一道平面几何奥赛题的空间推广

本文主要对第58届白俄罗斯数学奥林匹克决赛的一道平面几何试题进行了空间上的推广,得到了如下结论:设P为四面体ABCD内的任意一点,过P分别作面ABC、面BCD、面CDA、面DAB的平行平面截四面体所得截面分别为△A1B1C1,△B2C2D2,△C3D3A3,△D4A4B4,则有(S△A1B1C1/S△ABC)1/2+(S△B2C2D2S/△BCD)1/2+(S△C3D3A3/S△CDA)1/2+(S△D4A4B4/S△DAB)1/2=3.     

交流电的最大值、平均值和有效值

辨析交流电的最大值、平均值和有效值及其关系,对掌握交流电知识、理解交流电的应用极为重要.一、三个物理量的区别与联系在讲述《交流电的产生》一节中(学生已有三角函数知识)学生理解交流电的最大值不难、较为容易地看到:(1)这是一个特殊的瞬时值,它产生于线圈平面与中性面垂直时.(2)该值的大小由线圈的面积、匝数、磁感应强度和转子的转速决定的,可以根据ε_m=nBS(?)或ε_m=2BLvn来计算.交流电的平均值在《交流电》一章中没有涉及,但在法拉第《电磁感应》中已给出公式“ε=n△Q/△t”这个电动势是指△t时间内的平均值,如取从中性面起转动,在T/4时间内的平均电动势ε=4nBS/T=2nBS(?)/π,而nBS(?)为最大值、这里可以T/4时间内的平均值与最大值的关系:ε=2εm/π=0.636ε_m(取T/4或T/2均有此关系,而一周内平均值为零).理解和计算交流电的有效值既非常重要又有一定难度.高中教材对有效值的规定:“让交流电和直流电通过同样阻值的电阻、如果它们在同一时间内产生的热量相等、这一交流电电流有效值就跟这个直流电的电流相等”简而言之从“热”的等效角度来认识交流电的有效值.根据焦耳定律Q=i~2Rt(交流)、Q=I~2Rt(直流),可以看出热量不是与电流的平均值有关,而是与电流平方后的平均值有关.     

复合函数求导法

复合函数求导法是求导的重中之重,这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法.定理.若函数y=f(u)在u可导,函数u=g(x)在x可导,则复合函数y=f[g(x)]在x也可导,且y＇_x=y＇_(u)·u＇_x＇或dy/dx=dy/du·du/dx.证明 已知函数y=f(u)在u可导,即(?)△y/△u(△u≠0)或△y/△u=f＇(u)+a 其中(?)a=0,从而当△u≠0,有△y=f＇(u)△u+a△u.(1)当△u=0 时,显然△y=f(u+△u)—f(u)=0,(1)式也成立.为此令n证明 已知函数y=f(u)在u可导,即(?)△y/△u=f′(u)(△u≠0)△y/△u=f＇(u)+a 其中(?)a=,从而当△u≠0,有△y=f＇(u)△(u)△u+a△u.(l)当△u=0 时,显然面△y=f(u+△u)—f(u)=0,(1)式也成立.为此令     

1982年第四期数学问题

1.已知4S_n=α~2_n 4n-1,求α_n。(江西景德镇第二中学舒冬如提) 2.已知抛物线y=x~(1/2)上一点P与焦点F的连线PF,过P引准线的垂线PH,垂足为H,且准线与x轴的交点为M,过P点的切线与x轴的交点为T(T在原点与M之间)。求梯形PTMH与三角形PET面积差△S的极值,并求出当△S取得极大值时切线PT的方程。     

内分角线推广定理证几何题

本文现将三角形内角平分线定理的推广及其在证明几个著名几可定理中的应用介绍如下: 一推广如图1,已知P为△ABC的AB边上一(内分)点,求证:PA/PB=CAsinα/(CBsinβ) 证明∵ S_(△CAP)/S_(△CBP)=PA/PB(同高) ∴ S_(△CAP)/S_(△CBP)=1/2CA·CPsinα/(1/2CB·CPsinβ)显然,当α=β时,则sinα=sinβ,     

