一道美国赛题的探究及拓展

1 提出问题 题目如图1,BE、CF为锐角△ABC的两条高,以AB为直径的圆与直线CF交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE交于点P、Q.证明:M、P、N、Q四点共圆. 此题是一道非常经典的两圆模型几何赛题,曾经出现在第19届美国数学奥林匹克第5题[1].无独有偶,2019年全国高中数学联赛江西省预赛第9题[2]直接...     

第45届IMO试题解答

1 .已知△ABC为锐角三角形 ,AB≠AC ,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于点M、N ,记BC的中点为O ,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于点R .求证 :△BMR的外接圆和△CNR的外接圆有一个交点在边BC上 .图 1证明 :(根据彭闽昱的解答改写 )如图 1,首先 ,证明A、M、R、N四点共圆 .因为△ABC为锐角三角形 ,故点M、N分别在线段AB、AC内 .在射线AR上取一点R1,使A、M、R1、N四点共圆 .因为AR1平分∠BAC ,故R1M =R1N .由OM =ON ,R1M =R1N知点R1在∠MON的平分线上 .而AB≠AC ,则∠MON的平分线与∠BAC的平分线不重合、不平…     

2011印度国家队选拔考试摘选

1.在锐角△ABC中,已知AD为中线,BE为角平分线,CF为高线.若△DEF为等边三角形,证明：△ABC也是等边三角形. 2.已知△ABC的各内角均大于30°,⊙T与边BD、CA、AB依次交于点P、Q、K、L、M、N,且此六点按顺时针方向位于⊙T上.若△TQL、△TLM、△TNP是等边三角形,证明:     

一道49届IMO预选题的推广

题目已知BE，CF是锐角△ABC的高，过点A，F的两个圆与直线BC分别切于点P，Q，且点B在C，Q之间,证明：PE，QF的交点在△AEF的外接圆上.     

一道CMO题的加强

题目 如图1,锐角△ABC内接于圆Γ,AB＞AC,M为圆Γ上的劣弧(BC)的中点,K为圆Γ上点A的对径点.过圆厂的圆心O作OD//AM,与AB交于点D,与CA的延长线交于点E.直线BM与CK交于点P,直线CM与BK交于点Q.证明: ∠OPB+∠OEB = ∠OQC+∠ODC.     

2010年全国高中数学联赛加试题另解

第一题已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.     

第49届IMO试题解答

1．已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线船交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

两道几何命题的新证、类比与推广

<正>1 提出问题第19届美国数学奥林匹克第5题是一道优美的几何赛题,摘录如下：题目 平面上给定一个锐角ΔABC,以AB为直径的圆与AB边上的高线CC′及其延长线交于M、N,以AC为直径的圆与AC边上的高线BB′及其延长线交于P、Q.证明：M、P、N、Q四点共圆.笔者在文[1]和文[2]中利用多种方法分别证明了原赛题,并在文[3]中针对此题的基本图形进行改造,衍变得到一些有意义的几何命题.     

一道IMO平面几何题溯源

正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过     

第29届中国数学奥林匹克（2013）

第一天 1．如图1,在锐角△ABC中,已知AB〉AC,∠BAC的角平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆．证明：△DEF的外心与△ABC的内心重合的充分必要条件是BE＋CF=BC．     

2010年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题解答集锦

一、（本题满分40分）如图1,锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点（不是边BC的中点）,D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M,求证：若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆．     

巧用根轴与根心定理证明两线垂直

根轴定理与根心定理都是数学竞赛中的重要定理.根轴定理两圆的根轴与连心线互相垂直.根心定理三个圆两两之间的三条根轴或者互相平行或者交于一点(即根心).图1例1如图1,在△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,直线FD和AC交于点N.证明:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;     

一道奥赛题的空间拓广

第49届IMO试题的第1题：已知H是锐角△ABC的垂心．以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC相交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA相交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB相交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

数学问题与解答 2010年第6期问题解答

796．如图1，已知日为锐角△ABC的垂心，自垂足D向高BE、CF作垂线，垂足分别为N、P，直线NP分别交AB、AC于点M、Q，连DM、DQ，求证：     

由一个简单结论引出的一组有趣性质

众所周知,以三角形的三条高的三个垂足为顶点的三角形称为原三角形的垂足三角形.经研究发现,垂足三角形有如下性质.性质设AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,D、E、F分别为三个垂足.则AD平分∠FDE、BE平分∠FED、CF平分∠EFD.证明如图1,设AD与BE交于点H.则B、D、H、F四点共圆.故∠FBH=∠FDH.     

关于三角形面积的一个关系式

设锐角△ABC的三条高分别为AD,BE,CF,∠A,∠B,∠C的平分线分别与EF,FD,DE交于点P,Q,R,记△ABC,△DEF,△PQR的面积分别为△,△0,△1,则有△·△1≥△02.证明:设BC,CA,AB的长度分别记为a,b,c,半周长为s,外接圆半径为R,内切圆半径为r.因为△ABC的三条高分别为AD,     

2001年全国高中数学联赛加试题1的解析证明

2001年全国高中数学联合竞赛加试试题1如下: 如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线DE和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

2001年高中联赛平面几何题的新证法

题目如图1,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE.(2)OH⊥MN.     

2014年联赛加试平面几何题的证法探究

2014年全国高中数学联赛加试第二题为如图1，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且满足BD=CE=BC。直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G。设CF与BD交于点M，BG与CE交于点N，证明：AM=AN。