“数学归纳法”教学的一点体会

全国统编教材高中数学第三册《数学归纳法》这一节,比过去传统教材改编得好,证题的内容丰富多采,形式多样。对于学生思维能力的培养,也给予了足够的重视。如在 1+3+5+……+(2n-1)=n~2 1+3+2+………………+n=1/2 n(n+1) 1~3+2~3+3~3+……+n~3=1/4 n~2(n+1)~2=(1+2+3+……+n)~2 1~2+2~2+3~2+……+n~2=1/3 n(n+1)(2n+1)等公式时,都配合直观图形,让学生从图形中观察到证题的结果,使学生在学习数学归纳法过程中,进一步领会这些例题、习题的求证,不仅仅是要按数学归纳法的两个步骤证明其正确性,而且还要引导学生对     

一个不等式的加强及其应用

高中《代数》第二册112页11题是:证明1+1/(2~(1/2))+1/(3~(1/2))+…+1/(n~(1/2))>n~(1/2),(n>1).文[1]给出了比上式更强的结论:2((n+1)~(1/2)-1)1)。(Ⅰ) 本文对(Ⅰ)式进行加强,从而把(Ⅰ)式的结论统一到本文结论之中。且给出估计和式sum from k=1 to n 1/(K~(1/2))值(绝对误差不超过0.16)的一种方法。由1°,2°知(Ⅱ)式成立。 (Ⅱ)式亦可用数学归纳法证明。容易证明 ((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)<2(n~(1/2))-1,((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)>2((n+1)~(1/2)-1).所以,(Ⅰ)式可看成是(Ⅱ)式的直接推论。因为 0<((n+1)~(1/2))+n~(1/2)-2~(1/2)) -(((n+2)~(1/2))+n~(1/2)-3~(1/2)) =((n+1)~(1/2)-(n+2)~(1/2)+(3~(1/2)-2~(1/2)) <3~(1/2)-2~(1/2)<0.32。所以用 [((n+1)~(1/2)+n~(1/2)-2~(1/2))+((n+2)~(1/2)+n~(1/2)     

求自然数方幂和的递推式的一种方法

现行高中代数(下册)封面上醒目地给出等式1~2+2~2+3~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)。又在第47页练习和第124页习题上相继出现1+2+3+…+n=1/2n(n+1)与1~3+2~3+3~3+…+n~3=1/4n~2(n+1)~2的求证式。这些结论之间是否存在相关性?下面作出了肯定的回答。     

由1/n~2<1/(n-1)-1/n偶得

在学习数列与极限中,有些同学常感到求(?)[1/n~2+1/(n+1)~2+…+1/(n+n)~2],证明1+1/2!+1/3!+1/4!+…+1/n!<2之类的问题无从下手。处理这类问题,用不等式1/n~2<1/(n-1)-1/n     

简证一题

题目:设[x]为不超过x的最大整数,当n为自然数时,求证:[n~(1/2)+(n+1)~(1/2)]=[(4n+2)~(1/2)]. (美国普特南数学竞赛,1948年) 证明 1.构造不等式(4n+1)~(1/2)相似文献   

用组合数公式、组合恒等式求某些数列前N项的和

平日同学常问:象1~2+2~2+…+n~2=(1/6)n(u+1)(2n+1)1~3+2~3+…+n~3=〔(1/2)n(n+1)〕~21·2+2·3+…+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)这样的等式它的最后结果是怎样求     

从无穷级数看不等式一例

在高级中学课本代数(下册第125页)有如下的一个不等式: 1+1/2~2+1/3~2+…+1/n~2<2-1/n,(n∈N,且n≤2) (1) 近来看到该不等式在1993年第三期《中学数学》杂志(苏州大学数学系编)被加强为: 1+1/2~2+1/3~2+…+1/n~2<5/3-2/2n+1. (2)其实这并不是最好的结果,只要学过高等数学,就知道这个不等式还能加以改进(为了方便起见不等式左     

用特殊值法解选择题

为避免繁琐的计算和推证,选择题常可用“特殊值法”来解.例1 1+3+5+7+…+(2n-1)的值等于().(A)n~2 (B) (2n-3)~2 (C) (2n-1)~2 (D) 4n~2分析用特殊值法,不妨取 n=2,此时1+3+5+7+…+(2n-1)应是1+3=4,又n=2时,n~2=4,(2n-3)~2-1,(2n-1)~2=9,4n~2=16,故选 A.     

隐含条件不可忽视

例.设m~2 2m-1=0,n~4-2n~2-1=0.求(mn~2 n~2 1/m)~(1994)的值。解由m~2 2m-1=0得m≠0。两边除以m~2得(1/m)~2-2(1/m)-1=0 (1)n~4-2n~2-1=0得(n~2)~2-2n~2-1=0。 (2)由(1)、(2)知,(1/m)与n~2是方程x~2-2x-1=0的两个实数根,有(1/m) n~2=2,(1/m)·n~2=-1,故原式=(n~2 n~2/m 1/m)~(1994)=(2-1)~(1994)=1。这一解答有两处错误:第一,n~2不能看作方程x~2-2x-1=0的根。因为△=8>0,方程应有两个不同的实数根,但n~2只有一根1 2~(1/2),另一根1-2~(1/2)没有意义。因此,本题应把n~4-2n~2-1=0当作一个一元四次方程来解。     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

关于求整式函数的数列的前n项和

我们经常需要求通项公式为n的整式函数的数列的前n项和。如求下面的和:1~2+2~2+…+n~2 1~3+2~3+…+n~3 实际就是分别求通项公式为a_n=n~2,a_n=n~3的两个数列的前n项和。又如1989年高考第23题: 是否存在常数a,b,c使得等式: 1×2~2+2×3~2+…+n(n+1)~2=n(n+1)/12(an~2+bn+c)对一切自然数n都成立!并证明你的结论。这里如果能求出数列{a~n},其中a_n=n(n+1)~2的前n项和,此题也就解决了。     

