2010年江苏高考理科数学试题12题详解

已知实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤（x2）/（y）≤9,则（x3）/（y4）的最大值是____. 解法1 设x3/y4=（xy2）m（x2/y）n,对比次数得：m＋2n=3,2m-n=-4.解得m=-1,n=2.由已知得：1/8≤1/xy2≤1/3,16≤x4/y2≤81,两式相乘得：2≤x3/y4≤27.当xy2=3且x2/y=9时取最大值27,此时x=3,y=1.     

从一题的复杂解法回看线性规划的教学

题目设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤x2y≤9,则x3y4的最大值是___. 本题为2010年江苏高考填空题第12题,公认较好的解法为: 因为4≤x2/y≤9,所以16≤(x2/y)2≤81,① 因为3≤xy2≤8,所以18≤1/xy2≤1/3,② 因为x3/y4＝(x2/y)2·1/xy2, 所以①②两式相乘得2≤x3/y4≤27, 当x＝3,y＝1时满足条件,右边等号能取到,故x3/y4的最大值是27.     

一种“不科学”的好解法

解几个方程,其中x/x2 1 x2 1/x=5/2学生中有两种解法,引起全班激烈争论.解法1设x/x2 1=y,则x2 1/x=1/y,原方程变形为:y 1/y=5/2,整理得:2y2-5y 2=0,解得:y1=2,y2=1/2,当y=2时,x2 1/x=1/2,2x2-x 2=     

由一道试题的“错解”所引起的思考与反思—均值不等式的应用与分析

我校高二级这次月考数学第（18）题是：已知x,y都是正数,且1/x＋4/y=1,求x＋y的最小值。据笔者阅卷统计约有95％的学生的解答如下：解法1：∵x〉0,y〉0,∴1=1/x＋4/y≥4/√xy即√xy≥4 ①.∴x＋y≥2√xy≥8 ②.即x＋y的最小值是8。     

“思维受阻”怎么办？——从寻求一个题目的解法中想到的

近日笔者偶解一题,题目虽为简单,然收获甚丰.现将寻求其解法的整个过程及心得给予阐述,以期与大家共享.题目求函数y=12x-9x(x∈[1213,4])的最小值.思路1将这个函数转化为有理函数.由于x∈[1213,4],所以y=f(x)>0,于是原函数等价于y2=(12x-9x)2,x∈[1213,4].整理得到关于x的一元二次方程:y2x2-12x 9=0(x∈[1213,4]).①因为①有实数解的必要不充分条件是:Δ=(-12)2-4·y2·9≥0,所以y2≤4.又因为y>0,可得y≤2.不难发现,由这个结论得不到y的最小值.思维受阻,放弃这个想法.(可惜)思路2有理函数u=y2=12x-9x2,x∈[1213,4]的最小值有其它的解法吗?由…     

一道行程问题的多种解法

例 :甲、乙两人同时从 A、B两地出发 ,相遇后 ,甲用 9小时到 B地 ,乙用4小时到 A地 ,求甲、乙两人从 A、B走完全程各用几小时 ?【解法 1】设甲的速度为 x公里 /时 ,乙的速度为 y公里 /时 ,则相遇后甲到 B地所走的路程为 9x公里 ,乙到 A地所走的路程为 4 y公里。由题意可得 :4 yx=9xy,则 4 y2 =9x2 ,∴ 2 y=3x。则甲走完全程所用的时间为 t甲 =4 y 9xx =6x 9xx =15(小时 ) ;乙走完全程所用的时间为 t乙 =4 y 9xy =4 y 6yy =10 (小时 )。【解法 2】设甲从出发到相遇走了 x公里 ,乙从出发到相遇走了 y公里 ,由题可知相遇后 ,甲 9小时到 B地…     

高考复习中典型问题问与答(一)

1.问:若x>0,y>0,且1x 9y=1,则x y的最小值是A.8B.12C.16D.20解:∵1=1x 9y≥2x9y",∴xy≥36。又x y≥2"x y≥2"36=12,∴x y的最小值是12。上述解法对吗?(湖南省祁东县育贤中学王同学)高sir:上述解法在第一次运用均值不等式时取等号的条件是“1x=9y”,第二次运用均值不等式时取等     

一特殊类型的二次曲线交点的代数解法

例1若双曲线9xk22-4yk22=1与圆x2 y2=1没有公共点,求实数k的取值范围.此题的常见解法如下:画出题意图如右下,可知双曲线9xk22-4yk22=1与圆x2 y2=1没有公共点的等价条件为:9k2>1,即|3k|>1,∴k>31或k<-31.此解法直观明快,显示了数形结合的威力.然而,大多数学生却习惯于如下解法:将圆的方程变形,得y2=1-x2,代入双曲线方程,得x29k2-14-k2x2=1.整理,得13x2-(9 36k2)=0由Δ1=36k2 9<0,得k2<-14故k∈Φ.即,不存在实数k使双曲线与圆没有公共点,也就是任意实数都不能使双曲线与圆有公共点.显然,上述解法有误.如何处理上述数与形的冲突,不少老师的做法…     

