一个推广不等式的加强

命题1 设a,b,c>0,则 2/(b+c)+2/(c+a)+2/(a+b)≥9/(a+b+c)。本刊1988年第6期P.8,曹健同志给出命题1的一个推广如下: 命题2 设a_1>0(i=1,2,…,n),m∈N,S=a_1+a_2+…+a_n,则 n-1/(S-a_1)~m+n-1/(S-a_2)~m+…+n-1/(S-a_n)~m≥n~2/S~m ①笔者发现命题2并不比它的特例(命题3)强。     

图K+sm+1(m,m+1)的色唯一性

设G是一个图,用P(G,λ)表示图G的色多项式,称图G与H是色等价的,如果P(G,λ)=P(H,λ),记为H～G.本文证明了m≥s+2且s≥1,S是Kms+1的某s条边组成的集合且S在Km+1中的导出子图〈S)是二部图,则[K+sm+1(m,m+1)]={N=V G| G∈[--Km+1-s]}色唯一当且仅当〈S〉是2-连通且是色唯一的     

一道高考题引发的思考

正题已知m、n为正整数.(1)用数学归纳法证明:当x-1时,(1+x)n≥1+nx(笔者注:当且仅当x=0或n=1时取"="号);(2)对于n≥6,已知(1-1/(n+3))n1/2,求证:(1-m/(n+3))n(1/2)m(m≤n);(3)求出满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.(2007年高考湖北卷理科压轴题)     

C(S~m,r)数的应用

徐利治、蒋茂森、朱自强在文献[1]中提出C(S~(m),)数,其枚举发生函数是(P.30～31)（1+t+t~2+…t~3）~(m)=sum from r=0 to ∞t~r[sum from h=0 to[r/s+1](-1)~k(_k~m)(m-1+r-k(S+1)/r-k(S+1))],其数C(S~m,r)=sum from h=0 to[r/s+1](-1)~k(_k~m)(m-1+r-k(S+1)/r-k(S+1))本文计论了C(S~m,r)数在“邮票排列问题”中的应用(文献[1],P32～33),得到下列公式B(S,n)=sum from (?) C((S-1)~(m-r),r)。本文讨论了C(S~m,r)数在概率论中的应用（文献[2],P12～13)。得到下列公式P(A)=C(S-1)~(m),λ-n)/s~(m)。     

非哈密尔顿图的一个充要条件

设G是一个n阶2连通图,C_(max)表示G的一个最大圈,P∩C_(max)={u_0,V_0,…},u_0,V_0分C_(max)为两部分,P_1:u_0~+…V_0~-,P_2:V_0~+…U_0~-,记P_0=min{|P_1|,|P_2|},則G不是哈密尔顿的当且仅当存在PC_(max),这里,1<|P|≤|P_0|.     

利用均值不等式巧解抛物线有关对称问题

抛物线上有关存在相异两点关于某直线(或某点)对称求参数范围的问题,一般都是利用构造判别式大于0(Δ>0)或利用对称中点M(x0,y0)位于抛物线焦点所在范围内构造y20与2p x0不等式进行求解.本文给出利用均值不等式解决此类型问题的一种新方法,其特点是思路明快,解法简捷.例已知抛物线C:y2=4x与直线l:y=2x+m,若C上总存在相异两点P、Q关于直线l对称,求m的取值范围.解设P(t2,2t),Q(s2,2s)(t≠s),则kpq·kl=-1且PQ的中点M∈l,所以2s-2ts2-t2·2=-1,2t+2s2=2·t2+2s2+m.即s+t=-4,s2+t2=-m-4.所以s2+t2=-m-4,2st=20+m.因为s2+t2>2st(s≠t),所以-m…     

一类特殊分式(无理)方程的简捷解法

本文在实数范围内给出形如tf(x)+s/(f(x))=t+s和f(x)+1/(f(x))=a+1/a的一类特殊分式(无理)方程的简捷解法。为此,先介绍如下两个同解方程的命题。命题1 求证方程tf(x)+s/(f(x))=t+8 (其中t、s≠0) 方程f(x)=1或f(x)=s/t.     

别证与体悟

问题 (江苏省盐城市2008年2月调研卷试题)设函数 f(x)=-x~3-2mx~2-m~2x+1-m(其中 m>-2)的图象在 x=2处的切线与直线 y=-5x+12平行.(Ⅰ)求 m 的值;(Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最小值;(Ⅲ)若 a≥0,b≥0,c≥0,且 a+b+c=1,试根据上述(Ⅰ)、(Ⅱ)的结论证明a/(1+a~2)+b/(1+b~2)+c/(1+c~2)≤9/(10).(*)其中不等式(*)的证明,耐人寻味,催人下笔.谨     

几何级数中因子2的方次数之探讨

当n=2r+1 -1时,几何级数可以表示为:∑ni=0xi=∏rj=0(1+x2j).断定,当n=2r+1 -1时,若{x+1}2 =m,那么对于s(x) =∑ni=0xi就有{s(x)2 } =m+r成立,此处r是非负整数,x≠±1;当n=2r+1h-1时,若{x+1}2 =m,那么对于s(x) =∑nxi就有{s(x) } =m+r成立,此处r是非负整数,h,x为奇数,且h>0.     

