对称性原理在平几教学中的应用

在解某些平面几何题时,如能充分合理地运用对称性原理,常能帮助我们发现解题思路或简化解题过程,还能开拓学生的思路,培养他们从不同的角度去认识、理解、应用所学知识的能力。本文肤浅地谈谈对称性原理在平几教学中的应用。一、证明等量问题 例     

一道平几题的应用

定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,则b~2=a~2+ac的充要条件是∠B=2∠A. 这是一道脍炙人口的名题,通常被人们视为平几中一题多解的典范,而往往忽视了它的潜在功能.本文就其应用介绍如下: 一、解三角形例1 若△ABC的三边长为连续整数,且最大角∠B是最小角∠A的两倍,求三角形的三边长. (第10届IMO试题) 解:设AB=X,则AC=I十1,M=I—l,由定理得 (。+1)2一k-])’+k-1),化简整理得X’-SX一0, ∴\X=0(舍去)或X一5.故 AB=5.M=4,AC=6. 例2 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B、C的大小成等比数列且b~2-a~2=ac,则     

一道典型平几题的应用

法国数学家笛卡尔说:“我所解决的每一个问题,都将成为一个模式,以用于解决其他问题。”因此,当我们解完每一道题后,不光只是考虑是否有错解、漏解,以及是否还有其他解法,还应当深入思索,根据题目中的隐含关系,发掘可供应用的一般模式,用以解决其他问题。这对于拓宽解题思路,简化解题过程,也是大有裨益的。下面以一道平几题为例,以视一斑。     

正弦定理在平几中的应用

正弦定理揭示三角形的边、角之间的数量关系,应用它来解决某些平面几何问题,往往比纯几何证法简捷、明快。下面举例说明。 一、求值 例1 在△ABC中,∠B=∠C=40°,将AB延长至D,使AD=BC,则∠BCD的度数为______。(1990年“数学新蕾”初二数学通讯赛试题)     

一个有趣的平几命题及应用

究竟是什么使我们感到一个结果和一个证明是精美的呢?它就是不同部分之间的和谐,它们的对称性,它们的美好的平衡……——(法国大数学家)庞加莱     

平几知识在解几中的应用

在解决某些解析几何问题时，若能合理运用平面几何知识，则能大大简化解题过程，省时省力，效果良好。为说明问题，便于比较，以下各题均有两种解法，解法一为代数方法，解法二为几何方法。     

平几知识在解几中的应用

在解决某些解析几何问题时,若能合理运用平面几何知识,则能大大简化解题过程,省时省力,效果良好.为说明问题,便于比较,以下各题均有两种解法,解法一为代数方法,解法二为几何方法.……     

旋转变换在平几解题中的应用

“旋转变换”指:将图形F绕定点O(旋转中心)按一定方向旋转θ角(旋转角),得到一个与原图全等的图形F′,用这种变换解平几题的优势性在于,通过“旋转”可将题设中有关的角或边集中,再利用图形的性质获得要证的结论。解题时选择旋转中心和适当地选择旋转角是整个解题过程的关键,旋转变换有一个重要性质:对应线段所成的角等于旋转角。下面给出几组用旋转变换解题的例子。 (一) 图形中出现等腰三角形时,常将某三角形绕等腰三角形顶点旋转一顶角。例1 在等腰△ABC中,D不形内一点,若∠ADC<∠ADB,求证:DC>DB     

一道平几习题的引伸及其应用

初中《几何》第一册第205页第30题是:△ABC 中,如果 AB=30cm,BC=24cm,CA=27cm,AE=EF=FB,EG∥FD∥BC,FM∥EN∥AC(图1),求阴影部分三个三角形周长的和.     

