用托勒密定理能求出圆内接四边形的对角线长

《数学奥林匹克中级读本(下)》(四川大学出版社出版,1991年10月第二版)一书中有这样一道例题(P75,例6): 如右图,设圆内接四边形ABCD的四边AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求对角线AC和BD的长(要求用a,b,c,d来表示)。书中在用余弦定理和圆内接四边形内对角之和为180°求出了两对角线之长后,有如下说明:“这例题用托勒密定理是不能求出圆内接四边形对角线的长。”然而我们说这说明是不正确的,用托勒密定理同样也能求出圆内接四边形的对角线长,现具体推理如下: 解法一:在弧ADC上取点M,使AM=CD=c,连MC,则△AMC≌△CDA(边、角、边),从而MC=AD=d,对圆内接四边形ABCD及     

洗尽铅华 返璞归真

<正>1试题呈现(江西中考第22题)课本再现思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直。反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程。     

四边形的余正弦定理

<正> 定理(余弦定理)四边形两条对角线的平方和等于一组对边的平方和加上另一组对边与其夹角的余弦的乘积的2倍。 已知:如右图ABCD四边形的四边为 a,b,c,d,两对角线 AC,BD为 e,f     

例说零点存在性定理在解题中的应用

零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.传统的函数零点存在性定理的考查,如:     

双曲线一个性质的推广、演变及引申

笔者曾在文[1]中给出如下结论: 定理给定双曲线c:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0),P1是c上不在顶点的任一点,P1P2是c的垂直于y轴的弦,M1(0,-b),M2(0,b)是c虚轴的两个端点,则直线P1M1与P2M2的交点P仍在c上.     

偶数条边的平行凸多边形的一个性质

定理对边平行、对角线交于一点的凸2n 边形,其交点平分任一条对角线.证明:如图,在2n 边形 A_1A_2…A_(2n)中,A_1A_2∥A_(n 1)A_(n 2),…,A_nA_(n 1)∥A_(2n)A_1.对角线 A_1A_(n 1),     

零值定理应用之管见

本文就零值定理在在二次函数中的应用,谈一点我们的看法。零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数且在区间两端点的数值f(a)、f(b)异号,那么一定有一点C(a相似文献   

正n角星的极坐标方程

定理 中心在极点O,一顶点为A_0(R,0),且边幅为c的正n角星的方程为其中c∈N,n≥2c 1,R∈R~ ,θ∈[0,2π). 证明:如图,O为正n角星A_0A_1…A_(2n-1)     

理解零点存在定理应把握的四个方面

人教A版必修1给出了判断函数零点的定理,即零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根,这个定理比较抽象,要理解它并能较好地加以应用,应注意从四个方面加以把握。     

一个定理的简证

本刊84年第8期第43页给出了一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c均为整数)(*)有两个整数解的充要条件,即是: 定理:方程(*)有两个整数解的充要条件是:b~2-4ac=m~2(m是整数),且b,c均能被a整除.     

一元二次方程的根的对称式

如果x_1、x_2是一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的两个根,由根与系数关系(即韦达定理),不解方程,可以求出下列代数式的值:     

圆内接四边形的一个新性质的探索与证明

<正>1问题的提出在圆内接四边形ABCD中,记边长AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,对角线AC=e,BD=f.著名的托勒密(Ptolemy)定理指出:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线长的乘积,即ac+bd=ef.一个十分自然而且重要的问题是:对于圆内接四边形ABCD的两组邻边乘积之和,也就是ab+cd和bc+ad,能否像托勒密定理那样分别找到两条线段m、     

零值定理在二次函数中的应用

对于一元二次方程,除了讨论根的性质符号外,往往还要求讨论它的根的分布范围。要求出一元二次方程的根落在某区间的内或外的充要条件,通常要借助于二次函数的图象.本文将对零值定理在二次函数中的应用作一些探讨. 零值定理:设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,且f(a)f(b)<0,则必存在c∈(a,b),使得f(c)=0. 众所周知,一元二次函数f(x)=ax~2 bx c(不妨设a>0)是实数集上的连续函数,因此,我们可用零值定理研究它的性质.     

一元二次方程的整数解问题例析

一元二次方程的整数解问题,大多出现在竞赛试题中,现略作归类,以供同学们在解竞赛题时参考. 一、利用根的判别式法定理:对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0.a、b、c为有理数),若判     

等比性质用处大(初一、初二、初三)

《几何》第二册,介绍了等比性质定理:如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么,(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b. 下面介绍一下这个性质定理的应用.     

一道课本习题的向量证明(高一、高二)

高中《解几》(必修本)中有这样一道习题: 已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,求证:两条对角线互相垂直. 此题的解析法证明较繁. 如图,建立坐标系,设四边形的四个顶点为A(a,0),B(b,c),C(0,d),D(e,0).因为|AB|2+|BC|2=|AB|2+|DC|2所以(a-e)2+(c-d)2+b2     

合比定理在不等式中的推广和应用

在比例中,合比定理即若a/b=c/d,则(a b)/b=(c d)/d,(1)但当a b≠0且c d≠0时,(1)还可写成: a/(a b)=c/c d 把(1)、(2)推广到不等式中,可得定理若a/b≥c/d,则 (a b)/b≥c d/d,(*) 若a/b≥c/d>0,则 a/(a b)≥c/(c d).(**) 证:∵a/b≥c/d, ∴a/b 1≥c/d 1, ∴(a b)/b≥(c d)/d。∵a/b≥c/d>0 ∴0相似文献   

正五边形的一个性质

定理正五边形P_(?)的所有对角线围成正五边形P_1,P_1的对角线围成正五边形P_2,…一直继续下去,则P_0,P_1……,P_n…边长之和等于P_0的对角线长;P_1,P_2,     

二次函数与X轴的交点问题

为了二次函数都知道:二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0),当y=0时,则此函数形式化为ax2+bx+c=0(a≠0).即二次函数就化为一元二次方程了。所以一元二次方程实际上就是二次函数的特殊形式。因此,二次函数与x轴的交点问题就可以用一元二次方程根的分布和判定定理来解决。下面我们就用例子来谈谈二次函数与x轴的交点。     

构造长方体解有关问题

长方体有如下人们所熟悉的性质:定理长方体的长、宽、高为 a、b、c,则其对角线长 l=(a~2 b~2 c~2)/(1/2).推论长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ,则 cos~2α cos~2β cos~2γ=1.