一类函数方程的求解——从一道奥林匹克竞赛题谈起

第28届奥林匹克数学竞赛第二有这样一道题: 求证;不存在这样一个函数试fN_0→N_0,N_0={0,1,2,3,…n,…},使得对于任何n∈N_0,有f(f(n))=n 1798, 证明,假设存在这样的函数f,记n_1=f(i),则A_1={i,n_1,i 1987,n 1987,i 1987×2,n_1 1987×2,…),显然,且n_1∈A_1(i=0,1,2,…,1986)。于是,对每一个固定的i(i∈N_0,i≤1986),存在一个k(k∈N_0,k≤1986,k≠i),使得n_i∈A_k。 若n_i=n_k 1687×m(m∈N_0),则f(u_k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(n_i 1987×m)k 1987×(m 1)矛盾。 若上_n_i=k 1987×m(m∈N_0,m≥2),则f(k 1987×m)=f(n_i)=i 1987,与f(k 1987×m)=n_k 1987×m矛盾。 故n_i=k或k 1987,若n_i=k,则n_k=f(k)=f(n_i)=i 1987,即n_k∈A_i;若n_i=k 1987,则i 1987=f(n_i)=f(k 1987)=n_k 1987,即n_k=i,从而n_k∈A,,因此,若n_i∈A_k,则必有n_k∈A_i。     

一类整除问题的算术解法

“某数用A_1除余B_1,用A_2除余B_2,……,用A_n余余B_n,求某数?”此类问题可用算术方法解决如下:作乘积ΠA_j(i=1、2、…,n),适当选择正整数N_i,使N_iΠA_j(i=1、2、…,n)用A_i除余B_i,(若无这样的N_i,则问题无解。)则∑∏A_i为所求。为求得适合条件的正整数,只要     

Ceva定理的推广

本文得到一般n边形的Ceva定理: 定理1.设A_1A_2…A_n为一个平面内的n边形,O为平面内一点,且O与A_1,A_2,…,A_n中任两点不共线,若A_iO交A_jA_(j+l)(i=1,2,…,n;j≠i,i-I)于B_(ji),则 multiply from i=1 to n[(A_iB_(i.i-k)/B_(i.i-k) A_(i+1))·(A_iB_(i.i+1+k)/B_(i.i+1+k)A_(i+1))]=1, 约定:1.若l∥AB,则认为l与线段AB(或BA)的延长线相交于无穷远点S,且AS=SB,2.若i=mn+p,j=qn+t,m,q∈Z,p,t=1,2,…,n,则B_(ij)=B_(p.t),A_i=A_p。(下同)     

一列有趣的相似三角形

在ABC中,设A_i、B_i、C_i(i=1,2,…, n-1)分别为边BC、CA、AB上n(n≥3,n∈N)的等分点. 记 BB_k ∩ CC_(n-k 1)=P_k,CC_k ∩AA_(n-k 1)=Q_k,AA_k ∩ BB_(n-k 1)=R_k.(n为奇数时,k取1、2,…(n-1)/2,n为偶数时,     

第五届数学奥林匹克国家集训队选拔试题解答

一、设朋友最多的人有k个朋友,显然,k≥m.若k>m,设A有k个朋友B_1,B_2,…,B_k.并记S={B_1,B_2,…,B_k}.设B_(i1),B_i2 B_i2,…,B_i_(m-1)是从S中任取的m-1个元素,则A,B_(i1), …,B_i_(m-1)这m个人有一个公共朋友,记为C_i.因C_i是A的朋友,故C_i∈S.若且{A,     

矩阵Hadamard积特征值的界

设A_i(i=1,2,…,m)是非负矩阵,给出了它们的Hadamard积谱半径的新上界,ρ(A_1°A_2°...A_m)≤max1≤i≤n{mΠk=1A_k(i,i)+mΠk=1[ρ(A_k^[P_k])-A_k(i,i)P_k][P_k])-A_k(i,i)P_k]^(1/P_k)},其中,P_k>0且m∑k=1(1/P_k)≥1,这个上界改进了相应结果。     

难题征解

问题 58.已知a_1=a,d是不为零的常数,当n∈N且n≥2时,{a_n}满足:a_n~2-a_(n-1)=d,求证通项a_n(注:不要用归纳、猜想证明) (新疆张明贤提供) 59.△ABC的∠A=60°,I为内心,ID∥AB、D在AC上,在BC上取P点,满足∠PDC=1/2∠C。求证BP=2PC。 (安徽黄仓福提供) 60.设集合A_i(i=1,2,…,2~n)是集合S=(1,2,…,n)的全集子集。定义S(A_i)表示集合A_i的所有元素之和。若有S(A_i)=m~2,m为某一整数,我们称A_i是“好”子集。试求出集     

