教材中一个值得商榷的问题

1问题的提出普通高中课程标准试验教科书北师大版数学必修1第三章"§3.3指数函数的图象与性质"中借助y=2x与y=3x的图象研究了底数a对函数y=ax(a>0,a≠1)图象的影响,并得出结论:底数大于1的指数函数,底数a越大,当x>0     

函数y=ax+b/x(a≠0,b≠0)的性质与应用

性质一:函数y=ax+b/x(a≠0.b≠0)(1)图象是不规则双曲线,它关于原点中心对称,其渐近线是直线y=ax与直线x=0(即y轴).     

第17届"希望杯"全国数学邀请赛(高一)

第一试一、选择题(每小题4分,共40分)1.设S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0且y>0}.则().(A)S∪T=S(B)S∪T=T(C)S∩T=S(D)S∩T=2.若f(x)=1x的定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为B,则().(A)A∪B=R(B)A B(C)A B(D)A∩B=3.已知tanα>1,且sinα+cosα<0.则().(A)cosα>0(B)cosα<0(C)cosα=0(D)cosα的符号不确定4.设a>0,a≠1.若y=ax的反函数的图像经过点22,-14,则a=().(A)16(B)4(C)2(D)25.已知a≠0.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像关于原点对称的充要条件是().(A)b=0(B)c=0(C)d=0(D)b=d=06.若△ABC的三边长依次为a=sin43,b=cos34…     

方程a^x=x^a的根及a^x与x^a的大小关系

现行教材在介绍了函数的单调性后,习题中有如“证明:当x>4时,2x>x2”的问题.本文在此基础上进行推广,在讨论函数y=x(a/x)(x>0,a>0且a≠1)性质的基础上,讨论方程ax=xa的根的情况,进一步比较ax与xa的大小关系.1函数y=x(ax)(x>0,a>0且a≠1)的性质     

函数y=ax+b/x的图象

<正>本文研究y=ax+b/x的图象(a≠0,b≠0).根据a,b的取值,可分以下几种情况讨论:1.当a>0,b>0时,函数为奇函数,图象关于原点对称.定义域为{x|x≠0},只需画出x>0时的图象,便可利用对称性画出x<0时的图象.     

函数y=ax＋b／x（a〉0，b〉0）的单调性及应用

函数是现行高中数学重要的知识内容,考查函数有关知识的题型较多,分式函数是近几年新崛起的一种题型郾由于与分式函数y=ax+b/x(a>0,b>0)模型有关的问题,题型新颖、题源丰富、综合性强、解法灵活多样,所以分式函数模型y=ax+b/x(a>0,b>0)是近几年高考命题的热点之一.一、函数的图象y=ax+bx(a>0,b>0)的图象实际上是以y轴及直线y=ax为渐进线,顶点在(-ba姨,-2姨a b),(ba姨,2姨ab)处的双曲线郾二、函数的性质1郾y=ax+bx(a>0,b>0)是奇函数郾2郾y=ax+bx(a>0,b>0)在(-∞,-ab姨],[ba姨,+∞)上单调递增;在[-ba姨,0),(0,ba姨]上单调递减.当x>0时,函数在x…     

用“几何画板”进行y=ax＋b／x（ab≠0）的教学

研究由最基本的初等函数正比例函数y=ax与反比例函数y=b/x迭加而生成的函数y=ax b/x(ah≠0)的图象、性质及其应用,无疑是课本知识的自然延伸.又由于此种函数在各级各类模拟测试中频繁出现,因此,已受到普遍关注.     

2020年上海春考反函数压轴题引发的思考

反函数是上海高中教材中比较重要的一个知识点,也经常出现在上海高考的压轴题位置.本文对2020年上海春考数学试题第12题进行展开,分析y=f(x)与其反函数y=f^-1(x)的图象交点个数与交点位置问题,并在此基础上讨论高中阶段比较重要的两类函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与其反函数对数函数y=log ax的图象交点问题.     

