不等式的证明与应用

1 不等式的证明 (1)“比较法”证明不等式:此方法用途广泛,要重点掌握,“比较法”证明不等式的两种形式是比差法:a>b■a-b>0; 比商法:     

探索三角形全等的思路问答

问:证明三角形全等有哪些方法? 答:证明三角形全等的一般方法有五种:“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”.在具体问题中,题设往往不完整,其余的需要我们自己去探寻、挖掘. 问:已知两边对应相等,如何证明三角形全等? 答:方法有两种:(1)找夹角相等,利用SAS证     

“0.9=1”的简捷证法

贵刊在今年第3期“教学答疑”专栏里刊登了“0.9为什么等于1”一问及解答,解答中用到了高中“等比数列”的知识,这样难度就大了。要想证明0.9=1,方法有多种,除用“等比数列”外还可以用“极限”等知识。在这里向大家介绍另一种简捷证法:用解方程的方法来证明“0.9=1”。证明:设x=0.999……,则10x=9.999…….     

再谈0.9=1的证明是否超出小学数学知识

贵刊1995年12期刊载的一篇“0.9=1的证明未超出小学数学知识”的文章(以下简称“未文”)中,对本人撰写的“对关于0.9=1的证明的意见”一文中,0.9=1不能用小学数学知识证明的意见,持异议,并且给出了用小学数学知识证明0.9×10=9.9、9.9-0.9=9的方法。细一推敲,不难发现,“未文”给出的证明中,亦犯了“预期理由”(引用未经证明的论据)的错误。现剖析如下:     

怎样证明几何题

同学们在初二已学习了“证明一” ,知道了什么是公理、定理、定义 ,懂得了一个命题为什么要加以证明的道理 ,并掌握了证明几何题的一些方法 ,学会了证题的书写格式 随着新学期学习内容“证明二”、“证明三”的展开 ,“怎样证明几何题”将成为同学们关注的热点 .本文想通过实例的剖析 ,提出证明几何题时应注意的问题 ,介绍寻找证明几何题的思考方法 ,总结证明几何题时添辅助线的一般规律 ,希望有助于同学们证明好几何题 .图 1例 1　已知 :如图 1,△ABC中 ,D、E为BC上的点 ,且AD =AE ,BD =EC .求证 :AB =AC .分析　欲证AB =AC ,只…     

洗尽铅华 返璞归真

<正>1试题呈现(江西中考第22题)课本再现思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直。反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程。     

用数学归纳法巧证“均值不等式”

数学归纳法由“奠基”和“归纳”两步组成.在“归纳”过程中必须用到“归纳假设”.但是,如何用到“归纳假设”有时是有技巧.下面以均值不等式的证明为例予以展示. 已知a1,a2…,an(n≥2,n∈N*),是n个正实数,求证: 证明:(1)当,n=2时,由(a1+a2)2≥4a1a2可得a1+a2/2≥不等式成立.     

一个值得注意的问题

人民教育出版社出版的“教参”和北师大出版社出版的“中学数学教材研究与教案选”上关于“反正弦函数y=arc sinx在区间[-1,1]上是增函数”的证明是错误的。该书的证明是这样的: 设-1≤x_1相似文献   

对“对应线段成比例”理解方式的探讨

在人教版三年制《几何·第二册》(以下简称“教科书”)“5.2平行线分线段成比例定理”(以下简称“定理”)练习中,有这样一道题:已知如图1,l1∥l2∥l3,证明:AB/DE=BC/EF=AC/DF(见“教科书”第210页) 该题的设计意图是让学生用教科书中对“定理”的符号诠释和比例的有关性质予以证明,但笔者认为把该题中要求证明的结论作为“定理”的符号诠释更科学、合理。以下是笔者为此做的调查研究。     

应用“平行线的性质与判定”的思路及方法

“平行线”是初一几何的重点兼难点。这部分知识的特点是公理、定理多 ,思路广 ,方法多。正是因为本单元的公理多、定理多 ,于是就为“平行线”的应用提供了多种思路与方法。一、“平行线的判定”的应用例 1.如图 ,已知∠ B ∠ BCD ∠ D=360°,求证 :∠ 1=∠ 2。思路 :要证明∠ 1=∠ 2 ,而∠ 1=∠ 5,所以需证明∠ 5=∠ 2 ,于是“AB∥ DE”是此题证明的关键。下面尝试使用平行线的各种判定方法解决此题。证法 1:(根据“平行公理的推论”证明 AB∥DE)过点 C作 CF∥ AB,则∠ B ∠ 3=180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∵∠ B ∠ 3 ∠ …     

用转化法解平面几何中的非基本题

本文谈到的基本题,有证明角相等、线段相等、等积式或比例式.在证明一些非基本题时,有时可转化为基本题求解.1 线段的和差关系 证明a±b=c类题,往往可通过“截长补短”转化成证明线段相等. 例1 如图1,△ABC是等边三角形,P为BC上任一点.求证:PA=PB PC. 分析:采取“截长”法,可在PA上截取PD=PB,转化成证明DA=PC.这可通过证明△PCB和△DAB全等来实现.     