配方法的应用

正配方法是一种重要的恒等变形,它的应用十分广泛。解题时,若能根据题目的特点,灵活配方,往往能收到事半功倍的效果。一、求代数式的值例1(2011年南通卷)设mn0,m~2+n~2=4mn,则m~2-n~2/mn的值等于()。A.23~(1/2) B.3~(1/2) c.6~(1/2) D.3分析:解题的关键是寻找m~2-n~2与mn的关系。利用配方可以得至m+n、m-n与mn的关系。m~2+n~2=4mn     

“连续函数不一定可导”一例

高中数学课本第四册复习题八第8(9)题:求y=arc sin(msinx-ncosx)/(m~2 n~2)~(1/2)的导数。解:y′=1/(1-(msinx-ncos)~2/(m~2 n~2))~(1/2)·(mcosx nsinx)/(m~2 n~2)~(1/2) =(m~2 n~2)~(1/2)/(m~2 n~2-m~2sin~2x 2mnsinxcosx-n~2cos~2x)~(1/2)·(mcosx nsinx)/(m~2 n~2)~(1/2) =(mcosx nsinx)/(m~2cos~2x 2mnsinxcosx n~2sin~2x)~(1/2)=(mcosx nsinx)/|mcosx nsinx| =1 当mcosx nsinx>0 =-1 当mcosx nsinx<0于是产生了一个问题:当mcosx nsinx=0时,y的导数存在吗?我们不妨先设m≠0,n≠0 mcosx nsinx=0 tgx=-m/n即在x=kπ-arctgm/n(K∈J)时y的导数是否存在,     

自然数冪和的一个应用

下面三个公式,是大家所熟悉的: 1+2+3+……+n=n(n+1)/2 (1) 1~2+2~2+3~2+……+n~2=(n(n+1)(2n+1))/6 (2) 1~3+2~3+3~3+……+n~3=[(n(n+1))/2]~2 (3) 在未指出它们的应用之前,先介绍(2)(3)两公式一种在图形上的意义。为此,我们考虑下面一个问题: 在一平面上有m+1条间隔相等,且相互平行的直线,与另一组n+1条同样的平行线相直交。     

一个不等式的推广及其特殊证法

本文约定字母均表示正数。 (1)如果a+b=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥ 25/2 ① (2)如果a+b+c=1, 则(a+1/a)~2+(b+1/b)~2+(c+1/c)~2 ≥100/3 ②一般地,如果sum from i=1 to n a_i=1, 则 sum from i=1 to n(a_i+1/a_i)~2≥(n~2+1)~2/n ③下面只证不等式②、③。引进三元函数 W=(x+1/a)~2+(y+1/b)~2+(z+1/c)~2,那么它的几何意义是动点P(x,y,z)到定点(-1/a,-1/b,-1/c)的距离的平方。     

求数列的通项公式应注意初项

高中代数甲种本第二册P_(54)第14题的一个内容是“某等差数列{a_n}是前n项和的公式是S_n=5n~2+3n,求它的通项公式,”学生极易写出它的解答; a_n=S_n-S_(n-1) =5n~2+3n-[5(n-1)~2+3(n-1)] =8+10(n-1). 由于题目已肯定了{a_n}是等差数列,这样的题解也可算对了,然而下一题却需细心。例1 数列{b_n}的前n项和S_n=5n~2+3n+2,求它的通项公式。有的学生仿照上一题解,信手写出: “{b_n}的通项公式是     

作者—读者—编者

本刊1984年第1期刊出《关于根式(m±n~(1/2))~(1/2)的化简》一文后。相继收到读者方成义(来信付后)、蒯超英、刘海平、陈雄和原作者马振民等同志的来信,对该文作了进一步探讨。现将他们的主要意见综述如下: 1.原作者马振民同志在来信中说,该文写作的意图是,不仅要推导出公式 (m±n~(1/2))~(1/2)=(m+~(m~2-n)~(1/2)/2)~(1/2)±±(m+~(m~2-n)~(1/2)/2)~(1/2),①而且要讨沦将左端的根式表为A~(1/2)±B~(1/2)(A、B为非负有理数)的充要条件,及这种表示式的唯一性。     

数学归纳法教学中发现法的应用

“发现法”是一种创造性思维的学习方法,也是发展智力、培养能力的一种教学方法。在数学归纳法的教学中,当学生掌握了这种证明方法以后,对此并不满足,自然地会提出一些恒等式(如:1~2+2~2+…+n~2     

一个简单不等式的妙用

众所周知(m-n)~2≥0,即m~2+n~2≥2mn.变形得(m+n)~2≥4mn或mn≤1/4(m+n)~2;当且仅当m=n时取等号。上述不等式虽然很简单,但在求解某些物理问题时相当有用。     

也谈关于根式(m+n~(1/2))~(1/2)的化简

《数学教学研究》1984年第1期中马振民同志《关于根式(m+n~(1/2))~(1/2)的化简》的文章(其中m,n为整数(实为正整数),n为不完全平方数。化简指能否化为A~(1/2)±B~(1/2)的形式。其中A、B为正有理数)。证明了一个定理,即形如(m±n~(1/2))~(1/2)的根式能化为A~(1/2)±B~(1/2)的充要条件为m~2-n为一完全平方数。的确为此类根式的化简提供了一个判别准则和化简的一般方法。阅后很受启发。为了做到深知浅出、推而广之,本文也想谈谈此类根式的化简。形如(m±n~(1/2))~(1/2)的根式通常称为复合二