((k-1)P+kQ)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)与Q~(2m)((Q-1)P+1)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)可除定理

本文给出((k-1)P+kQ)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)与Q~(2m)((Q-1)P+1)~(2n+m)+Q~(2m)P~(2n-m)可整除性定理。     

两类联图的边色数

两个不交图G与H的联G+H是指顶点集为V(G)∪V(H),边集为E(G)∪E(H)∪{xy|x∈V(G),y∈V(H)}的图.证明了当n=m+1时,联图Om+Cn是第二类图,否则,Om+Cn是第一类图;当|n-m|=1时,联图Cm+Cn是第二类图,否则,Cm+Cn是第一类图.     

关于指数调和映射的不稳定性

设M^m∪→R^m＋1为紧致凸超曲面，m个主曲率0〈λ1≤λ2≤…≤λm满足：λm〈λ1＋λ2＋…＋λm-1，证明如果：Ф：M→N为稳定的指数调和映射，且｜dФ｜^2〈1/2λm^2mini{λi（m∑j=1λj-2λi）}，则Ф为常值映射。     

非局部波动方程组解的全局存在性与爆破问题

本文主要处理非局部波动方程组解的全局存在与爆破问题,考虑如下非局部波动方程组的初值问题：{δ^2u1/δt^2=δ^2u1/δx^2＋‖u2（·,t）‖p1,δ^2u2/δt^2＋‖u3（·,t）‖p2,δ^2u3/δt^2=δ^2u3/δx^2＋‖u1（·,t）‖p3,-∞〈x〈∞,t〉0 ui（x,0）=fi（x）,δui/δt（x,0）=gi（x）,i=1,2,3,-∞〈x〈∞ 这里0〈p1,p2,p3〈＋∞,‖ui（·,t）‖=∫-∞^＋∞ φi（x）｜u（x,t）｜dx,i=1,2,3,其中φi（x）≥∫-∞^＋∞ φi（x）dx=1,i=1,2,3。所有这些初值函数都为连续的且｜fi（x）｜＋｜gi（x）｜恒不等于0,i=1,2,3.根据对称性,本文假定p1≤p2≤p3.     

有关次幂原数函数的若干性质

对于任意给定的正整数n,p次幂原数函数Sp（n）表示使pn｜m!的最小正整数m,即Sp（n）=min{mpn｜m!）,其中p为素数。对给定的正整数k,用初等方法研究了函数Sp（nk）与Sp（n）之间的关系,以及Sp（n）的值与项数n的对应关系,得到了Spk（n）=pk-1（Sp（nk）＋p{sp（nk）/p2}）,n=qpk-1/p-1-k＋[q/p]＋[q/p2]＋….     

Jensen公式推广及证明

Jensen公式∫0^2π ln ｜1-e^iθ｜dθ=0是解析函数重要理论之一．文中证明当f（z）≤r上解析且f（0）≠0,其零点全体为{zk}i≤k≤n时,有变形Jensen公式为1/2π ∫0^2π ln ｜f（re^iθ）｜dθ=ln｜f（0）｜＋∑k=1^n ln（r/｜zk｜）.     

双warped积流形之间2-调和的积映射

讨论了积映射Φ2=φ×ψ和2个广义的投影φ和ψ的2-调和性,得到了几个主要结论：Φ2=φ×ψ是恰当2-调和映射的充分必要条件是函数b,f分别为方程-1/f2 Jφ（dφ（grad（lnb）））＋n/2grad dφ（grad（lnb））2=0,-1/b2Jψ（dψ（grad（lnf）））＋m/2grad dψ（lnf）=0的非常值解;Φ2=φ×ψ是恰当2-调和映射的充分必要条件是φ和ψ都是恰当2-调和映射.     

一维p—laplacian方程组的正解存在性

考虑一维p—laplacian非线性边值问题：（φ（x’））＇＋f（t,x,y）=0,（φp（x）’）’＋g（t,x,y,）=0,其中φp（s）=｜s｜^p-2s,p〉1．通过应用krasnoselskii锥不动点定理,建立了该问题存在多个正解的充分条件,推广并丰富了以往文献的一些结论．     

一类带有p—Laplace算子的方程解的有界性

研究方程（Фp（x＇））＇＋λ2Фp（x）＋f（x）=e（t）的拉格朗目稳定性,其中Фp（s）=｜s｜p-2s,p≥2为常数;当x→∞时,扰动项f（x）=o（x）;e（t）为2πp周期函数,且πp=2π（p-1）1/p/psinπ/p.     

一类三次多项式Hamilton系统的极限环分支

主要研究了如下近似Hamilton系统{x=y y=-x3＋εQ（x,y）的极限环情况,其中Q（x,y）=∑lj=0 ajxj｜y｜2m.通过分析其一阶Melnikov函数,证明了当l=2n-2或2n-1时其存在n个极限环.     

关于不定方程51x~4-103x~2y~2+51y~4=-1的整数解

利用Pell方程及同余的性质证明了不定方程51x4-103x2y2+51y4=-1仅有整数解(|x|,|y|)=(1,1).