2019年北京卷理科第18题别解与推广

<正>试题已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N,直线y=-1分别交直线OM、ON于点A、B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.这是2019年北京卷理科第18题,我们首先给出试题的一种新解法.解答 (Ⅰ) 由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),则4=2p,所以抛物线C的方程为x2=-4y     

对一道解析几何联考题解法的探究与拓展

一、题目呈现 试题:(2018年安徽省江南十校联考题第20题)A、B、C、D是抛物线E:x^2=2py(p>0)上的四点,A、C关于抛物线的对称轴对称且在直线BD的异侧,直线l:x-y-1=0是抛物线在点C处的切线方程,且BD//l。(1)求抛物线E的方程。(2)求证:AC平分∠BAD。     

一道2022届高三调研试题的探究

<正>题目 已知抛物线C:y²=2px(p>0),点M在抛物线C上,点N在x轴的正半轴上,等边△OMN的边长为求C的方程;(2)若平行x轴的直线l交直线OM于点P,交抛物线C于点Q,点T满足■,试判断TM与抛物线C的位置关系,并说明理由.(2022届广州市荔湾区高三上学期数学调研试题第21题)本题的答案是：(1)抛物线C的方程为y²=4x;(2)直线TM与抛物线C相切.第(2)问内涵丰富,不应解完即止,可进一步引导学生进行适当的探究.     

从一道模拟试题到一道联赛试题

1问题提出笔者所在学校的高三模拟试卷中有这样一道试题:已知点F是抛物线C:y2=x的焦点,S是抛物线C在第一象限上的点,且|SF|=5/4.(1)求点S的坐标;(2)以点S为圆心的动圆S与x轴分别相交于     

对一道中考题的解法探究

<正>试题(2019年山西中考题)如图1,抛物线y=ax~2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物线上一动点,设点D的横坐标为m(1 相似文献   

两道考题 一脉相承

1 问题的提出试题1 设抛物线 C:y=x~2的焦点为 F,动点 P在直线 l:x-y-2=0上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,且与抛物线 C 分别相切于 A,B 两点。证明:∠PFA=∠PFB.(2005年江西省高考理科数学试题压轴题)评注这是一道颇具匠心、意境幽深的试题,以抛物线的切线问题为背景考查抛物线的性质。为了     

一道全国联赛试题的思考

题目 :已知点 A(1,2 ) ,过点 (5 ,- 2 )的直线与抛物线 y2 =4x交于另外两点 B,C,那么△ABC是 (　 )(A)锐角三角形　 (B)钝角三角形(C)直角三角形　 (D)答案不确定(1999年全国高中数学联合竞赛试题 )答案选 (C) ,解答略 .原题可以改述为 :过点 A(1,2 )的两条互相垂直的直线与抛物线交于另外两点 B,C,则过 B,C两点的直线恒过定点 (5 ,- 2 ) .思考 1　显然点 A(1,2 )是抛物线 y2 =4x的通径的一个端点 ,一般地 ,抛物线 y2 =2 px的通径的端点是否也具有这一性质 ?答案是肯定的 .过点 A(p2 ,p)的两条互相垂直的直线与抛物线 y2 =2 px相交…     

洞悉问题本质 归纳提炼拓展——对几道抛物线问题的深层次探究

<正>本文以圆锥曲线一道课本习题与两道全国高考试题、一道自主招生试题为例,谈谈如何总结建立联系、提炼性质,如何对问题进行拓展引申.一、提出问题问题1(普通高中课程标准实验教科书(数学)选修2-1,习题2.6(3)第6题,2001年全国高考试题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,     

一类圆锥曲线等角问题的拓展与思考

<正>一、问题呈现试题1 (2018年全国高考题)设抛物线y²=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M、N两点.(1)当与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.试题2 (2018年全国高考题)设椭圆C:     

追寻高考数学试题中的奇异美——2018年北京高考理科数学试题第19题的探究

<正>2018年北京高考数学试题理科第19题:已知抛物线C:y²=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y²=4x的一个有     

一道中考压轴题的解法探讨

<正>一、试题呈现如图1,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=1/2x2+bx+c向上平移72个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在ABC内,求m的取值范围;     

一道抛物线试题的解答与推广

<正>1 试题呈现已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,直线y=x-2与抛物线C交于A,B两点.(1)求△FAB的面积;(2)过抛物线C上一点P作圆M:(x-3)²+y²=4的两条斜率都存在的切线分别与抛物线C交于异于点P的两点D,E.证明：直线DE与圆M相切.本题是典型的抛物线多动点问题,结合直线与圆的位置关系进行考查,对学生逻辑推理能力和数学运算能力有较高的要求.直线与圆锥曲线综合问题,常规方法是联立直线与曲线方程,     

直接写答案 思路要厘清

<正>近几年各地中考解答题中频频出现"直接写答案"的设问,这类试题虽不要求写出解答过程,但答案的得出并不直接,要有较高的数学素养才能求得.现举一例探究其解答思路,供参考.题目(2018年沈阳市中考压轴题)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线C_1:y=ax²+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C_2:y=2x2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C_2:y=2x²+x+1,动直线x=t与抛物线C_1交于点N,与抛物线C2交     

解析一道二次函数综合题

<正>一、试题呈现如图1,已知抛物线y=-x²+3x+4交y轴于点A,交x轴于点B、C(点B在点C的右侧).过点A作垂直于y轴的直线l,在位于直线l下方的抛物线上任取一点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q,连结AP.(1)写出A、B、C三点的坐标;(2)点P位于抛物线的对称轴的右侧,1如果以A、P、Q三点构成的三角形与     

一道二次函数应用题的编制历程

<正>一、试题展示已知直线l:y=kx+b与抛物线y=x²相交于A(-1,m),B(2,n).(1)求直线l的解析式.(2)将原抛物线向下平移t(t> 0)个单位,得到的新抛物线与直线l相交于C,D两点(C在D左侧).(1)求证:AC=BD;(2)点Q在x轴上,设新抛物线顶点为P,当四边形PCDQ为平行四边形时,求它的面积.二、命题过程1.命题立意考查的主要知识点:点的坐标,一次函数的解析式、二次函数     

由一道高考题引出的新结论

2011年浙江高考(理)第21题:已知抛物线C1:x2=y,C2:x2+(y-4)2=1的圆心在点M.(Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离;(Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点.若过M,P的直线垂直于AB,求直线l的方程.     

挖掘课本“四题”潜能，加大培养能力力度

2001年高考数学理科(19)题、文科(20)题 试题设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O. 本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力.1 来源1.1 引用《平面解析几何》课本第101页8题: “过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2,求     

一道中考压轴题的解析与反思

<正>一、试题呈现(2019年长沙中考第26题)如图1,抛物线y=ax²+6ax(a为常数,a> 0)与x轴交于O,A两点,点B为抛物线的顶点,点D的坐标为(t,0)(-3 相似文献   

一道解析几何试题的探究与推广

<正>1原题再现在最近一次高三数学模拟考试中,有如下一道解析几何试题:已知抛物线C:x²=2y,直线l:y=x-2,点P(x_0,y_0)是直线l上的任意一点,过点P作抛物线C的两条切线PA、PB,切点分别为A、     

圆锥曲线的一个通性

2001年的一道高考试题:设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,C在抛物线的准线上,BC∥x轴.