“加比定理”及其应用

有一道1994年印度数学奥林匹克试题是这样的:假如 P 是△ABC 内一点,AP、BP、CP分别交对边于 D、E、F.求证:AP/PD=AF/FB AE/EC.证明:因为 AF/FB=S_(△ACP)/S_(△BCP),AE/EC=S_(△ABP)/S_(△CBP)·所以 AF/FB AE/EC=     

数学奥林匹克高中训练题(4)

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.如果一个n面体中m个面是直角三角形,就说这个n面体的直度为mn.如果一个n(n≥4)面体的直度为1,棱数为k,那么,n与k应满足().(A)k=3n(B)k=23n(C)k=34n(D)k=2n图12.如图1,P为△ABC内一点,且满足AP=25AB+51AC.则△PBC的面积与△ABC的面积之比为().(A)21(B)32(C)53(D)523.设函数f(x)=2sinx+π4+2x2+x2x2+cosx的最大值为M,最小值为m.则M与m满足().(A)M+m=2(B)M+m=4(C)M-m=2(D)M-m=4图24.如图2,过双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P.若线…     

张角公式帮你解竞赛题

本文现将张角公式及其在数学竞赛解题中的应用介绍如下: 一、张角公式如图,设直线ACB外一视点P,对于线段AC、CB的张角分别为α、β,且α β<180°,则sin(α β)/PC=sinα/PB sinβ/PA 证明:∵△PAB=△PAC △PCB,∴1/2PA·PB·sin(α β)-1/2PA·PC·sinα 1/2PC ·PBsinβ。∴两边同除以1/2PA·PB·PC,即得欲证式。二、应用举例例1 连结正△ABC的外接圆劣弧AB上一点P的线段CP交AB于D,求证:1/PA 1/PB=1/PD(1990年山西省初中数学     

公式R=△U/△I、△P=(U1+U2)△I、△P=(I1+I2)△U的推导与应用

1推导 设定值电阻R上加电压U1时流过的电流为I1,加电压U2时流过的电流为I2,则R=U1/I1=U2/I2=U2-U1/I2-I1=△U/△I(设U2＞U1). 功率变化:△P=P2-P1= U22/R-U21/R=(U1+U2)(U2-U1)/R=(U1+U2)(U2/R-U1/R)=(U1+U2)(I2-I1)=(U1+U2)△I或△P=P2-P1=U22/R-U21/R=(U1+U2)(U2-U1)/R=(U2/R-U1/R)(U2-U1)=(I2+I1)(U2-U1)=(I1+I2)△U.     

SchrOdinger算子的Riesz变换与新BMO函数的交换子在LP空间上的有界性

设Tj（j=1,2,3）是与Schrodinge算子相关的Riesz变换,即 T1=（-△＋V）-1V,T2=（-△＋V）-1/2V-1/2,T3=（-△＋V）-1/2-1/2 ,本文主要考虑了交换子[b,Tj]=6Tj-Tjb（j=1,2,3）在Lp空间上的有界性．其中位势V（x）满足反向Holder不等式,△是拉普拉斯算子．     

高考复习的几个策略之二——第三轮复习

一、加强基础复习策略（抓住选择题和填空题特点,加强训练） 例1 设点P是△ABC内任意一点,S△ABC的面积,λ1=S△PBC/S△ABC=S△PCA/S△ABC,λ1=S△PAB/S△ABC,定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G为△ABC的重心,f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）．     

一道中考题的推广及应用

题目 如图1,巳知三角形的面积S△ABC=1,在图1(1)中,若AA1AB=BB1/BC=CC1/CA=1/2,S△A1B1C1=1/4;在图1(2)中,AA2/AB=BB2/BC=CC2/CA=1/3,则S△A2B2C2=1/3;在图1(3)中,若AA3/AB=BB3/BC=CC3/CA=1/4,则S△A3B3C3=7/16.按此规律,若AA8/AB=BB8/BC=CC8/CA=1/9,则S△AnBnCn=_.(2006年山东省实验区中考数学试题)     

