指数化对数 巧妙比大小——一道高考题的求解方法

<正>题目(2017年全国高考题)设x,y,z为正数,且2^x=3x=3^y=5y=5^z,则()(A) 2x <3y <5z(B) 5z <2x <3y(C) 3y <5z <2x(D) 3y <2x <5z试题巧妙地设置三个指数式连等,进而判断对应的三个关系式的大小关系.题目背景简单,解决的切入点较多,方法多样.解决问题的关键是巧妙转化三个连等的指数式,     

spq多项式在数学竞赛中的应用

<正>令s=x+y+z,p=xy+yz+xz,q=xyz,则三元轮换对称式f(x,y,z)都可以用s,p,q表示。本文举例说明spq代换在数学竞赛中的应用。1一组常见的spq恒等式(1)x²+y²+z²=s²-2p;(2)(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)·(x+y)=s²+p;(3)x³+y³+z³=s³-3sp+3q;(4)(x+y)(y+z)(z+x)=sp-q;(5)xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=sp-3q;(6)x²(y+z)+y² (z+x)+z² (x+y)=sp-3q;(7)x²y²+y²z²+z²x²=p²-...     

用“1”巧证不等式

1.利用"1=1ⁿ"例1设x,y,z∈R⁺,且x+y+z=1,求证:x²+y²+z²+2（3xyz）^1/2≤1.分析注意到原不等式左、右边式子中指数的差异及条件x+y+z=1,故把不等式右边的"1"构造为1=1²=（x+y+z）².证明原不等式可转化为     

函数与方程思想在高中数学解题中的应用

<正>函数是高中数学的重要内容之一,也是高考中的核心考点。运用函数与方程思想解题可以大大简化问题,提高综合解题能力。一、解数列问题例1若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z成等差数列。解析:观察题目条件,容易发现题设与判别式b2-4ac=0形式相似,联想到构造一元二次方程来证明。分两种情况进行讨论,当x=y时,(z-x)²=0,得到z=x,此时x=y=z,x、y、z成等差数列;当x≠y时,引入参     

走进线性规划的思维途径

线性规划初步是高中教材新增内容,又是与其他知识交汇的典型数学问题,也是历年高考热点.走进线性规划的思维途径何在?现对此问题作探讨.1.走纵截距之路在线性规划中,对于形如 z=ax by c型的目标函数,可先变形为 y=-a/bx z/b-c/b,(z/b-c/b)看作直线在 y 轴上的截距,问题就转化为求纵截距范围或极值的问题.例1 (2005年山东省高考题)设 x、y 满     

几个数学问题的加强

1 (<数学通报>2009年1月号问题1772)设x、y、z ∈R+.试证: y+z/2x+z+x/2y+x+y/az≥2x/y+z+2y/z+x+2z/x+y (1) 今给出(1)式的一个加强推广,供参考.     

对一道竞赛题答案的质疑与探究

<正>题目(2018年全国高中数学联赛安徽预赛第11题)(1)求证:对于任意实数x、y、z,都有x²+2y2+2y²+3z2+3z²≥3(1/2)(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k>3(1/2),使得对于任意实数x、y、z下式恒成立?x2≥3(1/2)(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k>3(1/2),使得对于任意实数x、y、z下式恒成立?x²+2y2+2y²+3z2+3z²≥k(xy+yz+zx).试证明你的结论.问题(1)比较简单,在此略去.对于问题(2),网上传出标准答案,摘录如下:     

认识线性规划问题 关键抓截距

<正>对于线性规划问题中的线性目标函数:z=Ax+By(B≠0),如果把其中的z看成一个参数,那么,线性目标函数:z=Ax+By(B≠0)就是一个直线系方程,即该方程可以变形为y=-A/ Bx+z/B,其中-A B为斜率,z/B为截距。于是线性规划问题中所要解决的z的最值问题就转化为观察直线系方程y=-A/Bx+     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

多变量函数最值或范围问题的处理策略

<正>近几年高考中经常会出现多变量(通常为两个或三个)函数最值或范围的问题,学生普遍感觉此类问题较难。其解决的基本思路是减元,下面通过举例说明解决这类问题常用的一些减元策略。一、若条件为一个等式或一个不等式可代入消元或放缩消元,将其变为单变量的函数问题或者双变量的基本不等式问题。例1设x,y,z为正实数,满足x-2y     

聚焦联赛中不等式的解题方法

<正>不等式一直是数学竞赛和高考的热点,也是学生学习的重点.但由于其解题方法千变万化,对学生的化归、逻辑推理、发散能力均要求较高,所以学生不容易掌握.本文将从七个方面加以阐述,以便对求解不等式提供帮助.一、公式法例1(2015年山东省预赛题)已知x,y∈[0,+∞)且满足x³+y3+y³+3xy=1,则x3+3xy=1,则x²y的最大值是____.解将z看成-1,利用公式x2y的最大值是____.解将z看成-1,利用公式x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=(x+y+     

一个不等式的新证

1996年<中等数学>第2期数学奥林匹克题初40题为:已知x,y,z为正实数,求证:(x)/(2x y z) (y)/(x 2y z) (z)/(x y 2z)≤(3)/(4).     

