利用截长补短加倍折半法证线段的和差倍分

对于线段的和差倍分在几何论证中视为简单的一类 ,但方法选得不当其证明常带来困难 ,这里介绍利用截长补短 ,加倍折半法转化为证明线段的相等 ,特举例说明。例 1　在梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＤＣ ,ＡＤ⊥ＡＢ ,∠ＢＣＤ平分线ＣＭ过ＡＤ的中点Ｍ ,求证 :ＡＢ +ＣＤ =ＢＣ。图 (1 )证一 :如图 (1 )在ＣＢ上截取ＣＮ =ＣＤ ,连结ＭＮ ,则△ＣＤＭ≌△ＣＮＭ ,∴∠ 3 =∠ＤＭＮ =ＭＤ =ＭＡ ,连结ＭＢ则Ｒｔ△ＢＭＮ≌Ｒｔ△ＢＭＡ∴ＮＢ =ＡＢ即ＡＢ +ＣＤ =ＣＮ +ＮＢ =ＢＣ图 (2 )这里用的截长法。证二 :如图 (2 )延长ＢＡ ,ＣＭ交于Ｎ∵ＡＢ…     

初中化学绪言课与第一章知识能力自测题

(满分 1 0 0分 ,时间 4 5分钟 )一、选择题 (每小题有 1～ 2个正确答案 ;每小题 3分 ,共 4 5分 )1 打雷放电时 ,空气中有极少量的氧气会转化成臭氧 .下列有关说法 ,正确的是 (　　 ) .　 (Ａ)该变化是物理变化　　　　　　　　　　　 (Ｂ)该变化是化学变化　 (Ｃ)氧气和臭氧的性质完全相同 (Ｄ)氧气和臭氧是不同的物质2 “氯气在通常状况下是一种黄绿色有刺激性气味的气体” .这句话说明的是氢气的 (　　 ) .　 (Ａ)物理变化　　　　 (Ｂ)化学变化　　　　 (Ｃ)物理性质　　　　 (Ｄ)化学性质图 13 如图 1所示 ,等体积的甲、乙两个集气瓶…     

2003年高考数学模拟试题(Ⅰ)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ｍ={ａ,ｂ,ｃ},Ｎ={-1,0,1}.若ｆ是从Ｍ到Ｎ的映射,且ｆ(ａ)=0,则这样的映射ｆ共有(　　)个.Ａ.4　　Ｂ.6　　Ｃ.9　　Ｄ.272.ａ>ｂ是ａ>|ｂ|的(　　).Ａ.充分非必要条件　　　　　Ｂ.必要非充分条件Ｃ.充要条件　　Ｄ.既非充分也非必要条件3.设两个独立事件Ａ和Ｂ都不发生的概率为19,Ａ发生Ｂ不发生的概率与Ｂ发生Ａ不发生的概率相同,则事件Ａ发生的概率Ｐ(Ａ)是(　　).Ａ.29　　Ｂ.118　　Ｃ.13　　Ｄ.234.在一次数学考试中,甲…     

2000年全国初中数学竞赛试题及参考答案竞赛试题

一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分)1.设ａ、ｂ、ｃ的平均数为Ｍ,ａ、ｂ的平均数为Ｎ,Ｎ、ｃ的平均数为Ｐ.若ａ>ｂ>ｃ,则Ｍ与Ｐ的大小关系是(　　).Ａ.Ｍ=Ｐ　Ｂ.Ｍ>Ｐ　Ｃ.Ｍ<Ｐ　Ｄ.不确定2.某人骑车沿直线旅行,先前进了ａ千米,休息了一段时间,又原路返回ｂ千米(ｂ<ａ),再前进ｃ千米,则此人离起点的距离ｓ与时间ｔ的关系示意图(图1)是(　　).3.甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁.那么(　　).Ａ.甲比乙大5岁　　　　Ｂ.甲比乙大10岁Ｃ.乙比甲大10岁　　　Ｄ.乙比甲大5岁4.一个一次函数的图象与直线ｙ=54ｘ 954…     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 2 3 .　已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4.　如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .…     

