例析导数在解题中的几种应用

同学们在学过导数的知识之后,如果能够灵活地运用导数的知识解题,常常可以使解题过程得到优化,显得简单直观.下面举例分析,希望同学们能够从中受到有益的启示. 一、判定函数的单调性 例1 判断函数f(x)=ex+1/ex在(0,+∞)上的增减性. 解析:因为f(x)=ex+1/ex, 所以f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1). 当x∈(0,+∞)时,有ex＞0,e2x-1＞0, 所以f'(x)＞0,故f(x)在(0,+∞)上是增函数.     

例析导数在解题中的应用及注意事项

导数的引入为高中数学注入了新的活力,使很多问题的讨论变得简单、方便的多了.同时,导数又是同学们后继学习的基础,因此,导数的应用成为近几年高考的热点.本文就导数在解题中的应用及注意事项作以例谈,供大家参考.　　一、证明函数的单调性例1 　(2001·新课程)设 a>0,f(x)=exa+aex 是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+∞)是增函数.解析 　(1)依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x),即exa+aex =1aex+aex 　　所以a-1aex-1ex =0对一切 x∈R 都成立.由此得到a-1a=0,即a2=1.又因为a>0,所以a=1.(2) f(x)=ex+1ex ,∵　f′(x)=ex-e-x=e2…     

福建省教育厅重点课题《新课程背景下 高考数学命题改革研究》研究成果展示(四) 2005年至2008年高考试卷中导数主观题深度研究(二)

(续上期)2.2以ex(或e-x)与x的一次、二次函数运算为背景的函数模型以ex(或e-x)与x的一次函数、二次函数运算为函数模型,考查导数对研究函数单调性、极值(或最值)、图象等问题,也是导数主观题的一类问题.这类题的题源是以一次函数、二次函数与y=ex的乘除     

谈谈“导数”的复习

一 明确复习要求 这部分内容的复习要求如下: 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度,光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数定义和导数的几何意义,理解导数的概念. 2.熟记基本导数公式(C,xm(m 为有理数),sin x,cos x,ex,ax,lnx,logax 的导数) .掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. 3.了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数 在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最…     

利用分离函数法证明函数不等式

<正>在近年的高考试题中,经常会出现以ex与lnx为背景的函数不等式证明问题,直接应用导数证明这些不等式有时很复杂,有时需要多次求导,甚至思维受阻,此时若能从含有ex与lnx的函数不等式中分离出ex或lnx,再利用导数证明,则可避免繁冗的求导运算,从而化难为易,化繁为简,起到事半功倍之效,下面举例说明.1分离lnx例1(2013年高考北京卷理18题)设l为曲线C:y=lnx x在点(1,0)处的切线.     

导数的活用

一、活用导数求极限【例1】求(1)li mx→0ex-1x(2)lix→m0sixnx解:(1)令f(x)=ex,则f′(x)=ex,f(0)=1∴li mx→0ex-1x=lix→m0f(x)x--0f(1)=f′(0)=1(2)li mx→0sinxx=lix→m0sinxx--0sin0=(sinx)′|x=0=1二、活用导数解决函数的单调性问题【例2】已知:函数f(x)=x2cosθ 2xsinθ     

透过背景,衍生结论,巧破难关

正在各省市的高考压轴题中,常将导数作为主要的考察对象,而导数中多涉及到以lnx,ex为影子的一些恒成立证明求解问题,这恰是导数考题中的热点难点,本文介绍以ln(1+x)和ex的泰勒展开式为背景的一些放缩不等式,巧妙的运用好这些不等式可以有效的降低题目的难度,起到事半功倍的奇效!1泰勒展开式背景等式     

导数应用中的几个重要不等式

自2004年高中课程改革以来,以导数为工具讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、恒成立问题的解决、存在性问题的探究、不等式的证明等成为高考试题的重点和热点在解决这些问题时,常常需要用到以下几个指数不等式：ex＞x, ex＞x2（x＞0）,ex＞1 x3（x＞0）,ex≥x＋1和3对数不等式x－1≥lnx,xlnx≥x－1,lnx＞2（x－1）x＋1（x＞1）利用这些不等式可以对导数问题进行转化、分类,对函数值进行定量分析,从而突破难点,找到最佳的解题路径这种解题的策略和方法在以后的高考中仍然是非常重要的本文将举例介绍这几个重要不等式在解题中的应用,供师生们复习中参考。     

浅谈构造函数法证明不等式

正本文首先介绍如何构造函数证明两个简单的不等式,在介绍如何构造函数证明复杂的不等式,以及在构造函数时如何如何整体把握.首先介绍两个有用的不等式ex≥x+1,x∈R与lnx≤x-1,x0.这两个不等式不难从图象上看出,注意y=lnx与y=x-1分别是y=ex与y=x+1的反函数,图象关于y=x对称.用导数证明如下:构造函数f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.     

