巧借数轴解题

<正>数轴是理解不等式的解集与解不等式(组)的重要工具,是数与形结合的基础.借助数与形结合思想解题,可以化难为易,化繁为简.下面举例说明数轴在求解不等式(组)问题中的巧妙应用.例1若不等式组{4a-x>0,x+a-5>0无解     

“常量”与“变量”

常量与变量是数学的两个重要概念.在不同的问题中,同一个字母可能是常量,也可能是变量,具有相对性.在解题时常常被忽视或对其认识不足.现举几例,供同学们借鉴. 例1 若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围. 解:原不等式化为(x2-1)m-(2x-1)<0,记f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2).根据题意知,要使不等式成立,只要f(-2)<0且f(2)<0,即2x2+2x-3>0且 2x2-2x-1<0.解之,x的取值范围是(-1+7～(1/7))/2相似文献   

“以形辅数”解题的若干途径

“以形辅数”是数形结合的一个重要方面,从思维角度看,“形”有助于人们对问题作直观的分析,所以“以形辅数”是一种重要的解题方法。一、借助不等式对应的区间或区域进行不等式组和集合运算。例1 (1988年全国高中联赛试题)有三个集合M、N、P,其中M={(x,y)||x|+|y|<1}, N={(x,y)|((x-1/2)~2+(y+1/2)~2)~(1/2)+((x+1/2)~2+(y-1/2)~2)~(1/2)<22~(1/2)},P={(x,y)||x+y|<1,|x|<1,|y|<1},则下列正确的为: (A)M(?)P(?)N;(B)M(?)N(?)P;(C)P(?)N(?)M;(D)以上均不成立。解:在平面上作出M、N、P的区域,见图1。 M是正方形ABCD内的点集, P是六边形DAEBCF内的点集,     

函数、导数与不等式交汇问题的解答策略

策略一:数形结合例1函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,f′(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x f′(x)≤0的解集为     

构造可导函数在解不等式中的巧妙应用

<正>构造函数法是一种常用的解题方法,比如函数与方程、不等式问题,小题中构造可导函数解不等式是常见题型,如果巧妙地构造函数,进而研究函数的性质,问题就会迎刃而解,下面就几种题型和大家一起交流一下。一、构造f(x)±g(x)型例1定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)满足f'(x)>1,且f(2)=3,则关于x的不等式f(x)相似文献   

函数单调性的应用

函数的思想方法是中学数学的一个重要思想方法,而其中运用函数的单调性解题是函数思想方法中常用的一种解题方法,单调性也是函数的一个重要性质,在解决解不等式或证明不等式中有着非常重要的作用,本文就谈一谈它的运用。一、在解不等式中的应用若f(x)是区间D上的增函数,由定义有x1相似文献   

例说构造函数解不等式

例1.解不等式、/不丙一勺万二兹>3〔l一x)解:构造函数f(x)一、/产妥不革一了不瓜+3x在〔一4,冬〕上是增函数. 乙又丫f(1)一3:.原不等式变形为f(x)>3一f(1).’.x>1~一一~,、,,一、.__一7则原不等式的解为1o 解:构造函数f(x)一x(1+、/万石),x任R. f(x)在〔0,+oo)上是增函数. 又f(一x)一一x(z+v仗不几)一一f(x) :’f(x)为奇函数,从而f(x)在(一二,+二)上是增函数. 则不等式可化为f(x+l)+f(x)>o 即f(x+l)>一f(x)=f(一x…     

一道数学题剖析

题:当k为何值时,解析式 f(x)=x~2+(kx~2+2kx+1/2k+1)~(1/2)是实数集上的函数?写出函数的定义域。乍一看来问题不难,然而学生在解此题的过程中往往出错或者解答不全面。原因是不能很好地地利用数形结合以正确地寻觅全面解决问题的方法步骤,现将此题的分析过程和解题步骤叙述如下: 分析当且仅当f(x)的表达式中被开方式     

“不等”中挖掘“等”的辩证解题模式

在不等式的证明中经常要用到恒等式的变形,然而在一些等式（方程）问题中,若变换思维视角,转换解题模式,借助重要不等式,探求其等号成立时的条件,实现等式化处理,能收到奇特的解题效果.下文将通过几个典型例题来说明不等式思想解决有关等式问题这一辩证解题模式之应用.例1（2013年高考理科13题）设x,y,z∈R,且满足x²+y²+z²=1,x+2y+3z=（14）^1/2,则x+y+z=_<sub><sub><sub>.证明:利用柯西不等式,得（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²,因为x²+y²+z²=1,所以（x+2y+3z）²≤14,即得x+2y     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