一道几何例题的变式训练

原题　如图 1,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外切于点Ａ ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .(初中《几何》第三册第 14 4页例 4)图 1　　　　　　　　图 2　　变式 1　如图 2 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 外离 ,ＢＣ是⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 的公切线 ,Ｂ、Ｃ为切点 ,连心线Ｏ1 Ｏ2 分别交⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 于点Ｍ、Ｎ ,ＢＭ、ＣＮ的延长线相交于点Ａ .求证 :ＡＢ⊥ＡＣ .证明　过点Ｍ、Ｎ分别作⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 的切线 ,交ＢＣ于Ｄ、Ｅ ,作ＡＯ⊥Ｏ1 Ｏ2 ,交ＢＣ于Ｏ .则ＭＤ =ＢＤ ,ＮＥ =ＣＥ ,ＭＤ∥ＡＯ∥ＮＥ .∵　 ＢＯＡＯ=ＢＤＭＤ=1,∴　Ａ…     

2002年高考数学（5）题探源及多解

20 0 2年全国高考试卷中 ,集合问题虽然仅出一道选择题 ,但它的多种解法中却包含着重要的解题方法与技巧 .下面给予说明 .题目 :设集合Ｍ ={ｘ｜ｘ=ｋ2 14,ｋ∈Ｚ},Ｎ={ｘ｜ｘ=ｋ4 12 ,ｋ∈Ｚ},则 (　　) .Ａ .Ｍ =Ｎ　　　　Ｂ .Ｍ ＮＣ .Ｍ ＮＤ .Ｍ ∩Ｎ = 一、探源本题来源于 1 993年全国高考题 (“3 2”型 )理科第 7题 :集合Ｍ ={ｘ｜ｘ=ｋπ2 π4,ｋ∈Ｚ},Ｎ ={ｘ｜ｘ =ｋπ4 π2 ,ｋ∈Ｚ}.则 (　　 )Ａ .Ｍ =Ｎ　　　　Ｂ .Ｍ ＮＣ .Ｍ ＮＤ .Ｍ ∩Ｎ = 两题的区别仅在一个π .二、多解解法 1　列举法分别取ｋ=… ,-1 ,0 ,1 ,…     

平面几何统一证明规律之四——引线规则(下)

例７如图７ -１已知梯形ＡＢＣＤ中 ,∠Ａ ∠Ｂ＝９０°,ＡＢ‖ＤＣ（ＡＢ＞ＤＣ） ,Ｎ是ＡＢ中点 ,Ｍ是ＣＤ中点。求证 :ＭＮ＝（ＡＢ -ＤＣ）。因欲证ＭＮ＝（ＡＢ -ＣＤ）的三条线段既无相同字母又分散错落 ,无法构成任何三角形 ,无半直判有效线段 ,显然是演绎规则全直判无效 ,证明要用等量代换和引辅助线的方式。依引线规则 ,从已知分解出Ｄ、Ｍ、Ｃ ,Ａ、Ｎ、Ｂ六个引线定点。Ｄ的定向点是经过Ｍ和Ｃ的两条已知线段ＮＭ和ＢＣ的延长线的交点Ｈ ;Ｍ的定向点是经过Ｄ和Ｃ的两条已知段ＡＤ和ＢＣ的延长线的交点Ｈ ;Ｃ的定向点是经过Ｄ和…     

高考生物模拟测试题(一)

一、选择题(一)单选题(本大题共20小题。在每小题给出的4个选项中,只有1个是正确的,请将其标号填入括号内)1将下列生物或细胞放在蒸馏水中,一段时间后形态发生明显变化的是(　　)Ａ人的红细胞　　　　Ｂ洋葱表皮细胞Ｃ变形虫Ｄ衣藻2有人从甲、乙、丙3种生物体内提取出了核...     

高考生物模拟测试题(三)

一、选择题1主动脉的管壁厚、弹性大,这使得心室收缩时的主动脉血压和心室舒张时的主动脉血压(　　)Ａ前者有所升高,后者有所降低Ｂ前者有所降低,后者有所升高Ｃ两者均有所升高Ｄ两者均有所降低2图1中正在发生质壁分离的植物细胞是(　　)图13人在进食后,其分泌物显著增加?..     

2002年普通高等学校招生全国统一考试综合能力测试(江苏河南卷)

第Ⅰ卷　　一、本大题共 30道选择题。每题有一个最符合题目要求的答案。图 1表示某树木年轮截面的一部分 ,标号①、②、③分别表示 5年时间段的年轮。该树生长地区 7月气温最低 ,但仍高于 0℃。回答 1～ 3题。图 11 .植物生长与气候变化密切相关 ,在气温变化较稳定的前提下 ,图 2中表示①、②、③三个时间段逐年降水量的图依次是图 2Ａ .甲、乙、丙　Ｂ .丙、乙、甲　Ｃ .乙、甲、丙　Ｄ .丙、甲、乙2 .该树生长地点可能在Ａ .30°Ｓ ,1 1 8°Ｅ　　Ｂ .2 3 .5°Ｎ ,1 30°ＥＣ .44°Ｓ ,1 73°ＥＤ .30°Ｎ ,1 1 8°Ｅ3 .该树生长地区所属…     