反证法例谈

反证法是一种重要的间接证明方法。为熟练掌握,现就有关反证法的应用归纳如下: “通过证明论题的否定为假,从而断定论题为真,这种证法叫做反证法”。用反证法证明命题,在分清命题“若A则B”的条件和结论后,可按如下步骤进行:1.作出与命题结论B相矛盾的假定     

用“1”证明不等式的常用技巧

证明某些不等式时 ,若能恰当、灵活地运用好“1”,常常能使证明过程简捷、明了而且事半功倍 .本文将举例说明用“1”证明不等式的七种常用技巧 .1　替换“1”用等于“1”的式子直接替换需证明的不等式中的“1”.例 1　设 x,y,z∈ R ,x y z=1,求证 :1x 4y 9z≥ 36 .分析　∵左边 =1x 4· 1y 9· 1z= x y zx 4(x y z)y 9(x y z)z= 14 (yx 4xy) (4 zy 9yz) (9xz zx)≥ 14 2· 2 2· 6 2· 3=36 ,∴原不等式得证 .2　借用“1”借用与“1”相关的式子去表示需证的不等式中的变量 ,或借用需证的不等式左、右两边的…     

五种证明不等式的常见方法

一、比较法(包括“作差法”和“作商法”)“作差法”即根据“‘a≥b’等价于‘a-b≥0’”,将要证明的“a≥b”型不等式转化为“a-b≥0”型不等式去证.其基本步骤是:1.作差;2.变形;3.与0比较大小.其中的“变形”可以变成平方和,也可以变成因式的积或常数.“作商法”即根据“a,b>0时,‘a>b’等价于‘ba>1’”,将要证明的“a>b”型不等式转化为“ab>1”去证.其基本步骤是:1.作商;2.变形;3.与1比较大小.例1若a,b缀R+,n,k缀N,且n>k,求证:an+bn≥akbn-k+an-kbk(当且仅当a=b时,取“=”号).证明an+bn-(akbn-k+an-kbk)=(ak-bk)(an-k-bn-k).又k,(n-k)…     

一道复习题的引申

人教初中代数第二册P4 7有这样一道题 :求证 :当n是整数时 ,两个连续奇数的平方差 ( 2n + 1 ) 2 -( 2n - 1 ) 2 是 8的倍数。分析 :利用平方差公式进行因式分解 ,可以证明。证明 :( 2n + 1 ) 2 - ( 2n - 1 ) 2　　 =[( 2n + 1 ) + ( 2n - 1 ) ][( 2n + 1 ) - ( 2n - 1 ) ]　　 =4n× 2　　 =8n本题的条件“连续奇数”具有特殊性 ,如果把“连续奇数”改成“任意奇数”后 ,命题的结论仍然成立。这样命题具有一般性的规律。即有如下命题 :两个任意奇数的平方差是 8的倍数。证明 :设这两个任意奇数是 2a + 1 ,2b + 1 (a ,b为整数 )则 :( 2a + 1…     

巧用构造法，证明不等式

构造法是一种重要的数学方法,在数学中的应用十分广泛.本文着重谈谈构造法在证明不等式中的应用,通过 “构造函数”、“构造图形”、“构造方程”、“构造复数”等方法来证明不等式,不但能拓展证明不等式的思路,而且对于培养良好的思维品质,提高解题的灵活性、准确性,特别是创造性具有十分积极的意义. 1 构造函数 例1 已知1a<,1b<,求证:11abab+<+. 证明 构造一次函数 ()(1)()fxabxab=+-+ 令()0fx=,得1abxab+=+, ∵(1)(1)ff? [(1)()][(1)()]abababab=+-+-+-+ 22()(1)abab=+-+22(1)(1)0ab=--<,∴函数()yfx=的零点在区间(1,1)-中, 即 111abab+…     

来函照登

郭要红先生来信指出本刊2003(8)刊登了钱照平的文章《一个不等式猜想的证明》存在两处问题: 1.在“当m>2时,“钱”文的证明利用了“m为整数”这一并不存在的条件;2.“钱”文由解得x1=x2=…=xn或λ1≠0,λ2=λ3=…=λn=0.”推断仓促,事实上,由     

怎样证明线段和差题(初二)

对于形如“a=b+c”的线段等式的证明,通常有以下思路:1.直接证(线段转换):通过全等三角形或等角对等边进行证明例1 如图1,已知△ABC和△BED都是等边三角形,且A、E、D在一条直线上,求证:     

帮你拨开证明中的“迷雾”

几何证明不象代数计算那样有程式可循,五花八门、精彩纷呈的证法使得有人爱不释手.而另一部分人则退避三舍,其实只要掌握正确的证明思路的探求方法,则不难拨开证明中的“迷雾”,使几何证明从此不再神秘.下面以相似三角形为例加以说明.例1如图1,△ABC∽△ADE,求证:DE∥BC图1证明∵△ABC∽△DEF(已知)———“∵”后面通常只能是已知、从图“看”出来的显然结论、已证.∴∠ADE=∠B(相似三角形的对应角相等)———这里的“∵、∴”组成了一个逻辑链.∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行)———其条件是省略了的已证的“∠ADE=∠B”,它…     

三角函数巧解法,思维体操优能化

数学是“思维的体操”. 数学公式看似简单,若仔细探究,实则变化无穷.初中数学、高中数学中,几何知识、代数知识之间紧密联系,尤其是三角函数的题目,方法众多.下面用一道经典的三角函数题为例来详细说明. 求证:cosx/1-sinx=1+sinx/cosx [分析]证明等式的一般方法: (1)从左边证明到右边,如证明二,证明三. (2)从右边证明到左边,如证明七,证明八. (3)作差法,如证明四.