是巧合还是必然?——由一道习题的解答引起的思考

正一、问题及解法在复习《集合与常用逻辑用语》之后,我让学生课下做高三一轮复习资料上的一道题:若三条抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴有交点,求a的取值范围.第二天上课时,发现学生的解法大都如下:     

谈一道习题的解法

在一些资料中常见到如下一类习题,现例举一个题及解法于后。题目:已知x+y/z=y+z/x=z+x/y=k (1) 求k之值 (解1) 由(1)可得(2)+(3)+(4)得2(x+y+z)=k(x+y+z) 两边同除以(x+y+z)可得k=2. 另一种解法是:上法中(2)—(3)得y—x=k(x—y) ∴ k=—1 以上两种解法的解,确系原题的解。显然各种解又是不完善的,解法也是不妥当的。这样的错误     

一道错题引发的思考

例1 k取什么值时,方程组{x-2y=1-0.5k,3x-4y=2k的解中x比y的值小． 这类试题的通常解法是,解出方程组的解 {x=3k-k, y=7/4k-3/2,令x〈y,得3k-2〈7/4k-3/2.     

妙用不等式“A/x＋B/y≥（√A＋√B）^2/x＋y”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值: 题目1 已知x,y∈R ,且1/x 4/y=1,求4x 9y的最小值; 题目2 巳知x,yE R ,且2x 9y=5,求2/x 1/y的最小值.     

因式分解中的变换技巧

一、拆项变换例 1　分解因式 :x3- 9x 8。解 :原式 =( x3- 1) ( - 9x 9) =( x- 1) ( x2 x 1) - 9( x- 1) =( x- 1) ( x2 x- 8)。注 :本题是通过将 8拆成 - 1和 9后 ,再用分组分解法分解 ;也可将 - 9x拆成 - x和 - 8x,或将x3拆成 9x3和 - 8x3分解。二、添项变换例 2　分解因式 :x4 y4 ( x y) 4。解 :原式 =x4 2 x2 y2 y4 -2 x2 y2 ( x y) 4=( x2 y2 ) 2 -2 x2 y2 ( x y) 4=〔( x y) 2 -2 xy〕2 - 2 x2 y2 ( x y) 4=2〔( x y) 4- 2 xy( x y) 2 x2 y2 〕=2〔( x y) 2 - xy〕2 =2 ( x2 xy y2 ) 2 。注 :本题是关于 x、y的对称式 ,…     

一道高考题的解法及推广

2005年重庆卷(理工农医类)第5题:若x,y是正数,则(x 21y)2 (y 21x)2的最小值是()A.3B.27C.4D.29解法1(x 21y)2 (y 21x)2≥2(x 21y)(y 12x)=2(xy 41xy 1)≥2(2xy41xy 1)=4,当且仅当x 21y=y 21xxy=41xy时,即x=y=22时取等号.所以所求最小值为4,故选C.解法2(x 21y)2 (y 21x)2≥21(x     

2010年高考江苏省数学卷试题解法集锦：江苏卷第12题

题目 设实数x,y满足3≤xy^2≤8,4≤x^2/7≤9,则x^3/y^4的最大值是____. 解法1 观察条件式与被求式的结构得     

巧解两道最值题

例1 实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5,设s=x2+y2,则1/smax+1/min=______(1993年高中数学联赛试题) 该题意在求smax和smin,下面就求smax和smin给出不同的解法.     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:“过点P(2,1)作直线与椭圆x2/16 y2/4=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程.”学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法. 这时,有一个学生举手,说自己还有第三种解法,她的解法如下: 如图1,设A(x,y),因为点P平分弦AB,所以B点坐标为(4-x,2-y). 因为A、B两点在椭圆x2 4y2=16上,     

一道不等式证明题的几种证法

在学习不等式的解法和证明这一部分时,有这样一道例题: 已知:x＞0,y＞0,x 2y=1,求证:1/x 1/y≥3 2√2. 在该题的教学中,学生思维特别活跃,一题多解,竞相发言,课堂气氛高潮迭起.下面是一位同学课后根据课堂讨论情况整理的笔记,他对该题的解法进行了总结.     

一道"希望杯"题的多解·类比·推广(高二、高三)

题 当x,y∈R时,函数f(x,y)= (x y)2 (1/x-y)2的最小值是. (第十五届(04年)"希望杯"高二1试第18题) 解法1 由a2 b2≥1/2(a b)2,得 易知当x y=1/x-y,且x2=1/x2,即 x=±1,y=0时,f[(x,y)]min=2. 解法2 由a2 b2≥2ab,得     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …