初中最值问题的常用解法

最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1　配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1　求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6xy+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-…     

代入法求分式值的几种途径

在分式的学习中 ,经常遇到含条件的分式求值问题。解答这类问题时 ,可根据题设和求式的特点 ,灵活运用代入法。下面以实例介绍代入法求分式值的几种途径。一、求值代入例 1.若 |x- y 3|与 |x y- 1995|互为相反数 ,则 x 2 yx- y的值是。( 1995年希望杯全国数学邀请赛初一试题 )解 :依题意 ,有|x- y 3| |x y- 1995|=0 ,∵ |x- y 3|≥ 0 ,|x y- 1995|≥ 0 ,∴ x- y 3=0 ,x y- 1995=0。解之 ,x=996,y=999,∴原式 =996 2× 999996- 999=- 998。二、比值代入例 2 .若 x2 =y3,则 7x2 - 3xy 2 y22 x2 - 3xy 7y2 的值是。( 1995年大连市初中数学竞赛…     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

例析分式求值

分式的求值问题,涉及到分式的运算法则、约分、通分、乘法公式、因式分解等多个知识点.利用分式运算中的一些技巧,可以达到化繁为简、巧妙求解的目的. 一、整体代入法例1 已知1/x+1/y=5,求(2x-5xy+2y)/(x+2xy+y)的值. 解法1:因1/x+1/y=5,故xy≠0.     

最值问题的求解八法

最值问题,也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题.这类问题出现的试题,内容丰富,知识点多,涉及面广,解法灵活多样,而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法,供读者参考.一、配方法例1(2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛)2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为.解:原式=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2·27·-10.由此可知,当x=2,y=-1时,有最小值-10.二、设参数法例2(《中等数学》奥林匹克训练题)已知实数x、y满足x3+y3=2.则x+y的最大值为.解:设x+y=k,易知k>0.由x3+y3=2,得(x+y)(x2-xy+y2)=2.从而,xy=13(k2-k2).由…     

因式分解中的数学思想

<正>一、整体思想整体思想就是将待求问题中的某个代数式视为一个整体,合理地转化其条件及结论的形式、结构,将问题转化到熟悉的知识范围内来解决的数学思想.例1分解因式x²+2xy+y²-x-y-2.解析:从整体的角度出发,视x+y为整体,寻求解题的途径.原式=(x+y)²-(x+y)-2=(x+y-2)(x+y+1).     

抓住一元好分解

对于含多个字母的因式分解题,大多数学生都不知如何下手求解,在此,本人给出一种比较实用的方法,那就是以题中某个字母为主元,其他字母看成是常数,这样将多元问题变为一元问题,问题便轻易解决,下面举例说明.例1分解因式2x~2-5xy+2y~2+7x-5y+3.解:视x为未知元,变形,则有:原式=2x~2+(7-5y)x+(2y~2-5y+3)=2x~2+(7-5y)x+(y-1)(2y-3)=[2x-(y-1)][x-(2y-3)]     

一道易错题的多角度解答

<正>在一次九年级数学考试中,试卷有这样一道试题：若W=2x²-4xy+5y²+4x-2y+3,且x,y为实数,则W的最小值是___.不少同学是这样解答的：W=(x²-4xy+4y²)+(x²+4x+4)+(y²-2y+1)-2=(x-2y)²+(x+2)²+(y-1)²-2.∵(x-2y)²≥0,(x+2)²≥0,(y-1)²≥0,∴W的最小值是-2.这是一道二元函数最值问题,是典型的代数推理题.解答时,     

一道二元函数最值问题的多种解法

<正>二元函数最值问题是高中数学的一大难点,近年来高考试题中也屡有考查.本文试从不同的角度去思考一道二元函数的最值问题,呈现如下,以期与广大读者交流.题目已知x,y>0,且x+3y+3xy=8,求x+3y的最小值.解法1不等式法由一次式x+3y与二次式3xy,联想基本     

-(x~2+y~2)/2≤xy≤(x~2+y~2)/2的应用(高一、高二、高三)

在“希望杯”试题中,有一类多元函数的条件最值问题,题目中含有xy和x2+y2两个因子,若利用-(x2+y2)/2≤xy≤(x2+y2)/2这一简单不等式来求解。简捷明快,事半功倍.     

方差公式的应用

某些数学问题,若利用方差公式其中求解,并借助非负数的性质,则能收到化繁为简化难为易的效果. 一、用于求值例1 已知实数x、y、z满足x+y=5,z2=xy+y-9,求x+2y+3z的值. 解:由条件组成方程组整理,得(x+1)2+y2=18-2z2,     

一类二元最值问题的一般解法

<正>已知Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(≤0),求目标函数z=f(x,y)的取值范围或最值,这类问题在近几年竞赛和高考题中频繁出现.本文通过实例从三角换元的角度探讨此类问题的解法.例1已知实数x、y满足2x2-2xy+y2=1,则x+2y的取值范围为.     

