利用转移法求点到面的距离

点到平面的距离是空间最常见的问题,求解的关键是正确作出图形,确定垂足位置最重要,但在有些条件下,不能直接由点作出垂线,求出垂线长.而必须改变引垂线的位置.本文列举四例,运用点的转移作该面的垂线,求点到面的距离.     

在立几教学中应突出垂线的构建过程

和一平面垂直的直线简称为垂线.在立几教学中应突出加强垂线的教学有以下三个方面的原因:1、直线与平面的各种位置关系是立几的基础,而线面垂直又是各种位置关系的核心(见下表).同时平面的垂线又与角、距离以及体积的计算等有着非常密切的关系.因此,垂线的教学自然成为教学的重点.     

三垂线定理在解题中的应用

众所周知,三垂线定理是证明两条直线垂直的重要依据。利用三垂线定理证明两条直线垂直,首先要选定一个平面,通常称为基准平面,然后确定该平面的垂线、斜线及斜线的射影,其中关键是要找到平面的垂线,不能想当然,见垂直就确定为垂线。当欲证垂直的两直线是异面直线时常用三垂线定理,将其中一条作为某平面内的一直线,另一条作为该平面的斜线,从而想到去寻找该平面的垂线及斜线的射影;     

应用垂面求线面角

求斜线与平面所成的角,关键是过斜线上一点作平面的垂线.而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的.这样我们作线面角时,可先找证或作一个平面垂直于已知平面,然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线,再把垂足和斜足连结起来,线面角就作出来了.下面举例说明.     

三垂线定理

教学目标知识目标:掌握三垂线定理及逆定理推导及运用. 能力目标:通过探索三垂线定理及其证明,培养学生观察问题,发现问题的能力和空间想象能力,培养学生空间计算能力和逻辑思维能力. 情感目标:激发学生学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知的精神;渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过图形的立体美、对称美,培养学生的审美意识. 教学重点三垂线定理及其逆定理教学难点竖直或倾斜放置的平面上运用三垂线定理及逆定理.     

一道习题与两个定理

高中《立体几何》(必修)以下简称课本)P.31第11题: 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线.如果斜线和这个角两边的夹角相等,那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线. 这是一道安排在三垂线定理后的题目.笔者不用三垂线定理,对这个题目作出证明.然后将这个命题演变,得出三垂线定理的逆定理,再利用三垂线定理的逆定理,对直线和平面垂直的判定定理作一个简捷的证明.     

平面垂线在立体几何解题中的作用

在立体几何的解题中,处理好平面垂线往往能起到关键性的作用。运用平面垂线解决的问题大致有如下类型: (1)已知条件中出现“平面与平面互相垂直(或直二面角)”的有关计算或证明问题,或求证两个平面互相垂直; (2)解决有关射影的计算与证明,平面外的一点到平面内一条直线的距离,直线与直线、直线与平面,平面与平面的交角。     

跨越立体几何的横栏

症状一:将空间问题转化为平面问题困难表现不能有效地将空间问题向平面问题转化.症结事实上,任何空间问题最终都要转化为平面问题才能解决,而在这个转化过程中,三垂线定理及其逆定理的运用就是解决问题的关键.     

点面距离计算的一种转化策略

在计算点而之问距离时，有两种常用方法，一是过点作平面的垂线，点与垂足的连线长即为点面距；二是通过等积转换，几何体的高即为点面距，但在用第一种方法计算时，垂足位置较难确定，常需借助比例转化为更易计算的点面距。     

应用“垂面、三垂线定理”求“二面角”(高二)

三垂线定理及其逆定理是立体几何中最重要的知识点．三垂线定理及其逆定理,概括起来,可叙述为:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线或此斜线的射影,若垂直其中之一,则必垂直于另一．欲运用上述定理解题,关键注意以下几点:     

如何确定由平面外点所作平面垂线的垂足的位置?