面积法在平几中的应用

所谓面积法就是利用几何图形中的边、角与面积之间的关系，运用代数手段来完成几何中的推理过程．用面积法一般可不添或少添辅助线，证法简洁，易于被学生接受和掌握．图１１　证明线段相等例１　（１９７８年高考题）ＡＢ是圆的直径，Ｃ是半圆上一点，直线ＭＮ切半圆于Ｃ点，ＡＭ⊥ＭＮ于Ｍ，ＢＮ⊥ＭＮ于Ｎ，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ．求证：（ｉ）ＣＤ＝ＣＭ＝ＣＮ；（ｉｉ）ＣＤ２＝ＡＭ·ＢＮ．证明　连结ＡＣ、ＢＣ，如图１，由∠ＭＣＡ＝∠ＡＢＣ知　∠ＭＡＣ＝∠ＣＡＤ．在Ｒｔ△ＡＤＣ与Ｒｔ△ＡＣＭ中，有ＡＤ·ＣＤＡＭ·ＣＭ＝ＡＣ·ＡＤ…     

文科综合设计1

一、选择题 :在每小题列出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。读图 1的环流模式图 ,判断 1～ 2题 :1 若该图表示白天海陆风环流状况 ,甲、乙两地表示近地面 ,下列说法正确的是Ａ 甲是陆地 ,乙是海洋Ｂ 该环流属于季风环流的组成部分Ｃ 甲、乙两地上空等压面分布模式如图 (2 )Ｄ 乙点是低气压 ,丙点是高气压 ,丙点气压大于乙点气压2 若该图表示北印度洋海区的洋流模式 ,下列说法正确的是Ａ 中南半岛盛行西南季风Ｂ 开普顿地区温和多雨Ｃ 墨西哥湾飓风活动频繁Ｄ 亚平宁半岛受西风带控制读图 3 ,判断 3～ 4题 :3 若该图表示持续发展…     

高二数学单元测试(简单几何体)

一、选择题1 .设Ｍ ={斜棱柱 } ,Ｎ ={四棱柱 } ,Ｐ ={平行六面体 } ,Ｑ ={直棱柱 } ,Ｒ ={长方体 } ,则下列等式中正确的是 (　　 )　 (Ａ)Ｍ∩Ｎ =Ｎ　 (Ｂ)Ｎ ∩Ｐ =Ｐ　 (Ｃ)Ｍ ∩Ｐ =Ｐ　 (Ｄ)Ｑ∩Ｎ =Ｒ2 .一个水平放置的圆柱形贮油桶 ,桶里有油部分占底面周长的 14,那么当油桶直立时 ,油的高度与桶的高度比是 (　　 )　 (Ａ) 14　 (Ｂ) 18　 (Ｃ) 14-12π　 (Ｄ) 133.在棱锥Ｐ -ＡＢＣＤ中 ,已知底面ＡＢＣＤ是正方形 ,两侧面ＰＡＤ、ＰＤＣ垂直于底面 ,另两个侧面与底面都成 45°角 ,且最长的侧棱长为 1 5 ,则此棱锥的高等于 (　　 …     

新教材一道习题的多种求解方法

人民教育出版社新编普通高级中学课本 (试验修订本·必修 )第二册 (下Ｂ)习题 9· 8中有这样一道题目 :已知正方体ＡＢＣＤ—Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的棱长为 1,求直线ＤＡ′与ＡＣ的距离 .这是一道求异面直线距离问题的典型题目 ,本文将给出七种求解方法 ,以供参考 .1　定义法先找到或作出两异面直线的公垂线段 ,然后求出其长 .分析　题目中没有直接给出两异面直线的公垂线 ,需先作出 .如图 1,注意到对角线ＢＤ′与ＡＣ及Ａ′Ｄ均垂直 ,取Ａ′Ｄ上点Ｍ ,ＡＣ上点Ｎ ,连ＭＮ ,设ＭＮ∥ＢＤ′,则ＭＮ即为两异面直线的公垂线段 .因为ＭＮ与ＢＤ′所…     

