热点五 阅读理解型问题

一、探究解题新思路题型一通过阅读理解,改正解题中的错误典例1阅读下列解题过程:题目:已知方程x2 3x 1=0的两个根为α、β,求αβ! αβ!的值.解:∵Δ=32-4×1×1=5>0,∴α≠β(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α β=-3,αβ=1(.2)∴αβ! αβ!=!α!β !!αβ=α β!αβ=-13=-3(.3)回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.研析:此类考查代数中解题过程错误的阅读理解题,考查重点往往是一些容易被我们忽视的隐含条件.例如本题中αβ! !α!β(α≥0,β>0)的错误运用,应对这些隐含条件特别重视…     

例谈数学中考新题型——阅读题

要学好数学,必须学会阅读数学课本和其它数学书刊,增强自己的阅读能力,有了阅读能力,还能为终身学习以及适应全球知识爆炸、知识日新月异的社会打下坚实基础.对阅读能力的考查受到了广泛重视,许多地方的中考试卷中特地设置了阅读题.例1(沈阳市2004年)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.(2)∴αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.(3)阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出…     

数学阅读理解题分类解析

随着数学课程理念的变化,阅读理解题已成为近年来中考命题的热点.这类题目形式灵活多样,既考查同学们的阅读理解能力,又考查同学们获取信息后的抽象概括能力和决策判断能力,对提高同学们的逻辑思维能力,强化数学应用意识都有重要的意义.下面将这类题目进行分类解析,供同学们参考.一、判断纠错型例1阅读下列解题过程.题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解:因为Δ=32-4×1×1=5>0,所以α≠β.①由一元二次方程根与系数的关系,可得α+β=-3,αβ=1,②所以αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.③阅读…     

关于复数的两个问题

一、准确掌握复数的运算性质如|Z|n=|Zn|(n∈N)【例1】关于x的方程x2 x m=0的两虚根α、β满足|α-β|=3求实数m的值错解:由根与系数关系可知α β=-1αβ=m∵|α-β|=3∴|α-β|2=32∴(α-β)2=9,(α β)2-4αβ=9;1-4m=9∴m=-2由题中αβ=m可得|α|2=m,又已知α是虚数,由此可     

恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ在解题中的应用

设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数,     

从一道三角习题的解法谈起

人教版数学第一册(下)第89页复习参考习题15:已知α,β都是锐角,且sinα=55,sinβ=1100,求证α β=4π.错解:由sinα=55,0<α<2π,得cosα=255.由sinβ=1100,0<β<2π,得cosβ=31010.∴sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ=55×31010 255×1100=22.又0<α β<π,则α β=4π或α     

辨清题目的细微差别

解题中需要类比,但若忽视类似题目的细微差别,却容易导致谬误,兹举例对比说明。例1 (1)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二实根,求|α|+|β|的值。 (2)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二根,求|α|+|β|的值。解:(1)α+β=-2。αβ=α,(|α|+|β|)~2=α~2+β~2+2|αβ|=(α+β)~2-2αβ+2|αβ|=4-2α+2|α|,Δ=4-4α≥0,     

代数变形中的几种常见符号错误

1 忽视偶次根式对被开方数的符号要求例1 已知αβ是方程x2 4x 1=0的根,求的值. 错解由题意得α β=-4 ,αβ=1故分析显然,得到答案-4是不对的.由方程可知α相似文献   

纸上得来终觉浅 绝知此事要躬行——试论解题之后的再回顾

著名数学教育家波利亚把解题过程划分为审题、拟订解题计划、实现解题计划和回顾四个阶段.他说:“即使相当好的学生,当他得到问题的解答并且干净利落地写下论证后就合上书本找点别的事情来干,那他就错过了解题的一个重要而有教益的方面:通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这一结果得出这个结果的路子,学生可以巩固他们的知识和发展他们的能力[1].这就启示我们在完成一道题后还应考虑这样的问题:你能检验这一结果或这一论证吗?你能用不同方法导出这一结论吗?有没有更为简单和直观的方法,你能把这一结果或方法用于其他的问题吗?笔者想从以下几个方面略谈拙见,以期引玉.1回顾结论,能发现并纠正明显的错误例1α、β是关于x的方程4x2+4mx+m+2=0的两个根,求α2+β2的最小值及m的值.解α+β=-m,αβ=m4+2,∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=m-412-1167,当m=41时,α2+β2取最小值-1167.思考α2+β2能为负值吗?m=14时原方程有解吗?纠正由Δ=16(m2-m-2)≥0,得m≤-1或m≥2,故当m=-1时,α2+β2的最小值是21.2回顾结论,能发现并纠正隐含的错误例2求过P(2,3)且与圆(x-...     

解三角函数问题要注意隐含条件

解三角函数题时,极易忽视隐含条件而致误,下面结合实例说明. 例1 已知tanα,tanβ是方程x2 3√3x 4=0的两根,且α,β∈(-π/2,π/2),则α β的值等于( ).     

例说韦达定理在解题中的应用

<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m²-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α²+β2+β²=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x²-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m²-1,且Δ>0.     

怎么结果不一样呢?

习题:已知0≤α≤π,0≤β≤π/4,且有α β=2π/3,求函数y=[1-cos(π-2α)]/[ctg(α/2)-tg(α/2)]-cos2(π/4-β)的最大值,并求出相应的α、β值.     