对一道高考选择题的思考

题目设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PCA/S△ABC，λ3=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1，λ2，λ3），若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2，1/3，1/6），则（）     

一道无棱二面角题目的不同解法

如图所示,ABCD是直角梯形,∠A BC=90°,SA⊥底面ABCD,AD=0.5,求面SCD与面SBA所成二面角的大小.解法一延长BA与CD,交于点P,连接SP.过点A作AE⊥SP,垂足为E,连接DE.∵SA⊥底面ABCD,AD?面ABCD,∴SA⊥AD.∵AD⊥AB,SA∩AB=A,∴AD⊥面SAB,∴AE为ED在底SAB内的射影.∵AE⊥SP,∴ED⊥SP,∴∠A ED即为面SCD与面SAB所成二面角的平面角.在Rt△SAP中,SA=AP=1,∴AE=2/2.在Rt△EAD中,tan∠A ED=12/2/2=22,∴∠A ED=arctan(2/2)点评无棱二面角的求解,关键在于如何寻找二面角的棱.很明显,在这个题目中,已经知道了…     

需求函数的价格弹性与收益的关系

弹性概念是西方经济学中的一个基本概念,也是经济数学中导数应用的一个重要概念。fx在点x处的弹性反应了随着x的变化,fx变化幅度的大小。需求价格弹性是经济活动中应用最广泛的概念之一,利用需求价格弹性的经济含义,可以明确地反映商品价格的涨价或降价对总收入的影响程度,使经营者进一步认识到:涨价未必增收,降价未必减收的理论根据。设某商品的需求量为Q,价格为P,则Q=Qp,当P有改变量△P时,相应地Q有改变量△Q,需求量Q对价格P的弹性定义为:E=-△Q/Q△P/P(负号为了使E取正值)当QP为可微函数时,可用微分方法定义:E=-dQ/QdP/P设R为…     

推导向心加速度公式的两种方法

方法1（1）做匀速圆周运动的物体从A点运动一周又回到A点, △υ=0,△t=T, 平均加速度a=△υ/△t=0.     

三角形的一个性质及其应用

定理 设P是△ABC所在平面上一点,AP,BP,CP分别与对边BC,CA,AB所在的直线交于D,E,F,则AP/PD=AE/EC AF/FB. 证明 如图1,因为△APC和△BPC有公共边CP,故S_(△APC)/S_(△BPC)=AF/FB,同理S_(△APB)/S_(△BPC)=AE/EC。 图1 ∴AE/EC AF/FB=S_(△APC)/S_(△BPC) S_(△ABC）/S_(△BPC)=(S_(△ABC)-S_(△BPC))/S_(△BPC)=(S_(△ABC)/S_(△BPC)-1)=AD/PD-1=AP/PD。 即AP/PD=AE/EC AF/FB。     

一道IMO试题的推广及简证

题 设P为△ABC内任意一点,P到三边BC、CA、AB的距离依次为d_1,d_2,d_3,记DC=O,CA=b,AB=c,求证:a/d_1 b/d_2 c/d_3≥(a b c)~2/2S_(△ABC).(IMO-22)     

内心和外接圆的一个命题(初三)

命题1 已知:如图1,点I为△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D. 求证:DB=DI=CD. (《几何》第三册P199T12) 证明连结BI.由I为△ABC的内心,得     

一个平面几何命题的应用探讨

如图,P为△ABC内任意一点,过P分别作DE∥BC,FG∥CA,HK∥AB,得△GDP,△PEK,△PHF,易知:△GDP∽△KPE∽△PHF∽△ABC,不仅如此,这四个三角形还有更密切的联系。定理设图中的△GDP、△KPE,△PHF与△ABC的相似比分别为k_1、k_2、k_3,则有k_1 k_2 k_3=1。证明∵k_1=GD/AB, k_2=KP/AB=AG/AB,k_3=PH/AB=BD/AB。∴ k_1 k_2 k_3=(GD AG DB)/AB=1。由上述定理,还可得到: