关于一道赛题的思考

题目 设0〈α〈β〈γ〈π/2，且sin^3α＋sin^3β＋sin^3γ=1。求证：tan^2α＋tan^2β＋tan^2γ≥3√3/2。     

解答三角题的几点策略

一、应用配方法 例1 已知3sin^2α＋2sin^2β=2sinα,求sin^2α＋sin^2β的取值范围。解 由已知sin^2β=2sinaα—3sin^2α/2≥0=0≤sinα≤2/3。将所求式化为一元函数,并配方sin^2α＋sin^2β=sin^2α＋ 2sinα-3sin^2α/2=- 1/2sin^2α＋sinα=- 1/2（sinα-1）^2＋1/2     

三角计算中应注意角范围的精确性

有这样一道解答题：已知sinθ=-3/5,3π〈θ〈7π/2，求tanθ/2的值，许多同学采用下面的解法. 解 由sin=2sinθ/2cosθ/2/sin^2θ＋cos^2θ/2=2tanθ/2/1＋tan^2θ/2,得2tanθ/2/1＋tan^2θ/2=-3/5     

隐含条件藏身何处？

1．隐含在有界性中 例1 若2sin^2α＋sin^2β=3sinaα,求sin^2α＋sin^2β的取值范围。     

有关三角恒等变换的六大考点

两角和与差的三角函数 例1 已知tanα,tanβ是方程x^2-5x＋6=0的两个实根,求2sin^2（α＋β）-3sin（α＋β）cos（α＋β）＋cos^2（α＋β）的值。     

由一道三角函数题错解引发的题源探究及应用

1．问题提出 问题已知0≤α〈β〈γ〈2π,且{cosα＋cosβ＋cosγ=0 sinα＋sinβ＋sinγ=0,求α-β的值。     

一个三角不等式的证明与应用

定理 对于αi,βi,γi∈（0,π）,其中i=1,2,且α1＋α2＋β1＋β2＋γ1＋γ2=2π则sinαisinβ1sinγ1＋sinα2sin2sinγ2≤2sin（α1＋α2）/2 sin（β1＋β2）/2sin（γ1＋γ2）/2（1）当且仅当α1=α2,β1=β2,γ1=γ2时,（1）式取等号。     

三十个有趣的不等式问题

1.已知α,β,γ∈（0,π/2）,且tanα＋tanβ＋tanγ=3,求证： 1/cosα cosβ＋1/cosβ cosγ＋1/cosγ cosα≥6.     

一个分式不等式的探究

文[1]提出了如下问题：若0〈θ〈π/2,f（θ）=sin^2θ/sin^4θ＋cos^2θ＋cos^2θ/sin^2θ＋cos^4θ,试求函数f（θ）的最大值。     

一道联盟杯竞赛题的解法、推广与背景

题目 已知角α为锐角,则函数y=1/sinα＋3√3/cosα的最小值为____.（第五届联盟杯） 1．多种解法 解法1 y=1/sinα＋3√3/cosα,求导,得y′=-cosα/sin^2α＋3√3sinα/cos^2α     

同角三角函数的神奇功效

同角三角函数的基本关系式主要有：sin^2α＋cos^2α=1,sinα/cosa=tanα.它反映了同一个角的不同,三角函数间的联系．下面就sin^2α＋cos^2α=1概述其常见的运用．     

一类三角命题的逆命题解答

三角学里,常见如下命题: 命题1 如果α,β都是正锐角,它们的正切依次是1/2,1/3。求证α+β=π/4。命题2 如果α、β、γ都是正锐角,它们的正切依次是1/2、1/5、1/8或1/2、1/4、1/(13)或1/3、1/3、1/7。求证α+β+γ=π/4 命题3 如果α、β、γ、ω都是正锐角,它们的正切依次是1/3、1/5、1/7、1/8或1/3、1/4、1/7、1/(13)。求证α+β+γ+ω=π/4。等等。此类命题、连续使用和角的正切公式是不难加以证明的。但对于它们的逆命题,该如何解答呢?通过对此类逆命题的解答。可以从另一侧面巩固加深对和角正切的认识,可以学会解某一类的不定方程、可以开发智力、启发思维、丰富教学内容、提高解数学题的能力。     

联想出妙解——构造直角三角形解题一例

问题已知正数a,b(a≠b)与锐角α,β(α≠β)满足(a^2/a-b·(sin^2α/sin^2β-1))+b=b·tanα-a=√(a^2+b^ 2),求α+β的大小.分析题中给出关于正数a,b与锐角α,β的三角函数之间比较复杂的等量关系,根据其结构特点,直接求α+β的度数,往往使人感到束手无策,所以直接求解此题具有一定的难度.     

巧用三倍角公式解题

由三倍角的正弦、余弦公式sin3α=3sinα—4sin^3α,cos3α：4cos^3α-3cosα可得sin^3α=1/4（3sinα—sin3α）cos^3α=1/4（3cosα＋cos3α）．利用这一公式可以快速、简捷的解决一些问题．现举列说明．     

关于解析函数的某类子族的若干性质

设（α,β,γ）表示在单位圆U={z∈C;｜z｜〈1}内形为f（z）=z＋a2z^2＋…且满足条件R｜αf（z）＋βzf＂（z）}〉γ （β〉0;0≤γ〈α≤1;z∈U）的解析函数族;本文我们给出了函数族R（α,β,γ）的系数充要条件,星象和凸象半径,极值点以及偏差估计,所得到的结果推广了一些相关文献的结果．     

第四章 三角函数

[例22]已知π/2〈β〈α〈3π/4,且有cos（ α-β）=12/13,sin（α＋β）=-3/5,求sin2α的值.     

直线与圆锥曲线的位置关系问题

判断直线与曲线的关系问题 例1 点P（x0,y0）在椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0〈β〈π/2,直线l2与直线l1：x0/a^2＋y0/b^2=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ．     

追根溯源，解除疑惑

在教学过程中曾碰到这样一个问题： 引例已知π〈α＋β〈4/3π，-π〈α-β〈π/3，求2α-β的范围．     

算子在解析函数上的应用

用A表示在E={z：｜z｜〈1）内解析，具有形式f（z）=z＋^∞∑n=2 anzn的全体函数组成的类。当f∈A时,记S^＊（γ）,C（γ）,K（β,γ）,K^＊（β,γ）为γ阶星象函数，γ阶凸象函数，γ型β阶近于凸函数，γ型β阶拟凸函数类，0≤β〈1,0≤γ〈1.用算子D^α刻划上述四个函数类的新子类Sα^＊（γ）,Ca（γ）,Kα（β,γ）,Kα^＊（β,γ）建立了包含关系。     

用非常规思维方法证明一个三角恒等式

若α,β,γ〉0且α＋β＋γ〈π,则有如下三角恒等式： sinαsinγ＋sinβsin（α＋β＋γ）=sin（α＋β）sin（β＋γ） 如何证明这一结论呢？常规思维方法是,将等式两边分别使用积化和差后,再进行变形,证明过程较为麻烦．观察这一等式,只含有角的正弦函数,如果不看正弦函数符号,则变为：