对称性在计算线面积分中的应用

众所周知,对称性不论在定积分还是在重积分的计算中都起到了简化运算的作用.曲线积分和曲面积分作为定积分和二重积分的推广同样可以利用对称性来简化其计算.定理1:设曲线 l 是关于 y 轴对称的光滑曲线,l 的方程为:y=y(x).(-a≤x≤a)函数,f(x,y)在 l 上有定义且连续,那么,当,f(x,y)为 x 的奇函数时,f(x,y)ds=0当f(x,y)为 x 的偶函数时,     

二元函数方向导数的几何意义

为探索二元甬数z=f(x,y)方向导数的几何特征,使用代数分析和矢量分析的方法研究函数z=f(x,y)的方向导数.对于由方程z=f(x,y)给出的曲面S上的曲线C:z=f(x,y)且y=y0+tanα·(x-x0),设L是过曲面S上(x0,y0,f(x0,y0))点曲线C的切线,θ是有向直线L与矢量→/AB的夹角.那么二元函数z=f(x,y)在(x0,Y0,f(x0,y0))点沿方向AB的方向导数就是tanθ.     

平面曲线积分可用解析函数的积分表出的条件

在复变函数中,根据柯西—古萨定理,若f(Z)=u(x,y)+iv(x,y)解析,则积分∫_гf(z)dz=∫_гudx-vdy+i∫_гvdx+udy(1)与路径无关(本文中函数的解析性和曲线积分的路径无关性,都是对一定区域而言的,以下不再重复声明),从而,曲线积分∫_гudx-vdy=Re∫_гf(z)dz(2)∫_гvdx+udy=Im∫_гf(z)dz(3)都与路径无关。与路径无关的曲线积分和解析函数的积分是否有一定的内在联系呢?(2)和(3)式表明至少有一些与路径无关的曲线积分,可以用解析函数的积分表出。本文讨论了曲线积分     

解惑举例

<正> 当学员按自己的认识和推理与课本及教师的讲述不一致或得不到满足时,就会产生疑惑。现举例说明如何解惑。一、全微分的几何解释,可微函数z=f(x,y)的全微分dzf_x~(?)dx+f_y~(?)dy是两个偏微分之和,几何解释应是两线段之和,偏微分f_x~(?)dx是在y=y_0平面上,曲线z=f(x,y),y=y_0的切线纵坐标z的增量d_1,f_y~(?)dy是在x=x_0平面上,曲线z=f(x,y),x=x_0的切线纵坐标z的增量d_2,d_z如是两切线决定的平面,即z=f(x,y)在点的切平面,竖坐际Z的增量d_0在图上易证d=d_1+d_2。二、曲线积分的几何解释。微积分的每一定义都有几何解释,但课本上没有曲线积分的几何解释。引起学员的     

求封闭平面图形面积的相减法

一、将平面图形分割成若干个曲边梯形 （1）在区间[a,b]内,当f（x）≥0（或f（x）〈0）时,定积分∫a^bf（x）dx的几何意义是由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积（或面积的相反数）即S=∫a^bf（x）出（如图1）或S=-∫a^bf（x）dx（如图2）．     

关于全微分方程的一个注记

给出全微分方程M(z,y)dx N(x,y)dy=O中 M(x,y)、N(x.y)的一个性质,由此给出了一个只用积分f∫M(x,y)dx和∫N(x,y)dy计算原函数u(x.y)的简便方法。     

关于第二型曲面积分的符号问题

当曲面S用参数方程x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)表示时,化第二型曲面积分为二重积分的计算公式原来为(?)s(x,y,z)dxdy=±(?)f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]c dudv,本文将它改进为(?)s(x,y,z)dxdy=±(?)f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]|c|dudv.使得积分号前的正负号的选择在某些情况下(例如对常见的教材和吉米多维奇著的数学分析习题集里的例题和习题)由难交易。     

高等数学综合练习

1　填空题(1 )向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ,使。(2 )两个向量a ,b相互垂直的充分必要条件是。(3)假设平面 3x - y - 1 =0与平面 2x +ay -z - 2 =0垂直 ,则a =。(4 )点 (- 1 ,- 2 ,- 1 )到平面x +2 y +2z - 5 =0的距离d =。(5 )直线x =3y =5 +tz =1平行于坐标轴。(6 )函数 y =1ln(1 -x - y) 的定义域为。(7)曲线x =acost,y=asint,z =bt在t=π2 处的切线方程为。(8)设z=xy,则 z x=。(9)设z=ex2 +y,则 2 z x2 =。(1 0 )累次积分∫10 dx∫xx f(x ,y)dy交换积分次序后 ,得到积分。(1 1 )圆域D :x2 +y2 ≤ 2上的二重积分…     

计算机数学基础(A)综合练习

1　选择题( 1)设z =2xy3 ,则2y=(　　)。　A 2 z y2 　　　　　　　B 2 z x2　C 2 z x y　　D 2 z y x( 2 )设z =2xy3 ,则z y x =2y =2 =(　　)。　A 8　B 32　C 2 4　D 4 8( 3)函数z=ln( 4 -x2 - y2 )x2 +y2 - 1的定义域为(　　)。　A x2 +y2 <4　B x2 +y2 >1　C 1相似文献   

