2003年全国高中数学联合竞赛试题及答案

1.删去正整数数列1,2,3,…中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第2003项是( ) (A)2046.(B)2047.(C)2048.(D)2049. 2.设a,b∈R,ab≠0,那么,直线ax-y b=0和曲线bx2 ay2=ab的图形是( )     

一道高考数列题的完整解答

一九九六年全国统一高考数学(文科类)第21题:设等比数列{a_n}的前n项和为S_n,若S_3 S_6=2·S_9,求数列的公比q. 《参考答案》中给的解答如下: 解 若q=1,则有S_3=3a_1,S_6=6a_1,S_9=9a_1,但a_1≠0,得S_3 S_6≠2·S_9,与题设矛盾,故有q≠1. 又依题意S_3 S_6=2·S_9可得     

三点共线的等价命题类

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.     

记一堂数列是非辨析课

请同学们思考以下问题:问题1:设数列{a_n}是正数等差数列,数列{b_n}是正数等比数列,且a_1=b_1,a(2n 1)=b_(2n 1).试比较a_(n 1)与b_(n 1)的大小关系.学生S_1很快给出了如下解法:因为a_(n 1)>0,b_(n 1)>0,所以,a_(n 1)=(a_1 a(2n 1))/2≥(a_1a_(2n 1))~(1/2)=     

数学问答

?问题1.已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和,S_1~2,S_2~2,S_3~2,…,S_n~2,…是以3为首项,以1为公差的等差数列,数列{b_n}为无穷等比数列,其前4项之和为120,第2项与第4项之和为90.求a_n和b_n.(河北张玉)     

一道课本习题结论的引申与推广

普通高级中学教科书(试验修订本·必修)《数学》第一册(上)(人民教育出版社,2000年3月第2版)123页习题3．3第10题:“已知数列{a_n}是等差数列,S_n是其前n项的和,求证: S_6,S_(12)-S_6,S_(18)-S_(12)成等差数列．设k∈     

全国卷理科第（22）题别解

20 0 3年高考理科第 2 2题为( )设 { an}是集合 { 2 t+2 s|0≤ s相似文献   

整体思想在数列中的应用

应用整体思想解数学问题,就是从全局着眼,由整体入手,把一些彼此独立但实质上紧密相联的量作为整体考虑的思想方法。现列举一些实例,谈谈运用这种思想方法解数列题的若干思考角度。 1 整体代入 例1 在等差数列{a_n}|中,已知S_p=S_q(p≠q),求S_(p q) 分析1 设数列{a_n}的公差为d,S_(p q)=(p q)a_1 1/2(p q)(p q-1)d=(p q)/2[2a_1 (p q-1)d].仅由条件S_p=S_q,求不出a_1、d,整体考虑求2a_1 (p q-1)d.∵S_p=S_q,∴pa_1 1/2p(p-1)d=qa_1 1/2q(q-1)d,即 (p-q)a_1 1/2(p-q)(p q-1)d=0, ∵p≠q,∴2a_1 (p q-1)d=0。 ∴S_(p q)=p q/2[2a_1 (p q-1)d]=0. 分析2 依题设此等差数列不是常数列,则前n项和S_n是关于n的常数项为0的二次函数,设S_n=an~2 bn,则 S_p=ap~2 bp,S_q=aq~2 bq,     

一道高考题的几何解法

1992年高考数学(理科)第27题,若结合图形,解法就变得简单、直观。题目是“设等差数列{a_n}的前n项和为S_n。已知a_3=12,S_(12)>0,S_(13)<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S_1,S_2,…,S_(12)中哪一个值最大,并说明理由。”解(1)由于等差数列{a_n}的通项公式可写为a_n=d·n (a_1-d),所以点(1,a_1)、(2,a_2)、…、(n,a_n)分布在一条直线l上,l的斜率即为公差d,且它过定点A(3,12)。(如图)。由于对称性,当S_(12)=0时,直线l通过线段BC的中点E(6.5,0);当S_(13)=0时,l通过线段BD的中点F(7,0)。因为S_(12)>0,S_(13)<0,所以满足题目条件的直线在直线AE与AF之间变动     

一道竞赛试题的推广

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献   

导数应用(高三)

例1已知{an}是等差数列,且a1=2,a1 a2 a3=12.(*)(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=anxn(x∈R),求数列{bn}的前n项和公式.(03年北京春季高考)解(1)设数列的公差是d,则由(*)得3a1 3d=6 3d=12,解得d=2,     