高考数学强化训练

一、选择题 :本大题共 14小题 ;第 ( 1)～ ( 10 )题每小题 4分 ,第 ( 11)～ ( 14 )题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1)设Ｉ为全集 ,Ｍ、Ｎ、Ｐ都是它的子集 ,则图 1中阴影部分表示的集合是 (　　 ) .Ａ .Ｍ∩ (Ｎ∪Ｐ)Ｂ .Ｍ∩ (Ｎ∩Ｐ)Ｃ .(Ｍ∩Ｎ)∩Ｐ　　Ｄ .(Ｍ∩Ｎ)∪ (Ｍ∩Ｐ)( 2 )过椭圆 ｘ22 ｙ2 =1的左焦点和双曲线 ｙ2 - ｘ22= 1的上焦点的直线方程是 (　　 ) .Ａ .-ｘ ｙ3=1　　　　Ｂ .-ｘ ｙ3=1Ｃ .- ｘ3 ｙ =1　　　 Ｄ .- ｘ3 ｙ=1( 3)下列命题正确的是 (　　 ) .Ａ…     

类比推广发现

文 [1 ]指出了我国 2 0 0 0年高中数学联赛一道几何题与ＩＭＯ -1 8的几何题的联系 ,并给出其三角证法。很显然 ,前者是后者的引申。反过来 ,在解题的思路上 ,前者就可以化归为后者 ,并从中得到解题的启示。先来看这两个题目 :命题 1 ( 2 0 0 0年联赛题 )　如图 1 ,在锐角三角形图 1ＡＢＣ的ＢＣ边上有Ｅ、Ｆ两点 ,使∠ＢＡＥ =∠ＣＡＦ ,作ＦＭ⊥ＡＢ ,ＦＮ⊥ＡＣ(垂足为Ｍ、Ｎ) ,延长ＡＥ交△ＡＢＣ外接圆于Ｄ ,证明 :四边形ＡＭＤＮ与△ＡＢＣ的面积相等。题中当角α =∠Ａ/2时 ,就变成了下题 :命题 2 (ＩＭＯ -2 8)　在锐角三角形ＡＢＣ…     

在空间直角坐标系中解立体几何题

高中教材 (Ｂ)引入了空间向量坐标运算 ,使得空间立体几何的平行、垂直、角、距离等问题的解决避免了繁琐的定性分析 ,通过建立空间直角坐标系进行定量计算 ,使问题得到了大大的简化 .一、求夹角问题例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )如图 1 ,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1 ,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 .点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ( 0 <ａ<2 ) .( 1 )求ＭＮ的长 ;( 2 )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ?( 3 )当ＭＮ最小时 ,求面ＭＮＡ与面ＭＮＢ所成二面角α的大小 .解　 ( 1 )以Ｂ为坐标原点 ,分别…     

2002年全国普通高等学校招生统一考试综合能力测试(大综合)

第Ⅰ卷(选择题 ,共 1 80分 )一、本大题共 3 0道选择题 ,每题 6分 ,共 180分。每题有一个最符合题目要求的答案。图 1表示某树木年轮截面的一部分 ,标号①、②、③分别表示 5年时间段的年轮。该树生长地区 7月气温最低 ,但仍高于 0℃。回答 1～ 3题。图 11 植物生长与气候变化密切相关 ,在气温变化较稳定的前提下 ,图 2中表示①、②、③三个时间段逐年降水量的图依次是【Ｃ】图 2　Ａ 甲、乙、丙　　　Ｂ 丙、乙、甲Ｃ 乙、甲、丙　　　Ｄ 丙、甲、乙2 该树生长地点可能在【Ａ】Ａ 3 0°Ｓ ,118°Ｅ　　Ｂ 2 3 .5°Ｎ ,13 0°ＥＣ 44°Ｓ ,…     

补圆解题 化难为易

我们在解题时 ,常会遇到一些已知图形是半圆的几何题 .如果仅局限在半圆中思考求解 ,有时会陷入困境 .这时 ,若把半圆补成整圆 ,则可以运用圆的有关性质 ,在整圆中发现某些隐含的条件 ,从而使解题化难为易 .例 1　如图 1 ,点Ｄ、Ｃ在半圆上 ,Ｍ、Ｎ在半圆的直径ＡＢ上 ,ＣＭ⊥ＡＢ ,∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .若∠ＡＤＮ =5 8°,则∠ＡＣＭ =.分析　要想求出∠ＡＣＭ的度数 ,在半圆中很难沟通未知角与已知角的联系 ,故考虑把半圆补成整圆 .延长ＤＮ交圆于Ｃ′,则∠ＢＮＣ′=∠ＡＮＤ =∠ＢＮＣ .根据圆的对称性 ,可知Ｃ、Ｃ′关于直线ＡＢ对称 .…