解三角题要注意隐含条件

由于三角函数的独特性质,解题时若不深入挖掘它所产生的隐含条件,就会发生错解现象。下面列举几例。 例1.α、β为锐角,且cosα=1/7,sin(α β)=,求cosβ。 错解:∵cosα=1/7,α为锐角,∴sinα=,;∵α、β为锐角,∴α β∈(0,π),而sin(α β)=,∴cos(α β)=,     

构造几何图形巧解代数题

“数”与“形”是数学研究的两大对象,在数学解题中以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便,因此在解某些代数问题时,可依据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为几何问题,然后运用几何等知识去解决所求问题.笔者将对某些代数题构造几何图形妙解进行归类分析。 1 构造单位圆解三角题 例1 已知cosα cosβ-cos(α β)=3/2,α,β∈(0,π),求α,β的值. 解 由cosα cosβ-cos(α β)号得cosα cosβ-cosαcosβ sinαSinβ-3/2=0. (1-cosβ)cosα sinβsinα cosβ-3/2=0.(1)     

引入增元思想培养学生解题能力

他山之石 ,可以攻玉 .在教学中 ,如果注意应用增元思想 ,往往能起到化难为易 .出奇制胜的作用 ,有助于培养学生创新思维 ,提高学生解题能力 .1　巧配对　化难为易例 1　已知α、β是方程ｘ2 +ｘ- 1=0的两根 ,求 α2β 的值 .解　由韦达定理知α +β=- 1,αβ=- 1.设Ｍ =α2β,Ｎ =β2α(配对 ) ,则Ｍ+Ｎ =β2α +α2β =α3 +β3αβ(α +β) [(α+β) 2 - 3αβ]αβ =4 ,ＭＮ =α2β· β2α =αβ =- 1,所以Ｍ、Ｎ是一元二次方程ｘ2 - 4ｘ- 1=0的两根 .解方程得Ｍ =2± 5 ,∴ α2β =2 ± 5 .例 2　若α、β是方程 ｙ2 - 2ｙ- 1=0的两根 …     

一类三角条件求值问题的错解分析

下面的题目建议你先自己独立完成,然后再仔细看错解及错因分析.例1已知-π/2<α<π/2,-π/2<β<π/2,且tanα,tanβ是方程x~2 6x 7=0的两个根,求α β的值.错解因tanα,tanβ是方程x~2 6x 7=0的两个根,由根与系数关系得tanα tanβ=-6,tanαtanβ=7,     

活用数学公式例说

应用数学公式解题时,不仅要学会直接应用,还应学会根据问题的需要,将公式加以变形而活用.下面通过例题来学习这种方法.一、完全平方公式的活用完全平方公式经过适当移项后得a2 b2=(a b)2-2ab.例1已知a、b为方程x2-3x 1=0的两根,求a2 b2的值.解:由韦达定理得a b=3,ab=1,所以a2 b2=(a b)2-2ab=9-2=7.例2分解因式x4 1.解:x4 1=(x2)2 1=(x2 1)2-2·x2·1=(x2 1)2-(2姨x)2=(x2 2姨x 1)(x2-2姨x 1).二、完全立方公式的变形完全立方公式经过移项后得a3 b3=(a b)3-3ab(a b).例3已知x2-5x 1=0,求x3 12的值.解:由韦达定理得x 1x=5,所以x3 1x3=(x 1x)3-…     

初中生数学学习中的心理障碍及矫正

分析和研究初中学生的心理特点,矫正他们数学学习中的不良心理,对进一步加强基础知识教学、培养能力、发展智力、提高素质有重要意义。一、审题中的心理障碍由于初中生的年龄特征以及知识结构的限制,在初中阶段往往习惯于“静态”思维。如:若方程x2-2ax+a+6=0的两实数根为α和β,求(α-1)2(β-1)2的最小值。错解:由韦达定理,得α+β=aαβ=a+6(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4α2-6a-10=4[a-34]2-494当a=34时(α-1)2(β-1)2的最小值是-494但当a=34时原方程无解。原因:审题时没有看清楚方程有实根的隐含条件是…     

变量代换解题的十种方法

变量代换是一种重要的数学方法,在不等式的证明,研究函数的性质及化简求值中应用较多.变量代换实质上是实施数学中的转化思想,即化生疏为熟悉,化未知为已知,化难为易,化繁为简,从而优化解题过程.值得一提的是,变换时一定要注意等价. 一、均值代换 例1 设方程ax2-4ax 1=0的两根为α、β,满足不等式|1gα-1gβ|≤1,试求实数a的取值范围. 分析:由α β=4,可设a=2十p,β=2-p(0≤p<2),注意到a=1/αβ方,此时可用p表示a,再根据p的范围确定a的范围.     

中考数学试题解答中的常见错误分析

在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它们的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题,希望能引起同学们的重视.一、忽视应用根的判别式例1已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个实数根α、β满足α1+β1=1,求m的值.(2004年重庆市中考数学试题)错解:∵1α+β1=1,∴αα+ββ=1,即α+β=αβ.又∵α+β=-(2m-3),αβ=m2,∴3-2m=m2.解之,得m1=-3,m2=1.∴m的值是-3或1.分析:应用一元二次方程的根与系数的关系时,首先要判别方程有无实数根,只有符合Δ≥0的条件,方能确保公式的应用.∵α,β…