轻松突破求函数的值域

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.函数值域依解析式的特点分(1)常见函数值域;(2)简单的复合函数的值域;(3)由常见函数作某些"运算"而得函数的值域.一、直接法利用常见函数的值域来求(1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R,值域为R(2)反比例函数y=k/x(k≠0)的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};(3)二次函f(x)=ax~2+bx+c(a≠0)的定义域为R,当a>0时,值域为{y|y≥4ac-b~2/4a};     

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )的图象及性质在初中代数教材中占有重要地位 ,这部分知识与前后内容联系紧密 ,灵活性、综合性较强。下面着重介绍二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )之间的关系。一、一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的根的情况决定着抛物线 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与x轴交点的情况。下面是二次函数 y=ax2 bx c(a>0 )的图象 ,观察图象 ,回答 :x取何值时 ,y=0。　 (甲 )　　 (乙 )　　 (丙 )由 (甲 )图可以看出 ,抛物线y=ax2 bx c与 x轴交于两点(- 1,0 )与 (3,0 ) ,也就是说 ,有…     

浅谈用一次分式函数值域与定义域之间的内在联系解题

一次分式函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)(a≠0,ad-bc≠0)值域的通常求法是逆求法:即先改写成x=f~1(y),由x∈A(A为函数f(x)的定义域),得f~1(y)∈A,解出y的取值范围,即可得到函数f(x)的值域.使用这种传统求法,思路比较清晰,易于操作,但是在求解过程中看不出结果与定义域之间的内在联系.下面我们就来研究一下函数f(x)=     

函数y=ax+b/x(ab≠0)的性质与应用

性质1.它的图象是双曲线,关于原点对称,渐近线为直线y=ax和x=0(y轴)。性质2.函数的极值情况如下表: y=ax+b/x,(ab≠0)     

函数及其图象考点分析及复习研究(续)

(接上期)考点7二次函数的概念、图象及其性质[知识要点]1.函数y=(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数.当a≠0,b=c=0时,则y=;当a≠0,b=0,c≠0时,则y=;当仅有c=0时,则y=.这些函数都叫做.把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a()2+,由此可知对称轴是,顶点坐标是(,).2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条;当a>0时,开口向,当x=时,函数有值;当a<0时,开口向,当x=时,函数有值.3.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a确定图象的,c确定图象与y轴的交点坐标是,Δ=b2-4ac确定图象与轴是否相交,当Δ>0时,抛物线与x轴有两个不同交点,当Δ=0时,抛物线与x轴只…     

浅谈函数性质的应用

一、初等函数的概念一次函数y=ax+b(a≠0),二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),指数函数y=a~x(a>0且a≠1),对数函数y=log_ax(a>0且a≠1),幂函数y=x~a,其中a为任意实数,三角函数     

二次项系数a≠0的错用

<正>一元二次方程和二次函数的一般形式ax2+bx+c=0和y=ax2+bx+c中,要求我们特别注意的是二次项系数a≠0.但不少同学在解决相关的问题时,常常会出现错用"a≠0"的情况,举例如下:例1函数y=(m-1)x2-3x+6的图象形状是.错解抛物线.     

二次函数的研究

内容概述二次函数的解析式由条件确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,一般有如下三种特定形式:1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式y=a(x-m)2+h(a≠0)3.分解式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二次函数的最值对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若自变量x为任意实数,其最值情况为:当a>0,x=-b/2a,fmin=4ac-b2/4a;当a<0,x=-b/2a,fmax=4ac-b2/4a.若自变量x在范围x1≤x≤x2上取值时,其最值情况为:对a>0,有如下结论:     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

根的定义用处大(初三)

大家知道,如果x1,x2(x1≠x2)是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根,则有ax12 bx1 C=0,ax22 bx2 c=0. 反之,若ax12 bx1十c=0,ax22 bx2 c=0,x1≠x2,则x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根.     

韦达定理的两个推论

如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1 x2=-ba;x1x2=ca.这就是著名的韦达定理.根据韦达定理,可得出以下两个推论.推论1设x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则x1-x2=Δ姨a,其中Δ=b2-4ac.利用韦达定理很容易证明推论1.推论2如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根之比为k,则kb2=(1 k)2ac.证明:设x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个实数根,则x1x2=k,x1 x2=-ba,x1x2=ca .消去方程组中的x1和x2,得kb2=(1 k)2ac. 下面谈谈以上两个推论的应用.例1已知开口向下的抛物线y=ax2 bx c与x轴交于M、N两点(…     

采用顶点式确定二次函数解析式

二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )的顶点式y =a(x b2a) 2 -Δ4a(Δ=b2 -4ac)较为优越,因为顶点式能够体现出二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )图象的特征:( 1 )开口方向(由a确定:a >0 ,开口向上;a<0 ,开口向下) ;( 2 )对称轴方程(x b2a=0 ) ;( 3 )顶点位置,即最高点或最低点的位置(点的横坐标x =-b2a,点的纵坐标y =-Δ4a) .由顶点式也能确定出二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )的最值(当a >0时有最小值y =-Δ4a;当a <0时有最大值y =-Δ4a) .如果已知二次函数的对称轴,或顶点位置,或最值,采用顶点式y =a(x h) 2 k确定二次函数的解析式较简捷.( 1 )…