例谈用逐步调整法证明不等式

如果不等式是一个n元对称式,那么应用逐步调整法来证明有时显得较方便。下面通过两个例子的分析来说明这方法的意义。例1 已知a_1,a_2,…,a_k,…为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,下列不等式成立: sum from k=1 to n (a_k/k~2)≥sum from k=1 to n (1/k). (第二十届国际数学竞赛试题第5题) 证:(1) 如果已知数列恰好满足条件: a_1相似文献   

巧用局部调整法证明三角不等式

为了解决一个问题,或者解一道数学题,有时可以通过对问题中的一部分量进行有限次调整让其它对象暂时不变,得出局部结果之后,再做进一步调整和研究(有时是重复性的调整),从而缩小范围,最终得到整个问题的圆满解决,这种思维方法就叫局部调整法.     

例说构造函数证明不等式

构造法是数学解题过程中常用的方法，它以其特有的技巧、技法，使人感到趣味盎然，并深受启发．本文略举几例在证明不等式方面的应用以供读者参考．     

例谈局部调整法在不等式证明中的应用

在中学数学竞赛中,局部调整法（又称磨光法）是证明不等式常用的手段与技巧.理论上其逐步逼近目标,直至最后彻底解决问题,实际上它主要可以表示成如下定理1~4.本文选用一些常见的数学竞赛题和网络流行题为例,说明局部调整法的作用.定理1设n∈N,n≥2,I（-∞,＋∞）是一区间,若对于任意的x1,x2,…,xn∈I,n元连续对称函数f满足f（x1,x2,x3,…,xn）≥（≤）fx1＋x22,x1＋x22,x3,…,x（）n,则f（x1,x2,…,xn）≥（≤）f（A,A,…,A）,其中A=x1＋x2＋…＋xn n为它们的算术平均.     

例说应用导数证明不等式

在高中数学新课程标准(实验)中,关于导数的教学,有这样的要求:教师应引导学生在解决具体问题的过程中,将研究函数的导数方法与初等方法作比较,让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.导数是研究函数性质的一种重要工具.例如:求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域,等等.作为     

例说导数法证明不等式

利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系,将不等式的部分或全部投射到函数上,直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数,通过导数运算判断出函数的单调性,或利用导数运算来求函数的最值,将不等式的证明转化为函数问题,即转化为比较函数值大小,或函数值在给定区间内恒成立等.现择例说明如下.一、在不等式中突出主元.以主元为自变量构造函数。将不等式转化为函数在给定区间内恒成立问题,然后利用导数证明     

例说切线法证明不等式

<正>函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,对凹曲线,其各点处的切线都在曲线下方.利用这个几何特性,我们可以根据不等式构造函数,利用切线法证明不等式,本文举例说明.例1正实数a,b满足a+b=1.证明:a2/(a+1)+b2/(b+1)≥13.证明构造函数f(x)=x2/(x+1),则     

例说构造多面体证明不等式

依照某种方式构造出适合条件的多面体,把不等式中的数量关系直接显现在图形中,借助于几何图形的性质,往往能获得独特、新颖、简捷的证题途径.[例1] 若α、β、γ均为锐角,且sin2α+sinβ+sin2γ=2,求证tanα tanβ tanγ≥2 2~(1/2). 简析本题从数的角度考虑,不易找到思路,若根据题设结构特征,构造长方体,探求思路,可使证明一举成功.     

例说数列不等式的证明

将数列内容与不等式结合起来,便构成了数列不等式.数列不等式是近年来高考和竞赛中的热点题型,本文举例说明数列不等式的若     

例说构造法证明不等式

不等式的证明方法很多,教材中介绍了几种基本证法。但对于许多构造新颖、风格各异的不等式,常规证法往往难以奏效,或是证明过程十分繁琐。有必要开拓思路,另辟蹊径,发挥求异思维的探索作用,对此,笔者结合实例,介绍构造法证明不等式。     

例说放缩法证明不等式

<正>不等式的证明是高考中常考的一类问题,而利用放缩法证明不等式又是其中的一个难点,它综合考查学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.这里谈谈在不等式证明中的几种常见"放缩"方法,供参考.     

例说数列不等式的证明

<正>数列型不等式的证明,其思维跨度大,构造性强,对学生的数学思维素质要求高,能很好的考查学生的学习潜能,具有很好的选拔功能,因而在近几年全国各地的高考试卷或模拟试卷纷纷出现.把这些试题放在一起比较,笔者发现其证明还是有章可循的,在高中阶段主要是四种途径可以解决,下面通过例题来加以说明.1利用放缩法证明利用放缩法证明,其中又有几种分法:1.1放缩成等比数列来求和当可以直接利用等比数列求和时,求和后放缩,否则,先将通项放缩.从某一项开始放缩后,和式转化为等比数列的和,求和后再放缩.在证明过程中从通项公式入手,观察分析,放大或缩     

例说放缩法证明不等式

不等式的证明是高考中常考的一类问题,而利用放缩法证明不等式又是其中的一个难点,它综合考查学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．这里谈淡在不等式证明中的几种常见“放缩”方法,供参考．     

例说构造法证明不等式

学习数学必须善于寻求解题方法,即发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径,实现从已知到未知的转化过程.在解题过程中,由于某种需要,要把题设条件中的关系构造出来,要么将关系设想在某个     

例说运用函数证明不等式

函数是联系有关变量的有力工具,解题时若能恰到好处地引入它,会对我们的解题带来很大帮助。下面结合具体例子,说明如何引入函数证明不等式．     

不等式的构造性证明例说

解数学题的过程就是将已知条件通过适当的转化、逐步地归结为结论的过程,其中构造性的解题方法，很好地体现了数学发现、类比、化归的思想，还渗透着猜想、试验、探索归纳、概括、特殊化等重要的数学思想．不等式的证明是高中数学教学的一个难点内容．本文以例说明不等式的各种构造性证明方法，以供中学数学教学参考。1．构造方程某些不等式的条件可与关于某一变元的方程联系起来，应用二次方程根的判别式，或讨论方程根的范围给予证明．例1已知α、β、T∈(-π/2,π/2),求证:(tga-tgβ)~2≥(tgr--2tga)(2tgβ-tgr)．证若tgr-2tga=0,则原不…     

构造法证明不等式例说

在数学解题中,人们常常根据题目的结构特征,通过直觉观察、联想及猜想等思维活动,构造出一个中介性辅助元素,或构造出存在性命题结论所要求的数学对象,由此揭示问题的实质,达到解决问题的目的.运用构造法解题,可以打破常规,另辟蹊径,巧妙地解决问题,此种解法还体现出创新思维能力,它在数学解题中有着广泛的应用.