立体几体中 ,在求点到平面距离以及线面角、面面角时 ,往往要由平面外一点向平面作垂线 ,如何确定垂足的位置 ,常使同学们感到困难 .找不到垂足 ,解题过程便无法继续 .那么 ,怎样才能解决好这一问题呢 ?课本中有两个平面垂直的性质定理 :“如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”.因此已知点 P 面α,由 P向α作垂线 ,垂足位置不明显时 ,可观察图中有无过 P且与α垂直的平面β.若有 ,由性质定理 ,只要过 P作α、β交线的垂线 ,即得由 P向α所作垂线的垂足 ;若没有 ,先想法作出这样的辅助面β,再进…     

听茅于渊老师讲三垂线定理

三垂线定理是“空间直线与平面”一节中的重点和难点。笔者听了茅于渊老师的讲课,他用两课时讲授了三垂线定理、逆定理及其应用。他的讲授层次清楚,步步深入,注意新旧联系,重视培养思维能力,使人听后受益颇多。一、注意知识迁移,自然导入新课。在介绍三垂线定理之前,先围绕直线与平面的位置关系,提出几个问题。 1、直线和平面的位置关系有几种? 2、直线和平面相交有几种不同情况? 3、平面的垂线和斜线在平面内的射影是什么? 在此基础上教者指出,平面的垂线必垂直于这平面内的一切直线,而斜线不能与这     

三垂线定理的教学设计

教学目的:掌握三垂线定理,从复习旧知到渗透新知识,使学生处新而不惊,于不知不觉中理解和掌握三垂线定理及其证明。 模式:观察实践——发现——证明——应用。采用师生共同问答式教学（下文中T代表教师,S代表学生） T:我们已学过平面的垂线、平面的斜线及斜线在平面内射影等知识,再来回忆一下: 什么叫平面的垂线?（先画一平面,再提问） S:与平面内所有直线垂直的直线叫平面的垂线。     

立体几何中点面距离的求法

求点面距离是立体几何的重点内容,也是高考的热点,尤其在近几年高考中非常活跃.为此对常见的点面距离的求法进行归类总结,供读者参考.常见的点面距离的求法如下框图:点面距离直接构造法垂面法三垂线定理法转移法等积法1　构造法根据题中所给条件,作出点到面的垂线,但由于需要计算,所以,关键要确定点在平面上射影的位置.常有以下几种方法.11　垂面法过点先作一平面垂直已知平面,再在该平面上过点作交线的垂线,利用垂线构造三角形求出距离.体现了把空间问题转化到平面上解决的转化思想.图1例1　棱长均为ａ的正三棱柱ＡＢＣ—Ａ1Ｂ1Ｃ1中,Ｅ是…     

例谈运用三垂线定理作二面角的平面角

求二面角的大小是立体几何中一个非常重要的问题,运用三垂线定理是作二面角平面角的一种重要方法,而作面的垂线往往又是运用三垂线定理的关键,所以本文将举例分析如何运用三垂线定理作出二面角的平面角,供参考.     

三垂线定理的应用

三垂线定理涉及到的五个元素是“一面四线”(一面:基础平面;四线:斜线、垂线、射影、面内直线.),应全面灵活地使用定理的这五个元素.     

三垂线定理的教学片断及其反思

1教学过程片断一:如图1,AB是平面α的垂线,AC是平面α的斜线,BC为斜线AC在平面α内的射影.教师:AB可以垂直平面α内的任意一条直线,斜线AC可以垂直平面α内的任意—条直线吗?AC能垂直平面α内的哪些直线呢?图1教师要求同桌两位同学协作,以桌面为平面α,三支笔分别代表垂线AB,斜     

应用垂直求线面角

求斜线与平面所成的角,关键是过斜线上一点作平面的垂线．而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的．这样我们作线面角时,可先找证或作一个平面垂直于已知平面,然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线,再把垂足和斜足连结起来,线面角就作出来了．下面举例说明．     

三垂线定理的联想及其它

下面是立体几何中一个重要定理——三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.如果把三垂线定理的条件一般化,我们可以得到如下命题:如图,AB 和平面α所成的角为θ_1,AC 在平面α内,AC 和     

求二面角5法

求二面角的关键是：根据不同问题设计的几何背景,选取合适的方法找出二面角的平面角． 1．三垂线法 此方法的关键是：能否过二面角一个半平面上一点找到垂直于另一个半平面的垂线．一般而言,当二面角的某一个半平面的位置比较特殊（如棱锥或棱柱的底面、侧面、垂直于底面的截面等）时,容易找到符合要求的垂线,