例谈构造法解题的思维途径

"构造法"解题,就是构造数学模型解决问题.在中学的数学竞赛和高考题目中,它的应用十分广泛,特别有些技巧性强的题目,学生往往手足无措,难于下手.本文举例说明"构造法"解题的几种思维途径,供参考一、构造函数例1已知函数f(x)=x~2+2x+alnx.当t≥1时,不等式f(2y-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围.解析:不等式f(2f-1)≥2f(t)-3(?)2t~2-     

浅析分离参数法求解范围问题

<正>在方程有解、不等式恒成立等问题中求参数的取值范围时,如果能够把参数分离出来,即方程或不等式的一端为参数,另一端为某个变量的代数式,则只要研究其对应函数的性质即可根据问题的具体设问得出参数的取值范围。下面我们就来谈谈分离参数法在解参数取值范围问题中的应用。例1已知函数f(x)=(ax²+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x2+x-1)·e x(a<0),当a=-1时,函数y=f(x)与g(x)=1/3x³+1/2x3+1/2x²+m的图像有三个不同     

“恒成立”问题解题策略探究

<正>在学习过程中,经常遇到"恒成立"问题,且在各种考试中反复出现,可以说这一类问题是考试必考的一类题,因此把自己学习的经验与总结的解题策略写成本文,以期与同学们共同进步。一、判别式法例1设函数f(x)=e^x/xx/x²+ax+a,其中a为实数,若f(x)的定义域为R,求a的取值范围。解析:f(x)的定义域为R,则x2+ax+a,其中a为实数,若f(x)的定义域为R,求a的取值范围。解析:f(x)的定义域为R,则x²+ax+a≠0恒成立,Δ=a2+ax+a≠0恒成立,Δ=a²-4a<0,所以0相似文献   

解一元二次不等式的几点技巧

一元二次不等式的解法往往与数形结合 ,分类思想 ,集合、函数等知识联系在一起 .由于其题型综合 ,解题需要有较强的技巧性 .我们通过几个例子来体会一下 ,解一元二次不等式的常用技巧 .1　数形结合法注意数形结合思想 ,可以直观明了问题 ,降低难度 ,易掌握少出错 .例 1　如果 A ={x|2 相似文献   

一元二次不等式恒成立问题

<正>一元二次不等式恒成立问题是同学们学习的一个难点,下面我结合一些例题谈一下自身的体会,希望对大家能有所帮助。一、不等式在R上恒成立求参数例1已知函数f(x)=2kx~2+kx-3/8,若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数k的取值范围。     

例说一个等价命题的应用

命题m0>b,则不等式a>1x>b等价于()(A)1b相似文献   

一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

解含参数不等式的问题的策略

含参数不等式的问题,是中学数学中最为常见的题型之一.解题思想方法比较丰富,思维程度较高、综合性强,是近几年高考中的重点和难点,学生在解题时往往感到无从下手,在高考中得分不高.而解决此类问题需要学生灵活地进行适当转化,综合运用所学知识,方可取得较好的解题效果.下面就高考中比较常见的几类问题,谈谈个人的浅见供参考.问题一解含有参数的不等式例1(2005年江西卷,理17)已知函数f(x)=axx+2b(a,b为常数),且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)设k>1,解关于x的不等式:f(x)<(k+21-)xx-k.解析:本题主要考查…     

求函数表达式杂例一束

本文介绍求函数f(x)的表达式的几种方法,目的在于使学生深刻理解函数的定义,熟练掌握解题时常用的数学方法,以发展学生的思维能力。例1.(变量代换)已知二次函数f(x),满足f((1+x)/x)=(x~2+1)/x~2+1/x,求f(x)的表达式解f((1+x)/x)=(x~2+1)/x~2+1/x=1+1/x~2+1/x,     

巧用数形结合 解决方程问题

数形结合是一种重要的解题方法,在解决一些方程类问题时,若能利用数形结合,则往往简捷明快,这里举出几例。 1 在含参数方程中的应用 例1 若关于x的方程 7x~2-(p 13)x p~2-p~2-2=0的两根α、β满足0<α<1<β<2,求实数p的取值范围。 解 令f(x)=7x~2-(p 13)x p~2-p-2,则原程的两根。α、β就是抛物线y=f(x)与x轴交点的横坐标。要使方程的两根符合条件,就必须使抛物线与x轴的两交点分别在x轴上的区间(0,1)与(1,2)内,又因抛物线开口向上,故有