限定条件下Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))的最小值

文[1]证明了下述结果:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=1,则Ⅱ_(n=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(n 1/n)~n (1)文[2]在末尾提出了如下猜想:设x_i∈R~ ,i=1,2,……,n,且Ⅱ_(i=1)~nx_i=k, k≤(2 5~(1/2))~(1/2),则Ⅱ_(i=1)~n(x_i 1/(x_i))≥(k/n n/k)~n (2)文[4]提出以下的改进:     

一个猜想的证明

贵刊文[1]在末尾提出了如下猜想:设ai∈R ,i=1,2,3,…,n,若∑n i=1 ai=k(常数),k≤(√2 √5),则     

关于圆外切多边形的一个定理

定理设边长依次为 a_1,a_2,…,a_k(k≥3)的 k 边形外切于圆,则证明:设 k 边形 A_1…A_k 切圆 O 于点 B_1,…,B_k,(A_iA_(i 1)切圆于 B_i,)且A_iA_(i 1)=a_i(A_(k 1)=A_k),A_iB_i=x_i(i=1,…,k),那么有a_i=x_i x_(i 1)(i=1,…,k,x_(k 1)=x_1),∑a_i=2∑x_i(以下略去求和限),以及     

一个最小值问题的论证

对于函数f(x)=。1}x一月,} 。2}x一月:} .二 a。}x一风},其中。‘>o(i=1,2,…,n),且任R(￡=1,2,…,n),且月1(月2(…(凡,问:当x为何值时f(x)有最小值?本文将证明如下结论:设“, a2 ‘” 气=‘,若“1)奋则当二二几时f(x)取得最小值,若。1 。2 … a:一1<合,而。1     

关于较宽一类数列的通项公式

数列的通项公式揭示了这个数列的内在规律。中学教材中,对等差数列、等比数列作了重点介绍,本文想在此基础上作一些推广。首先我们定义:multiply from i=k to n f(i)=1(k>n) 定理一:在数列{a_n}中已知a_1且满足 a_n=f(n)a_(n-1)+g(n) (n=2,3,4…)则a_n=a multiply from i=2 to n f(i)+sum from i=2 to n[g(i) multiply from i=i to n-1 f(i+1)] 证明:1°n=2,右边=f(2)a_1+g(2)=a_2 2°假定当n=k时命题成立即     

求条件和sum from i=1 to n(a_i/X_i)最小值的一个公式

命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2     

—个有趣的定值命题及其引伸

众所周知,在直角坐标平面内,若点M((?,?))为有限点集{A_1,A_2,…,A_n}的重心,A_i(i=1,2,…,n)的坐标为(x_i,y_i),则有 (?)=1/n sum from i=1 to n(x_i),(?)=1/n sum from i=1 to n(y_i) (*) 据此,我们可以推得一个有趣的命题: 命题1 以平面有限点集的重心为圆心、定长为半径作圆,则此圆上的任一点到该     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

一类分式不等式的巧妙证法

本文对型如sum from i=1 to n ((q_i)/(1-q_i))≥A(0相似文献   

一个代数不等式及其应用

设ai、bi∈R(i=1,2,…,n),则(n∑i=1a2i·n∑i=1b2i≥(n∑i=1aibi)2),等号当且仅当(a1/b1=a2/b2)=…=an/bn时成立,这就是著名的柯西不等式.若在此不等式中作如下代换:令ai=(√xi),bi=(√yi),即得如下定理:     

数学问题与解答——1996年第3期问题解答

391.设点A_i(i=1,2,…,n)是凸n边形的顶点。在这n边形内任意给定一点G,求证:可以给各顶点适当地配置质量M_i(i=1,2,…,n),使质点系M_i的重心恰是G。     

关于整值多项式的一个定理

88年14届全饿数学竞贵有一题:若当x=一1,O,1,2时,P(x)三ax“十脉2十‘x d取整数值,则对所有整数x,p(x)都取整数值. 当条件变为:“一1,0,1时,P(x)取整值”不成立,当变为“一1,O,1,5时”也不成立(如p(:)=李二,一李二).但我们有 55,,一--一, 定攫设f(x)=a。x” … a。为n次多项式,若存在整数k。.使f(k。),f(k。 i),…,厂(k。 ,)为整数,则厂(x)为整值多式项. 需要两个引理: 引理工当。=i,z,…,n时,e二十:一zpc乏 : 3,c尝,:一 (一1)叹n i),e:洁1=0. 引理2设了(x)=a。x“ … a。,则对任意整数k,f(k)一C盆十:f(k i) C飞 :f以 2)一 (一1)” ‘e:…     

“分油”问题

有容器A_p、A_m和A_n(下标表示容量,m>n,q≥m n),其中A_p装油m n斤,若只用这三个容器,能否将这些油平分?下面进行粗浅讨论。命题一若n m(m>n),m=m’d,n=n’b,(m’,n’)=1, 且 m r_(i-1)=k_in r_i 0≤r_i相似文献