,这一现象发人深思。     

奇思妙想解考题

笔者就今年高考卷Ⅲ数学卷中学生普遍感到得分难的一道题目进行了探索,得出两种巧妙的解法,供大家参考。如图1,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面△VAD是正三角形,侧面VAD⊥底面ABCD,(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.解:(Ⅰ)证明(同标准答案).(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知:△VDB在侧面VAD上的射影是△VAD.不妨设AB=1,则S△VAD=3~(1/3)/4.又∵cos∠VDB=cos∠VDA·cos∠ADB=1/2·2~(1/2)/2=2~(1/2)/4,∴sin∠VDB14~(1/14)/4     

注重一题多解 加强试题探究 提升解题思维

<正>一、试题呈现(2023年新高考Ⅰ卷第22题）在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点■的距离，记动点P的轨迹为W.(1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，求证：矩形ABCD的周长大于■.分析本题是2023年高考数学新高考Ⅰ卷的压轴题，第（1）问比较基础，考查动点轨迹方程的求解，属于基础题型，体现了高考命题的“基础性”原则，直接设P(x,y），     

全国高考数学（理）第17题的多角度思考

题目:(2001年全国高考数学试卷理科第17题)如图1,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2.(1)求四棱锥S- 图1ABCD的体积; (2)求面SCD与面SBA所成二面角的正切值. 第(1)题容易用体积公式直接求解.而第(2)题则是一道典型的无棱二面角问题,故在     

一道高考试题的探讨

06年全国高考数学理科试题(北京卷)第19题:已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA.OB的最小值.解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所求方程为:x2-y2=2(x>0)(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,此时A(x0,x22-2),B(x0,-x02-2),∴OA.OB=2.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx b,代入曲线方程x2-y2=2(x>0)中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0(*)依题意可知方程(*)有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2)…     

一道三角函数高考题的演变过程

高考真题(2011年高考湖南理科卷第17题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)求3(1/2)sinA-cos(B+π/4)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.参考答案(Ⅰ)由正弦定理得sinCsinA=sinA·cosC.因为00.从而有sinC=cosC.     

2004年高考数列试题的分析与思考

一、试题概述与分析2004年高考数学全国卷之一(新课程版卷)理科的压轴题是数列试题: 已知数列{an}中,a1=1,且a2k=a2k-1(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,……(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)求{an}的通项公式. 该题主要考查数列、等比数列的概     

你会构造异面直线所成的角吗?

题目 (2005年高考·全国卷I)已知四棱锥 P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°, PA⊥底面ABCD,且PA= AD=DC=1/2AB=1,求AC 与PB所成的角．     

2021年全国新高考数学Ⅰ卷第17题的解法探究和教学启示

1问题提出(2021年新高考Ⅰ卷第17题)已知数列{a_n}满足a1=1,a_n+1={a_n+1,n为奇数,a_n+2,n为偶数。(1)记b_n=a_2n,写出b₁、b₂,并求数列{b_n}的通项公式;(2)求{a_n}的前20项和.本题以“奇偶项交织”的递推关系考查数列的基本知识,注重基础,但形式新颖,解题方法较为丰富.     

解题方法之必要条件解题

解决问题时,我们一般要求保持等价,但有时等价命题比较复杂,不易求解,此时不妨研究命题成立的必要条件,扩大问题解集的范围,再通过充分性检验,剔除增解,得出正确结论.1利用必要条件得到"可能的答案",再检验去掉增解例1(2012年高考浙江卷·理17)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x~2-ax-1)≥0,则a=____.分析思维过程:想法一:直接求导求最小值,     

椭圆、双曲线的离心率问题值得关注

2004年全国各地高考数学试卷中,解几问题中直接涉及椭圆、双曲线离心率的试题有9道,其中选择题5题,填空题1道.解答题3道.这9道关于椭圆、双曲线的离心率问题可以分为二类:一类是求其离心率的值,如江苏卷(5)、全国卷Ⅲ理(7)、福建卷理(4)、浙江卷理(9)、天津卷理(22);一类是求其离心率的取值范围,如重庆卷理(10)、全国卷Ⅰ理(21)、全国卷Ⅳ理(21).解几是高考重点考查的内容,故椭圆、双曲线的离心率问题将依然是明年高考数学的热点和重点.一、求离心率的值求解椭圆、双曲线离心率的值的方法:一是直接利用其定义;二是利用直线与其位置关系,转化…     

对两道高考题的思考

1.(2010年高考数学全国课标文科第21题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.(Ⅰ)若a=12,求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.2.(2012年高考数学湖南卷文科第22题)已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.     

基于教材开发的一道高考数学应用题

<正>高中数学教材中的例(习)题往往是每年高考数学试卷的命题脚本、“母题库”,合理挖掘教材例(习)题,基于问题场景、知识结构与思想方法等,全面构建数学知识网络体系与数学思想方法体系,架构不同数学基础知识间的链接与应用,合理渗透并应用到高考命题中去.1.真题呈现(2023年高考数学新高考Ⅰ卷·10)(多选题)噪声污染问题越来越受到重视.     

2004年高考"数列试题"的分析与反思

一试题概述2004年高考数学全国卷之一(新课程版卷)理科的压轴题是"数列试题":已知数列{an}中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,….(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)求{an}的通项公式.该题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳推理能力.     

思想方法应用巧 技巧策略破解妙——2023年高考数学新高考Ⅰ卷第20题探究

<正>新的一年，新的高考.2023年高考，数学学科风云突变，数学问题变幻莫测，高考真题名题如云，设问方式新颖，解题思维层出不穷，破解技巧美不胜收.这其中，最让人欣赏与难忘的往往是那些以朴素的面孔，看似熟悉但陌生的问题，渗透丰富的数学研究方法和研究思想的考题，成就了历年高考中一个个典型的“亮点”与“创新点”.一、真题呈现【高考真题】(2023年高考数学新高考Ⅰ卷·20)设等差数列{a_n}的公差为d,且d>1.     

一道2003年高考试题的探源与探索

教材是高考例题的参照物 ,学生通过对教材的学习形成技能 ,发展能力 ,以便实现高考时能力的再显 .但不少考生高考时 ,面对新背景、新问题却一脸茫然 .其实 ,高考题或多或少能在课本上找到影子或模型 ,只不过有些比较直观 ,如 2 0 0 1年全国高考试题(19)则是高二上册第 12 3页第 6题的简单变形 ;有些“只缘生在此山中” ,却“不识庐山真面目” .本文试图从两个方向探源今年高考 (江苏卷 ) 2 0题 ,并对高考题做些探索 .1　探源新教材高二上册有这样两道习题 :题 1　一条线段AB(｜AB｜=2a)的两个端点A和B分别在x轴、y轴上滑动 ,求线段AB的…     

一道高考题的探究历程

题目：（2014年高考全国卷Ⅱ理17）已知设数列{an}满足a1=1,an＋1=3an＋1,（Ⅰ）证明{an＋1/2}是等比数列,并求{an}的通项公式.