进一步景色迷人 退一步海阔天空——用复合函数的导数、二阶导数解释中学疑点

高中《数学》第三册(选修Ⅱ)(人民教育出版社中学数学室编著)3.5节教学内容是:对数函数与指数函数的导数.关于本节的教学目标《数学教学大纲》指出:熟记ex,ax等的导数.《教师     

证明函数不等式的法宝——分离函数法

正浏览近年的高考试题,经常会出现以ex与lnx为背景的函数不等式证明问题.如果直接应用导数证明这些不等式有时很复杂,很多时候需要多次求导,甚至导致思维受阻.此时若能从含有ex与lnx的函数不等式中分离出ex或lnx,再利用导数证明,往往可避免繁冗的求导运算,收到出奇制胜之效.一、从不等式中分离出ex分离参数一般是分离出简单参数,但对于含有ex的式子,宜先分离出ex,这样便可将问题转化为函数的最值问题,函数最值问题的破解就较为常规,破解的方法也会更加广阔和     

两个重要不等式及其在高考中的应用

<正>近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,其中活跃着一类与"ex"和"ln x"有关的函数不等式.本文通过对两个重要函数不等式及其变式在近几年高考压轴题中的应用为例进行探究,以供大家参考.一、两个重要函数不等式的证明结论 1若x∈R,则ex≥x+1(当且仅当x=0等号成立).证明构造函数f(x)=ex-x-1,求导     

求解数值微分的一种新方法

在已知四点等距分布的情况下,就被插函数f(x)为ex和1/(1 x2)时,分别了给出相应的权,通过利用三次样条插值函数在节点处的弯距加权和找到了一种计算区间中点处二阶导数近似值的新方法,并给出了计算误差.数值例子表明该方法是有效的.     

高考函数综合试题考点解析

函数综合题以函数性质为依托,融导数、不等式、分类讨论和数学建模等知识于一体,以其抽象多变、解法灵活、能力要求高等特征而成为高考的热点试题.下面对近年常考的综合试题的考点进行解析,希望能对同学们复习备考有所帮助和启示.考点1　函数概念与性质综合题例1　(2001年新课程卷高考题)设a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数.1求a的值;2证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.解析:可严格按照定义去解决函数奇偶性、单调性问题;亦可用导数知识去证明单调函数.1解:由偶函数的定义得exa+aex=1aex+aex(a-1a)(ex-1ex)=0.∵上式对任意x∈R都成立,∴a-a-1=0,…     

用微分中值定理证明不等式

在高中数学“微积分初步”中导数的应用这一章,讲了拉格朗日中值定理,并给出如下形式: f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),a<ξ1时,证明不等式e~x>ex成立)就是应用中值定理上述形式证明的。当然,例3     

两个重要不等式及其在高考中的应用

近几年高考数学压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围,其中活跃着一类与＂ex＂和＂ln x＂有关的函数不等式.本文通过对两个重要函数不等式及其变式在近几年高考压轴题中的应用为例进行探究,以供大家参考.一、两个重要函数不等式的证明结论 1若x∈R,则ex≥x＋1（当且仅当x=0等号成立）.证明构造函数f（x）=ex-x-1,     

探究问题本质,提升解题能力--导数中的切线问题研究

一、考题探究(2021年高考全国I卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )A.eb相似文献   

高考复习《极限、数学归纳法、导数》专题系列讲座(一)

要点解读复习本专题我们应掌握(1)理解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题:(2)了解数列极限和函数极限的概念:(3)掌握极限的四则运算法则,会求某些数列与函数的极限:(4)了解函数连续的意义,理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质:(5)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念;(6)熟记基本导数公式[c,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数];掌握两个函数和、差、积、商的求导法.了解复合函数的求导法则,会…     

探究2020年理数全国1卷导数压轴题的解题思路

用导数证明不等式是高中数学的难点与热点问题,题型多,方法活,而其中很重要的一类不等式与泰勒公式(ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+···+xn/n!+···)及其变形有关.我们以2020年高考全国理1卷导数压轴题为例,探究解题思路,通过多解的分析与呈现,意在扩展同学们的思路,提示同学们如何从不同角度分析问题,广泛联系所学知识,提升解决问题的能力.     

利用导数研究函数性质的几类典型失误及归因分析

导数内容是高中数学新课程的重要内容之一,然而我们在教学中经常发现,很多学生在利用导数求解函数的单调性、极值和最值、曲线的切线中会出现几类典型失误.下面结合笔者的教学实践,归类例析,纠错清源.1利用导数研究函数的单调性例1判断函数f(x)=1/x-x~3的单调性.失误再现因为f’(x)=-1/x~3-3x~2<0,所以f(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.