2013年高考数学湖北理科卷第13题的多种解法

题目（2013年高考湖北卷·理13）设x,Y,z∈R,且满足:x²+y²+z²=1,x+2y+3z=√14,则x+y+z=——.解法1（柯西不等式）因为x²+y²+z²=1,x+2y+3z=14^1/2,所以利用柯西不等式得（1²+2²十3²）·（X²+y²+z²）≥（x+2y+3z）²,即14≥14,说明不等式等号条件成立,故1/x=2/y=3/z.令1/x:2/y:3/z:1/k,则x=k,Y=2k,z=3k,将其代入x+2y+3z=14^1/2,得k=14^{1/2),即x+y+z=6k=14^1/3.     

两个三元三次不定方程的整数解

<正>文[1]编入两道关于不定方程的习题:(1)证明x³-y3-y³=xy+1993无正整数解;(2)求x3=xy+1993无正整数解;(2)求x³-y3-y³=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x3=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k(x3-3xyz=k(x²+y2+y²+z2+z²)+d(1)x2)+d(1)x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k x(y+xz+yz)+d(2)其中k、d∈Z,因对称性,约定方程⑴和方程⑵中x、y、z的值任意轮换时所得诸解为同一组解.     

2019年全国高考卷Ⅲ第23题的推广及应用

2019年高考全国卷Ⅲ第23题(1):设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2的最小值.若以不等式方式呈现就是:设x,y,z∈R,且x+y+z=1,求证:(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2≥4/3.     

数学竞赛中和积型问题解决的策略

在数学竞赛中经常会碰到一些涉及两数(式)和与两数(式)积的问题,这类问题一般难度较大,不易解答。解答这类问题需要掌握一定的策略。本文举例说明解答这类问题常见的策略,供同学们参考。1 利用完全平方式转化和积 例1 已知x,y,z为实数,且x y z=5,xy yz zx=3,试求z的最大值与最小值。(加拿大第10届数学竞赛题) 解由题意有x y=5-z①,xy (x y)z=3,所以xy=3-(x y)z=3-(5-z)z=z2-5z 3②,由①②利用公式(x y)2-4xy=(x-y)2≥0得(5-z)2-4(z2-5z 3)≥0,即3z2-10z-13≤0,解之得-1≤z≤13/3,故z     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

有奖解题擂台(119)

<正>题已知正数x,y,z满足x≤y≤z,又△ABC的三个内角A,B,C满足A≥B≥C,求证:xcosA+ycosB+zcosC≥2/3(x cos² A/2+y cos2 A/2+y cos² B/2+z cos2 B/2+z cos² C/2)≥1/2(x+y+z).第一位正确解答者将获得奖金100元.擂题提供与解答请电邮至guoyaohong1108@163.com,解答认定时间以电子邮件时间为准.欢迎广大读者踊跃提供擂题.     

一道轨迹方程问题的多角度思考

<正>求动点轨迹方程是解析几何中的基本问题之一,也是每年高考数学考查的热点内容之一,其问题的实质在于探求动点满足的"几何条件",将其转化为"代数方程".由于形成动点轨迹的条件千变万化,实现"坐标化"途径也不一样.为了更好地与同学们一起领悟这一类问题的实质,突破思维障碍,笔者在此抛砖引玉,多角度、多思路来探求一道求动点轨迹方程问题,以飨读者.题目已知圆C:(x-1)²+y2+y²=1,O为     

局部含绝对值问题的教学策略

<正>函数y=|f(x)|和函数y=f(|x|)的问题,可转化为函数y=f(x)的相应问题解决,这一转换已为学生熟知.含有绝对值但不属于上述两种类型的函数问题,我们不妨称它为"局部含绝对值"的问题.例如下面的问题.问题1(2009年江苏高考题)设a是实数,函数f(x)=2x²+(x-a)|x-a|.(1)若