对一道试题的探究

最近看到了一道模拟试题,其中第(3)问引起了笔者的研究兴趣!下面将研究成果与大家分享.(杭州二中07)已知数列{}an中,a1=1、*nan 1=2(a1 a2 an)(n∈N).(1)求a2、a3、a4;(2)求数列{}an的通项a n;(3)设数列{}bn满足b1=12、bn 1=a1kbn2 bn,求证:bn<1(n≤k).原解:由问题(2)知a k=k,     

2003年高考数学综合训练试题

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设a为给定的实常数且|a|<2,那么集合M={x|x2-3|x|-a2+2=0,x∈R}的子集的个数是()(A)8.(B)12.(C)16.(D)15.2.设数列{an}是公比为a(a≠1)首项为b的等比数列,Sn是它的前n项和,则对于任意n∈N,点(Sn,Sn+1)()(A)在直线y=ax-b上.     

数列中奇偶数项问题

数列中奇偶项问题是数列中一种常见题型,每年在各地的模拟试题及高考试题中都是“热点”,解决此类问题的关键是分清奇偶、数清个数.一、分清n的奇偶,找到相应解析式例1(2005年北京高考题)设数列{an}的首项a1=a≠41,an 1=12an,n为偶数,an 41,n为奇数.记bn=a2n-1-41,n=1,2,3,….(     

1998年高考压轴题的“源”“解”“变”

(文)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=100.(1)求数列{b_n}的通项b_n(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=1g(1 (1/b_n),记S_n是数列{a_n}的前n项和.试比较S_n与(1/2)lgb_(n 1)的大小,并证明你的结论。 (理)(25) 已知数列{b_n}是等差数列,b_1=1,b_1 b_2 … b_(10)=145.(Ⅰ)求数列{b_n}的通项b_n;(Ⅱ)设数列{a_n}的通项a_n=log_n(1 (1/b_n),(其中a>0,a≠1),记S_N是数列{a_n}的前n项和,试比较S_n与1/2log_nb_(n 1)的大小,并证明你的结论, 探源 此二题源于1985年高考上海试题:对于大于1的自然数n,证明     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

对一个问题的研究

问题 :对于函数 ｆ(ｘ) ,若存在ｘ0 ∈Ｒ ,使ｆ(ｘ0 ) =ｘ0 成立 ,则称ｘ0 为 ｆ(ｘ)的不动点 .如果函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｂｘ-ｃ(ｂ,ｃ∈Ｎ)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且ｆ( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 ｆ(ｘ)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {ａｎ}满足4Ｓｎ·ｆ 1ａｎ =1 ,其中Ｓｎ 是数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,求数列通项ａｎ.( 3 )如果数列 {ａｎ}满足ａ1 =4,ａｎ+1 =ｆ(ａｎ) ,求证 :当ｎ≥ 2时 ,恒有ａｎ <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由ｆ( 0 ) =0 ,可得ａ=0 ,①又由 ｆ( 2 ) =2可得 ,2ｂ =ｃ+2 ,②再由 ｆ( -2 ) <-12 可得 ,2…     

高考数学指导与训练(四)数列、极限、数学归纳法

[考试要求] 本章是高考考查的重点内容之一,在高考中,有关数列、等差数列和等比数列、数列极限的基础知识和基本运算是必考内容,数学归纳法是常考的基本方法之一,除此之外,在较难试题中常常出现有关数列的综合问题,考查综合与灵活运用数列的知识和方法分析问题和解决问题的能力。 [复习指导] 一、以函数的观点认识数列例1 等差数列{a_n}中,a_1>0,前n项和为S_n,且S_9>0,S_(10)<0,则当n=____时,S_n最大。分析:等差数列前n项和S_n是关于n的二次函数(二次项系数可以为零,且n∈N),且常数项为零,因此函数S_n=f(n)的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点(如图4—1),由题意可知该数列公差小     

对数列问题中一类不定方程通解的探究

<正>一、问题呈现2014年江苏省南通市高三模拟测试给出如下一个数列问题.例1各项均为正数的数列{a_n}中,设Sn=a_1+a_2+…+a_n,Tn=1/(a_1)+1/(a_2)+…+1a_n,且(2-S_n)(1+T_n)=2,n∈N^*.(1)设b_n=2-S_n,证明数列{b_n}是等比数列;     

超级难题的简单解法(二)

例题已知数列{an}中,a1=1,an+1=c-1/an.(1)设c=5/2,bn=1/an-2,求数列{bn}的通项公式.(2)求使不等式an