椭圆中一个三角形最大面积问题

<正>问题设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的中心为O,A、B是椭圆上的两点(A、B、O不共线),求△AOB面积的最大值.对于这个问题,笔者经过探讨,得到了如下两个有趣的结论.定理1设椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的中心为O,A、B是椭圆E上的两点(A、B、O不共线),则当且仅当直线AB与椭圆F:x2/a2+y2/b2=1/2相切时,S△AOB取得最大值1/2ab.     

三角形面积公式的向量形式及应用举例

一、面积公式结论1在平面直角坐标系xOy中,已知点A(x1,y1)、B(x2,y2),则ΔAOB的面积为S=1/2|x1y2-x2y1|.证法1利用S=1/2ah易知直线OA的方程为y1X-x1y=0,点B到直线OA的距离d=|x1y2-x2y1|/√x1^2+y1^2.     

一类面积最小问题的简捷解法

定理　若M为∠POQ内一点 ,过M作直线分别交OP、OQ于A、B两点 .则当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .　　　　　图 1证明　如图 1 ,设过M的任意直线分别交OP、OQ于A′、B′两点 ,且M不是A′B′的中点 .不妨设MA′ >MB′.在MA′上取MN=MB′ ,则有S△MAN =S△MBB′,∴S△MAA′ >S△MB′B,于是S△A′OB′ >S△AOB.例 1　直线l过点M (2 ,1 )且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B .O是坐标原点 ,当△AOB的面积最小时 ,求直线l的方程 .解　设A(x ,0 )、B(0 ,y) .由定理知 ,当M为AB的中点时 ,△AOB的面积最小 .由中点…     

对一道题目的挖掘

题目:过M(0,3)作直线l与圆x2+y2=16交于A,B两点,求△AOB面积的最大值. 分析一:作图,本题中需要求的是AAOB的面积,三角形的面积公式中常用的有两个:一个是S=1/2│AB│·│ON│=│NB│·│OM,一个是S=1/2│OA│·│OB│·sin∠AOB. 其中IABI是过定点的直线与已知圆的相交弦长,IONI是弦AB的弦心距,通常的求法为利用RtAAON(或Rt 0 BON)或点0到直线AB 的距离,OA,OB为圆的半径,GAOB是弦AB所对的圆心角,以上分析可以看出无论采用哪个公式来表示三角形的面积都离不开直线AB.     

定点、定值和轨迹,“设而不求”显神威

一、试题呈现 例 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√3/2,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△AOB的面积为1.(1)求椭圆C的方程。(2)设P为椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。求证:|AN|·|BM|为定值。     

一个最值问题的探究

正问题:过点M(2,1)的直线l分别与x,y的正半轴交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程。·y x B O A M(2,1)探究一:解法探究分析一:由于题中的直线l斜率存在且过定点M(2,1),所以在设直线l的方程上可优先选用点斜式。利用直线l方程可求出直线l在x,y上的截距,然后利用面积公式进行求解。     

一道源于教材的好试题

浙江省 2 0 0 3年高中会考试题 3 3 ,是一道源于教材高于教材的好试题 .题目　已知椭圆C1 :x21 2 +y26=1 ,圆C2 :x2 +y2 =4,过椭圆C1 上的点P作圆C2 的两条切线 ,切点为A、B .( 1 )当点P的坐标为 ( -2 ,2 )时 ,如图 1 ,求直线AB的方程 ;( 2 )当点P(x0 ,y0 )在椭圆上运动但不与椭圆的顶点重合时 ,如图 2 ,设直线AB与坐标轴围成的三角形面积为S ,问S是否存在最小值 ?如果存在 ,请求出这个最小值 ,并求出此时点P的坐标 ;如果不存在 ,请说明理由 .分析 :( 1 )直线AB方程为 :y =x+2 ;( 2 )由题意 ,切线PA、PB的斜率存在 ,连结OA .设A(x…     

2013年山东高考数学试题文科22题

题目 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为√2/2 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为√6/2的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设→ OP=t→ OE,求实数t的值. 解 (Ⅰ)略.椭圆C的方程为x2/2+y2=1.     

列方程求反比例函数的比例系数k

1．用相似三角形的性质 例1如图1,双曲线y=k/x经过Rt△OMN斜边ON上的点A,与直角边MN相交于点B。已知OA=2AN,△OAB的面积为5,则k的值是______.     

椭圆和双曲线的性质与应用

本文介绍椭圆和双曲线的一个垂直性质与应用,供读者参考. 定理1 经过椭圆x/a2+y/b2=1(a＞b＞0)准线和x轴的交点E且倾斜角为θ的直线与椭圆相交于A,B两点,O是椭圆中心,则OA上⊥OB的充要条件是sinθ=b/a√a2-b2/a2+b2.     