面积法在平几中的应用

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１　证明线段相等例１　（１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明　连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知　∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ…     

比值法在平几中的应用

1.证线段相等 例1.以Rt△ABC斜边AB为直径作圆,过C的切线分别交以AC、BC为直径的圆于DE。求证CD=CE.、~一CD习七巧刁下犷书一.= U乃ACeos匕飞BCeos乙2 ACeos匕3一BCeos匕4A Beos匕4 eos乙3A Beos乙3 eos匕4:。CD=CE.2.证线段的和差倍分间的等式3.证线段的不等关系例2。△ABC的乙A=6。“,求证:ZBC)AB+AC。证设△ABC外接圆半径为R,则 2方CAB+AC2一ZRS in60。ZRs inC+ZRs inB25 in60。25 iflB+C 2COSB一C 2 1=一—一.万刃一.一丁干二〕1。 __O一U- CU吕—.’.2 BC)AB十AC.4.证明线段成比例5.证明线段的等积式…     

一道平几例题的探讨和应用

统编初中平面几何第二册第85页的例1是一道典型的基本例题。其思考方法十分典型。我们把它称为命题1: 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径。求证:AB·AC=AD·AE。教材上给出了△ABC为锐角三角形的图形,并用三角形相似的办法给出了证明。事实上,△ABC是直角三角形或钝角三角形的情形时,结论仍然成立。另外,用三角形的面积公式和正弦定理也可以证明: ∵BC=2R·sinA=AE·sinA。     

立几与平几的类比

20 0 3年广东高考试题第 15题是条填空题 ,要求类比平面几何中的勾股定理 :“设 ABC的两边AB ,AC相互垂直 ,则AB2 +AC2 =BC2 ” ,研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系 .其正确结论是 :“设三棱锥A -BCD的三个侧面ABC ,ACD ,ADB两两互相垂直 ,则S2 ABC+S2 ACD +S2 ADB =S2 BCD.”证明如下 :由于三棱锥A-BCD的 3个侧面均是以点A为公共顶点的直角三角形 ,所以由三垂线定理知点A在底面BCD上的射影E是底面三角形BCD的垂心 .　　∴S2 BCD =14 DF2 ·BC2=14 (AF2 +AD2 ) ·BC2=S2 ABC+ 14 AD2 ·BC2=S2 AB…     

听障学生电路仿真教学仪设计

在分析听障学生自身的缺陷及我国现有的特教基础教学体系的基础上,利用计算机仿真技术,对听障教学过程及教学效果进行研究。提出了基于计算机仿真技术的教学设计理念,研制了用于听障课堂教学的电路仿真教学仪,阐述了如何利用仿真的概念组织教学,介绍了利用电路仿真教学仪实现教学目标的具体实现过程。     

一个平几命题在解几中的应用

文 [1]运用解析法给出了圆锥曲线上点的四个有趣性质 .本文由一个平几命题得到这四个性质的统一简证 .定理　设直线 l1 与 l2 交于点 O,点 M,N是 l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n(m >n>0 ) ,l1 上的点 P对线段 MN的视角为α,则当 |OP|=mn时 ,α最大 .图 1证明　如图1,过点 M,N 作⊙ C切 l1 于点 K,则∠ MKN是 MN的圆周角 ,∠MPN是 MN的圆外角 .故∠MKN是 α的最大值 ,此时 ,由切割线定理知 |OK|2 =|OM|· |ON |=mn,即当 |OP|=mn时 ,α最大 .推论　设直线 l1 ⊥ l2 于点 O,点 M,N是l2 上的两个定点 ,且 |OM|=m,|ON |=n…     

平几入门第一关

平几入门第一关陈宇慧初中平面几何因概念多，几何语言表达难，逻辑推理抽象，初学者常感到入门难，甚至由此产生畏惧心理．加强概念形成和语言训练似可帮助学生突破入门关．福建平潭县强兴中学，３５０４００１联系生活实际，加强概念教学，培养乐于学几何的兴趣；几何概...     

平几知识在解析几何解题中的应用

笔者结合教学经验通过例题说明了，在中学数学教学中注意发掘平面几何知识在解析几何问题上的作用，常常会收到事半功倍的效果．     

观察联想在平几证明中的应用

观察联想在平几证明中的应用姚震（广东省吴川市川西中学５２４５００）“观察—联想—转化”是解决数学问题的一般思维过程,只有通过对问题进行认真、周密、细致的观察,才能打开思维的大门,产生丰富的联想,而联想又为思维提供了方向,成为沟通已知向未知转化的桥梁．...     

代数方法在平几解题中的应用

在平面几何教学中,倘能将某些几何题转化为代数问题来处理,则既不失数学证明的优美,也提供了更为灵活的解题途径。在各地中考的几何综合题中,应用代数解法大都不失为一条捷径,不少数学竞赛试题更为明显。