正五边形的一个共点线性质

沈国强先生在文[1]中证明了正三角形的一个共点线性质,笔者经过探究发现正五边形也有类似性质： 定理 如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正五边形的五个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点．     

平面多边形的拼接

平面正多边形的拼接,必须满足:共顶点处的几个多边形各一个内角之和为360°.先看用同一种正多边形拼接的情况:设在点O处有p个正n边形,则     

正三角形共点线定理的再探究

文[1]用解析法证明了正三角形的一个共点线性质,这个性质如下:定理如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正三角形的三个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.我经过探究发现定理中的正三角形条件是多余的,该定理对任意三角形都成立,并且还得到一组共线点,即有定理如图2所示,设△ABC是任意三角形,△ABC的重心为G,P是△ABC所在平面内任意一点,P点关于△ABC的顶点A、B、C的对称点     

关于边数为奇数的正多边形一个猜想的证明

赵忠华老师在文[1]中给出了正五边形的一个共线性质： 定理1平面上任意一点P关于同一平面内的一个正五边形的五个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点．     

例析数学中考中的阅读理解探究型问题

阅读理解探究型问题是中考试卷中的常见题型,这类问题不仅能考查考生的阅读和理解、分析和解决问题的能力,还能引导考生体会和尝试由特殊到一般、由感性到理性的探究过程.探究型问题的主要思维策略"实验——猜想——验证",一、问题提出——问题解决——问题运用例1(2012年山东青岛)问题提出:以n边形的n个顶点和它内部的m个点,共(m+n)个点为顶点,可把原n边形     

涉及凸多边形一个猜想的研究

杨之先生在文[1]末给出了一个颇为有趣的猜想：任意凸n(n≥3)边形AlA2…An边上任意一点P，记PA1 PA2 … PAn=Z(P)，Z(P)取最大值时的点P为凸n边形的最大点，则P点是它的最小值的顶点．     

n边闭折线的计数问题

定理　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定T(n) =12 (n -1 ) !条n边折线.证明:n边闭折线的顶点分别记为1 ,2 ,…,n -1 ,n .那么任一条闭折线都对应着这n个顶点的一个环形排列,这排列数为(n -1 ) !.但是,由于与环绕顺序无关,比如,排列1 ,2 ,3 ,…,n -1 ,n和n ,n -1 ,…,3 ,2 ,1对应同一条闭折线,因此(n -1 ) !这个数,多算了一倍,从而T(n) =12 (n -1 ) !.并进一步猜想正n边闭折线的类数L(n)有如下表达式:L(n) =[n2 ]·L(n -1 )=[n2 ]·[n -12 ]…[32 ][22 ].( [x]表示不大于x的最大整数)n边闭折线的计数问题$江苏省江阴市祝塘中学@张心…     

平面上的一类中点形

上海市中学教师进修教材《初等几何复习与研究》上册第127页编有这么一个命题:“已知正方形 ABCD 内部有一个小正方形 EFGH,而 M、N、P、Q 分别为 AH、BE、CF、DG 的中点,则 MNPQ 是正方形。”这命题的真实性是容易用平面几何的方法加以证明的。本文的目的是将这个命题推广到一般。定理:平面上任意位置的两个正 n 边形,其对应顶点连接线的中点是一个 n 边形的 n 个顶点。且中心连接线的中点是这个正 n 边形的中心。     

关于正多边形密铺

利用等边长的正多边形进行密铺,看似简单,真实隐含着丰富的数学知识.为了研究方便,我们从在一个顶点密铺入手,所谓在一个顶点密铺是指在平面内共顶点的若干个等边长正多边形在此顶点各内角之和为360°.显然,由于正多边形的内角满足60°≤α≤180°,所以这样的密铺,共顶点的正多边形个数m满足3≤m≤6,当且仅当用等边长的正三角形进行密铺时,m=6.1等边长的一种正多边形在一个顶点密铺设m个等边长的同种正n边形在一个顶点密铺,则m(1-2n)·180°=360°,所以m=2nn-2=2+4n-2.因为3≤m≤6,所以3≤2+4n-2≤6,又n≥3,所以n=3,4,6.相应地m=6,4,3.这说…     

平面闭折线有向面积的一个性质

文[1]给出了平面四边闭折线有向面积的一个性质,本文将该性质推广到平面n边闭折线的一般情形中.定义1[2]设闭折线A1A2…AnA1(简记为A(n))的顶点Ai(i=1,2,,n)在平面直角坐标系xoy中的坐标为(xi,yi),记     

第38届IMO试题解答(阿根廷马德普拉塔)

1.在坐标平面上,具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点,这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像国际象棋棋盘那样)。 对于任意一对正整数m和n,考虑一个直角三角形,它的顶点具有整数坐标,两条直角边的长度分别为m和n,且两条直角边都在这些正方格的边上。     

关于多边重心的一个定理

今年我省高中一年级数学统考试题中的第八题,是一个很有趣味的题目。我认为标准答案的解法过于繁琐,这里提出另一种解法,供大家参考。原题:一个三角形的三个顶点在平面 M 的同侧,它们到平面 M 的距离分别是4cm、5cm、9cm,求这个三角形的重心到平面 M 的距离。我们先证明一个定理。定理:如果有一 n 边形在一个平面的同侧,则此 n 边形的重心到这个平面的距离为各顶     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

一道数学奥林匹克问题的思考

命题 1 [1] 　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .若确保图形中出现以给定点为顶点的三角形 ,求证 :x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) .笔者认为 ,x≥n(n - 1 ) (n - 2 ) 33(n - 2 ) 是充分不必要条件 ,并发现如下命题 .命题 2　平面上给定n(n≥3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .图形中出现以给定点为顶点的三角形的充要条件是x≥ n2 n - n2 1 ,其中 ,[x]表示不超过x的最大整数 .证明 :设平面上给定的n个点分别为…     

在复平面上讨论正多边形的一个性质

在初中现行数学教材中(见九年义务教育教科书几何第三册第155页),有如下定理,把圆分成n(n≥3)等分:(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;(2)经过各点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.书中仅给出n=5的证明.本文在该定理的启示下,利用线性代数与复平面知识,给出定理(1)的一般证明,并应用它来简化一些命题的解法.如果我们把圆心设在原点,正n边形的一个顶点设在(r,0)上(r表示圆半径),于是正n边形的训顶点所对应的复数依次是r,re(2π/n)i,re(4π/n)i,…re(2(n-1)π/n)i,在此可以用一个n维列.     

正多边形对角线的一个性质

本文证明了正多边形对角线的一个并不为人所熟知的性质。该性质表明若n为正奇数且n≥5,则正n边形的任何三条不同的对角线不共点,除非它们通过同一个顶点。由此我们即知正n边形当n为奇数时其对角线在其内部共有(?)个不同的交点。     

Desargues定理的推广

将Desargues定理从三点形有条件地推广到平面n点形。得到了如果不同平面上的两个多点形(n≥4)对应顶点的连线交于一点,则两个多点形对应边的交点在同一直线上。     

一类树的拉普拉斯特征值前 k 项部分和的上界

设 G是一个顶点集为V（G）,边集为 E（G）的简单图。 Sk （G）表示图 G的拉普拉斯特征值的前k项部分和。Brouwer等给出如下猜想：Sk （G）≤ e（G）＋（k＋12）,1≤ k≤ n。此文给出了一类树 T的Sk （T）新的上界,并证明在单圈图,双圈图（k≠3）的情形下猜想也是成立的。     

Estrada指数的极小树

设G为一个n阶图,G的邻接矩阵A(G)的特征值为λ1,λ2,…,λn,Estrada指数被定义为EE(G)=Σni=1eλi。该文确定了如下树类中Estrada指数的极小图,此类中的树均有n个顶点且恰好包含有两个最大度为△的顶点。进一步提出了一个关于如下树类中Estrada指数的极小图的猜想,此类中的树均有n个顶点且恰好包含有k个最大度为△的顶点。     

从空间分割问题看数学中的类比、归纳和猜想

一、问题的提出和解决在空间,两两相交且三三不共线、无四面共点的五个平面将空间分成几部分?推测并证明。个这样的平面将空间分成几部分? 一般地,会从n=1,2,3去猜测答案.但当n≥4时答案似乎不太明了。为了寻找规律退而考虑平面内的类似问题:n条两两相交且无三线共点的直线分乎面所成份数。再简单一点的,如n个不同点分直线所成的段数. 1.一个类比:尝试从三条直线分割平面的情况与四个平面分割空间问题作类比. 观察(图1),平面上这三条直线构成了一三角形的三边,把平面分成三部分:一是三角形内部为一个;二是与三角形共一边的有三个;再是与三角形共顶点的也三个。所以,P(3)=1 3 3=7.