同现中考、高考的一道题

题1(2011年江苏省高考题)在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=2/x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是____.答案:4.题2(2011年浙江省义乌市中考题)如右图,在直角坐标系中,O为坐标原点.已知反比例函数y=k/x(k>0)的图象经过点A(2,m),过点A作AV⊥x轴于点B,且△AOB的面积为1/2.(1)求k和m的值;(2)点C(x,y)在反比例函数y=k/x的图象上,     

椭圆一个性质的再探究

文[1]研究了椭圆的一个性质,受文[1]启发,笔者通过探究发现,将文[1]定理1,定理2条件中椭圆的右顶点和上顶点A,B分别换成椭圆共轭直径的两个端点,结论仍然成立. 性质1 设A,B是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上的两点,O是坐标原点,射线OA,OB的斜率的乘积为-b2/a2,点M是线段AB的中点,直线OM交椭圆于C,D两点,ΔABC,△ABD的面积分别记为S1,S2,则S1/S2=(√2-1)2.     

四心问题

本文介绍与三角形的四心有关的问题.1.垂心例1已知O为坐标原点,A、B是抛物线y~2=4x上的两点,问:是否存在最小的t值,使△OAB的面积S=ttan∠AOB,若不存在,说明理由;若存在,则求出当t取最小值时,△OAB垂心H的轨迹方程.     

对一道解析几何模考题的探究

正题目如图1,已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)和圆C2:x2+y2=b2,圆C2将椭圆C1的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A,B,直线EA,EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P,M.(1)求椭圆C1的标准方程.(2)①设PM的斜率为kPM,直线l的斜率为t,求kPM t的值;②求△EPM面积最大时直线l的方程.(2014年宁波市高三十校联考数学模拟试题     

深入探究 必有所得(高二、高三)

题过定点尸(2,3)作直线l,分别与x轴、y轴的正方向交于A、B两点,求使△AOB的面积最小时的直线方程. 经过求解,我的答案是 3x Zy一12- 若将尸点坐标改为(2,1)线是x Zy一4一0. 于是我猜想:O.,满足条件的直即m:a一n:b. 在一本参考书上有这么一道题: 已知直线x一y一O,x y一O,点尸(1,2).过点尸作直线l与这两条直线交于x轴上方的两点A、B.当S△AoB面积最小时,求直线l的方程. 如图1所示,直线l过定点尸(m,n),分别与x轴、y轴的正方向交于A(a,o),B(o,b)两点,当△AOB面积最小时, 书上给的参考答案很繁琐,下面我用上述结论和坐标变换来解: 如图2…     

反比例函数y=k/x (k≠0)中k的几何意义

一、经典试题 例1 如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点.已知反比例函数产k/x(k＞0)的图像经过点A(2,m),过点A作AB⊥x轴,垂足为B,且△AOB的面积为1. (1)求k和m的值; (2)若点C(x,y)在反比例函数k/x的图像上,求当1≤x≤3时,函数值y的取值范围. 解:(1)∵点A(2,m)在反比例函数y=k/x(k＞0)的图像上,且△AOB的面积为1, ∴1/2×2×m=1,解m=1. ∴点A的坐标为(2,1),∴k=xy=2×1=2.     

四面体的几个新性质

四面体是三角形在空间的推广 ,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去 .本文以向量为工具 ,把三角形的余弦定理、勾股定理以及“在直角三角形中 ,30°的角所对的边是斜边的一半”等 4个定理推广到四面体上 .定理 1　 (四面体的余弦定理 )四面体C-AOB中 ,若CO垂直于平面AOB ,平面AOC与平面BOC所成的二面角为α ,则四面体的四个面的面积之间有如下关系 :S2△ABC =S2△AOC S2△BOC S2△AOB -2S△AOC·S△BOCcosα证　以O为原点、OA为x轴 ,OC为z轴建立空间直角坐标系 ,设四个顶点的坐标分析为A(a ,0 ,0 ) ,B(b ,d ,0 )…     

对2014年高考安徽理数卷19题的研究

题目 (2014年高考安徽理卷19题)如图1,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1＞0)和 E2:y2 =2p2x(p2＞0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点. (Ⅰ)证明A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点,记△A1B1 C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2.求S/S2的值.     

求解椭圆中与角有关的离心率问题

正圆锥曲线的离心率是描述圆锥曲线形状的重要参数,也是当前高考考查的一个热点.特别是与角有关的离心率问题,题目灵活多变,技巧性强,所以我们在学习过程中要善于总结,掌握求解此类问题的技巧和方法.一、结合三角形的性质求解例1设椭圆x2b0),点P为椭圆a2+y2b2=1(a上的点,以点P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点,与y轴相交于A、B两点.若△PAB为锐角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________.解设点P的坐标为(x0,y0),以点P为圆心的     

椭圆中两个三角形最大面积问题

<正>椭圆(或圆)由于是封闭曲线,因此椭圆(或圆)中隐含的最值问题比较多,是数学研究与教学可供开发的重要资源之一,本文给出椭圆中的两个三角形最大面积问题及其解答,以飨读者.问题1给定椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),