分式通分的七种技巧

分式运算经常涉及到通分 ,若能根据分式的结构特征 ,采取相应的通分方法和技巧 ,则不仅可驭繁为简、化难为易 ,而且可减少出错率 ,达到事半功倍之效。本文通过课本习题介绍分式通分的七种技巧。一、分解因式 ,约后通分例 1 .计算 :x2 2 xy y2x2 y xy2 - x2 - 2 xy y2x2 y- xy2 。解 :原式 =( x y) 2xy( x y) - ( x- y) 2xy( x- y)=x yxy - x- yxy=2 yxy=2x。二、通盘考虑 ,整体通分把题目中的多项式视为一个整体进行通分 ,比逐项通分计算量小、速度快。例 2 .计算 :x3x- 1- x2 - x- 1。解 :原式 =x3x- 1- ( x2 x 1)=x3 - ( x- 1) ( x2 x …     

建构二次方程 巧解数学赛题

一元二次方程历来是初中数学竞赛的重点和热点,利用建构一元二次方程的思想解决相关问题的命题,可以说备受命题者的青睐,因而这类赛题在各级各类数学竞赛中频频出现.它的应用之广,作用之妙,常常令人叫绝.本文结合具体竞赛试题,分类介绍建构一元二次方程解数学竞赛试题的若干应用.1建构二次方程求值例1已知x,y均为实数,且满足xy+x+y=17,x2y+xy2=66.求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值.(2000,山东省初中数学竞赛)分析:由观察可知,题设两个等式均可表示为x+y与xy的形式,且等于常数,因此,可利用与系数的关系建构一元二次方程求解.解由已知条件可得xy+(x+y…     

用判别式法求函数值域剖析

<正>判别式法是高中求分式函数值域的常用方法.但由于对此方法的原理不很清楚,许多学生在解题过程中对一些条件不能正确的处理,从而导致解题出错.下面以几个题目为例,说明判别式法的原理以及在使用过程中一些要注意的地方.例1求函数f(x)=x2-2x-32x2+2x+1的值域.解:∵2x2+2x+1=2 x+()122+12>0恒成立,∴函数的定义域为R.图1将原函数等价变形为关于x的方程:(2y-1)x2+(2y+2)x+y+3=0……(*)(1)2y-1=0即y=12时,代入(*)式,求得x=-76.∴y可以取到12.     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …     

莫要忽视公式成立的条件

<正>商的算术平方根化成算式平方根的商是有条件限制的,即公式(a/b)^(1/2)=a(1/2)=a^(1/2)/b(1/2)/b^(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)(1/2)仅当a≥0,b>0时才能成立.往往有同学忽视公式成立的条件,请看下面两道题:例1已知x+y=3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)(1/2)的值.例2已知x+y=-3,xy=2.求(x/y)^(1/2)+(y/x)(1/2)+(y/x)^(1/2)的值.这两题的结构相同,区別仅在于已知条件中两数和的符号相反,但是在解法上却是不一样的.     

聚焦非线性目标函数的最值问题

<正>在高考试题中,线性规划是高频考点,这类问题有两个难点:一是目标函数非线性;二是求线性规划问题中参数的取值范围.本文就第一类问题目标函数非线性,其最值的求法进行分类解析.一、斜率型例1已知实数x,y满足不等式{2x-y≥0,x+y-4≥0,x≤3,则2x³+y3+y³/x3/x²y的取值范围是____.解2x2y的取值范围是____.解2x³+y3+y³/x3/x²y=2·x/y+(y/x)2y=2·x/y+(y/x)².令k=     

含绝对值符号的方程问题

<正>绝对值是初中数学中的一个基本概念,在初中数学竞赛中时常出现它的身影.本文仅对含绝对值符号的方程问题进行方法解析,供参考.1.用绝对值的非负性求解例1(2013年全国初中数学联合竞赛)已知实数x、y、z满足x+y=4,|z+1|=xy+2y-9,则x+2y+3z=.解由x+y=4,得x=4-y.代入|z+1|=xy+2y-9,     

一道高考题求解视角探索

<正>一、试题呈现(2015年浙江高考题)若实数x,y满足x~2+y~2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为_.二、试题解析这是2015年浙江省高考数学理科卷的第14题,问题要求的是在约束条件(实数x,y满足x~2+y~2≤1)下,以x,y为变量的二元函数(|2x+y-2|+|6-x-3y|)的最小值.问题