例谈矩阵的合同变换法

借助矩阵的合同变换法,给出了化实二次型为标准形的方法、求标准正交基的方法,并给出了正定二次型判定定理的新证明。     

关于正定二次型一个定理的另一种证明法

在张禾瑞、郝鈵新编的《高等代数》中,正定二次型是实二次型的一个重要内容。定理9·3·1,9·3·2从两个不同的角度给出了判定二次型正定的两种方法,对于定理9·3·2的证明,我们看起来实觉难懂,不太自然。本文将给出该定理的另一种证法。现将定理     

正定、半正定矩阵在线性代数中的一些应用

1 引言 我们知道,正定、半正定矩阵来源于二次型。在一般的高等代数教科书中占有重要的地位。但限于教学大纲,它们的应用没有充分地展示出来。本文介绍它们在线性代数中的一些应用。     

二次型与稳定矩阵之间的关系

借助广义正定矩阵,讨论了二次型与稳定矩阵之间的关系,阐述了一些文章中的错误。     

实对称矩阵在求多元函数极值中的应用

设点P(a1,a2,…,an)是n元函数f(X)=f(x1,x2,…,xn)的一个稳定点,当P有增量ΔP=(h1,h2,…hn)时,相应地函数有增量Δf=f(P ΔP)-f(P).根据Δf的不同情况,可以判断f(P)是不是极值,是极大值还是极小值.由泰勒(Taylor)公式及高阶无穷小的概念知道,Δf的主要组成部分是一个关于h1,h2,…,hn的实二次型,其系数为f(X)在点P处对各自变量的二阶偏导数和二阶混合偏导数,其矩阵是一个实对称矩阵,用A表示,如果A为正定矩阵,则二次型为正定二次型,Δf>0,从而f(P)为极小值;如果A为负定矩阵,则二次型为负定二次型,Δf<0,从而f(P)为极大值;如果A既不正定,又不负定,则f(P)不是极值.     

关于次半正定矩阵

本文给出了次半正定矩阵的基本概念，论述了交半正定矩阵的基本性质，讨论了次半正定矩阵Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ乘积和Ｈａｄａｍｅｒｄ乘积的次半正定性。     

四元数体上的次正定矩阵

定义了四元数体上的次正定矩阵，讨论了它的基本性质，研究了Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ乘积和Ｈａｄａｍａｒｄ乘积的正定性。     

一个求解对称仿射二次锥互补问题的矩阵分解方法

本文基于矩阵分解方法将一个矩阵分解为两个矩阵的和,并且使其中一个子矩阵具有一种特殊的结构,在此基础上给出了当矩阵半正定时,求解对称仿射二次锥互补问题的一个逐次超松弛迭代方法.     

关于次正定复矩阵的一些性质

给出次正定复矩阵的定义以及它的一些性质.     

次正定矩阵一个定理的证明

给出了文献「１」中关于次正定矩阵Ｈａｄａｍａｒｄ乘积的一个定理的证明。     

正定复矩阵的Kronecker积的两个结论

Ａ、Ｂ是正定（ 半正定）复矩阵,则ＡＨ（Ｂ） 是正定（半正定） 复矩阵     

四元数体上的广义次正定矩阵

定义了四元数体上的广义次正定阵,研究了它的基本性质。     

实对称矩阵的正定性

本文仅讨论有关实对称矩阵的正定性问题,提出了实对称正定矩阵的逆矩阵、两个实对称正定矩阵的和都是正定的,同时给出了两个实对称正定矩阵的乘积是实对称正定矩阵的一个充分必要条件,最后给出了实对称正定矩阵在分决矩阵中的一个结论.     

体上一矩阵方程的次自共轭及斜亚半正定解

给出了体上的矩阵方程 [AX =B]有次自共轭解、斜亚半正定解的充要条件及其通解表达式 .     

浅谈线性代数二次型的教学

在二次型的教学中要突出体现化简与转化的数学思想,并且注意线性代数知识之间的内部联系.熟练应用矩阵的工具与二次型的标准形可以使二次型中的许多问题容易得到解决.     

广义次正定矩阵的一组性质

本文是［１］的继续，研究了广义次正定矩阵的Ｈａｄａｍａｒｄ乘积和Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ乘积的一些性质。     

关于半正定矩阵Hadamard积的矩阵不等式

半正定矩阵与正定矩阵在不等式的研究上有相当大的区别,将正定矩阵推广至半正定矩阵,需要用Moore Penrose逆来代替一般的逆。利用分块矩阵和Schur补得到了关于半正定矩阵Moore-Penrose逆的Had-amard积的几个偏序不等式。     

正定复矩阵Kronecker乘积与Hadamard乘积的正定性

本文给出了关于正定复矩阵，半正定复矩阵的Kronecker乘积与Hadamard乘积正定性的两个结论。     

关于正定复矩阵的一个重要不等式

研究了一类正定矩阵的性质,给出正定复矩阵的一个重要不等式。     

正定复矩阵行列式的模的几个不等式

给出几个关于正定复矩阵和半正定复矩阵行列式的模的不等式。