一类积分恒等式的推广及应用

文章利用两个基本的定积分恒等式∫ba f(x)dx=∫ba f(a+b-x)dx和∫ba f(x)dx=∫(a+b)/2a[f(x)+f(a+b-x)]dx=∫b(a+b)/2[f(x)+f(a+b-x)]dx,变形后得到其对应的两个重要推论。利用上述几个积分恒等式,从中心对称和轴对称的角度将其推广,用以解决一系列二重积分和三重积分的问题,并由此给出利用"中心对称、轴对称"简化积分计算的一般方法。稍作修改后,该方法也可用来解决关于曲线积分、曲面积分的一系列问题,对于具有对称区域的各种积分问题也都具有一定的适用性。     

关于三重积分的计算

计算三重积分,在直角坐标系下,首先将空间区域Ω向某个坐标平面作投影。如果向xoy面作投影,则设其投影区域为Dq。然后在平面区域Dq内任取一点(x,y),过点(x,y)作Z轴平行线,设交区域Ω的边界曲面S于点(x,y,z_1(x,y))与点(x,y,z_2(x,y)),(设z_1(x,y)相似文献   

空间曲线积分与路线无关的六个等价公式

<正> 求形如P(x y·z)dx+Q(x·y·z)dy+R(x·y·z)dz的原函数及形如∫x.y.z/(xo,yo,zo)P(x,y.z)dx+Q(x,y.z)dy+R(x.y.z)dz的原函数或积分值,其关键步骤是验证以下三个等式:当以上三个等式同时成立时,则存在三元函数u(x.y.z),使得的du(x.y.z)=p(x.y.z)dx+Q(x.y.z)dy十R(x.y.z)dz;并且空间曲线积分与路线无关.正因如此,于是可沿一些特殊路线去求原函数或积分值.设所求的原函数为u(x.y.z),则求u(x.y.z)的方法,由以下六个等价公式:积分路线按先平行于x轴,次平行于y轴,后平行于z轴得公式∫     

定积分在解决与面积有关问题中的策略探析

由于定积分∫a^bf（x）dx表示的是以曲线f（x）为曲边的曲边梯形的面积,因此,利用定积分的几何意义和微积分基本定理可以解决许多与面积有关的问题。下面我们举例说明：     

应用分部积分法计算二重积分

考虑二重积分 Df(x ,y)dxdy的计算问题 ,一般的算法是把二重积分 Df(x ,y)dxdy化成累次积分∫badx∫y2 (x)y1(x) f(x ,y)dy(或∫dcdy∫x2 (y)x1(y) f(x ,y)dx)。在一定条件下 ,给出了用分部积分法计算二重积分     

随机变量的函数的数学期望

由“曲线分布密度”的公式φq(y)=∑kφξ(xk)|g‘k(y)|和“曲面分布密度”的公式φξ(z)=∫czφ(g(y,z),y)|g‘z(y,z)|dy，对有函数关系的随机变量η=f（ξ）及ξ=f(ξ，η)的数学期望公式E（η）=∫φ(x)f(x)dx和E（ξ）=∫∫f(x,y)φ(x,y)dxdy给出证明，并给出了若干应用。     

对称区域上积分的性质

众所周知．若函数f（x）在闭区问卜ala）上连续，则有定积分的这～性质常常使积分简化，这在Fouler级数中求Fourier系数时已有体现，现将这一性质推广到多元函数的积分中去。为了叙述上的简便，不妨将重积分和第一型线、面积分统一记为l’（M川Q，、、—、————，，·，——－“QMEQ．若Q是平面区域D，则表示二重积分；若Q是三维空间区域V，则表示三重积分；若Q是曲线L，则表示第一型曲线积分；若Q是曲面2，则表示第一型曲面积分，于是有定理设积分＼f（M）dQ满足“Q（）Q可分为对称的两部分Q；和Q。，点MEQ；的对称点M，EQ。…     

抛物拱形面积的简捷算法

在教材《微积分》的“定积分在几何上的应用”一节内容中,讨论直角坐标系下平面图形的面积时指出:设y_1=f(x),y_2=g(x)为闭区间[a,b]上的连续函数,且f(x)>g(x)。要计算由曲线y_1=f(x),y_2=g(x)及直线x=a,x=b所围成的平面图形的面积S(见图1),则为     

分部积分法在重积分中的应用

本文通过对重积分计算的分析,认为可以不用交换积分的次序来计算,从而得到用分部积分法计算重积分的结论:∫Df(x,y)dxdy=x[x∫y2(x)y1(x)F(x,y)dy]ba-∫bax,[F(x,y2(x))y'2(x)-F(x,y'1(x))Y'1(x)]dx同时将结论予以推广,并通过具体例题说明其应用.     

利用函数单调性解不等式问题

我们有 命题 设f(z,x,y)是关于z,x,y的函数,设D是平面上一个点集。如果对任意固定的(x,y)∈D,f(z,x,y)是关于z的单调函数(例如一次函数)且 当a0;f(b,x,y)>0(*),则对a≤z≤b,(x,y)∈D有f(z,x,y)>0。     

多元函数微分学解题错误分析举例

在多元函数微分学的学习中,有关确定函数定义域,求复合函数及隐函数的偏导数,以及求极值等内容都是比较重要的计算问题,下面仅就这几方面容易出现的错误进行分析,供参考。一、求函数的定义域二元函数z=f(x,y)的图象为空间一曲面,其定义域即为空间曲面在xy面上的投影区域,判断z=f(x,y)的定义域,就是要找出使z=f(x,y)有意义的全体点(x,y)的集合。