浅析摩擦角及其有关现象

物体(质点)沿倾角为θ的斜面下滑,若物体与斜面间的动摩擦因数为μ,当斜面倾角θ满足tanθ=μ时,物体能沿斜面匀速下滑．分析此时物体的受力情况并根据力的平衡条件可得出:N和f的合力F必和mg等大反向,如图1所示．由几何关系得出:(?)=θ．所以,tanθ=tan(?)=f／N=μ,或θ=(?)=tan-1μ．     

浅析摩擦角及其有关现象

物体（质点）沿倾角为θ的斜面下滑，若物体与斜面问的动摩擦因数为μ，当斜面倾角θ满足tanθ=μ时，物体能沿斜面匀速下滑．分析此时物体的受力情况并根据力的平衡条件可得出：N和f的合力F必和mg等大反向，如图1所示．由几何关系得出：φ=θ所以，tanθ=tanφ=f／N=μ，或θ=φ=tan^-1μ．     

三角计算中应注意角范围的精确性

有这样一道解答题：已知sinθ=-3/5,3π〈θ〈7π/2，求tanθ/2的值，许多同学采用下面的解法. 解 由sin=2sinθ/2cosθ/2/sin^2θ＋cos^2θ/2=2tanθ/2/1＋tan^2θ/2,得2tanθ/2/1＋tan^2θ/2=-3/5     

也谈在圆内解释三角公式

《中学生数学》2003年第12期（上）刊登的刘冬辉同学《在圆内解释三角公式》一文“利用圆的特点,不难解释三角公式：tanθ/2=sinθ/（1＋cusθ）和cotθ/2=（1＋cosθ）/sinθ.     

万能公式不万能

我们通常称公式sinα＝２tanα２１＋tan２α２、cosα＝１－tan２α２１＋tan２α２和tanα＝２tanα２１－tan２α２为万能公式，这是因为不论α角的哪一种三角函数都可以通过这三个公式把它化为tanα２的有理式．运用万能公式解题有助于问题的解决，但有时也容易出错．例已知sinθ＝－３５，３π＜θ＜７π２，求tanθ２．解法一∵３π＜θ＜７π２，∴３π２＜θ２＜７π４，∴tanθ２＜０．θ∵sinθ＝２tanθ２１＋tan２θ２，∴－３５＝２tanθ２１＋tan２θ２，即３tan２θ２＋１０tanθ２＋３＝０．∴tanθ２＝－３或tanθ２＝－１…     

直线与椭圆有公共点问题的四种解法

题目　设 0≤θ≤π ,直线l:xcosθ +ysinθ=2和椭圆x26+y22 =1有公共点 .求 :θ的取值范围 .解法一 :(判别式法 )①cosθ=0时 ,直线l的方程为 :y =2 ,此时直线和椭圆相离 .②cosθ≠ 0时 ,直线l的方程为 :x=-ytanθ+2secθ　代入椭圆方程 :x2 +3y2 -6=0　可得 :( 3 +tan2 θ)y2 -4secθtanθ·y+4tan2 θ-2 =0由Δ =16sec2 θ·tan2 θ -4 ( 3 +tan2 θ) ( 4tan2 θ -2 ) ≥ 0 ,解得tan2 θ≤ 1,又∵ 0 ≤θ≤π ,∴θ∈ 0 ,π4∪ 3π4,π .评注 :判别式法是处理直线和圆锥曲线位置关系最常规的方法 ,思想方法较简单 ,但有时运算较复杂 .解…     

“弦化切”思想在三角问题中的应用

一、求角的范围例1若sinθ cosθ >0,则θ在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限解∵sinθcosθ>0,∴sinθcosθsin2θ+cos2θ>0,∴tanθtan2θ+1>0,∴tanθ >0.选B.二、求值例2已知tan(π4+α)=2,求12sinαcosα+cos2α的值.解∵tan(α +π 4)=2,∴1+tanα1-tanα =2,tanα=1 3.∴ 12sinα cosα +cos2α=sin2α +cos2α2sinα cosα +cos2α=tan2α +12tanα +1=2 3.例3已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α 缀[π2,π],求sin(2α+π3)的值.解显然cosα≠0,∴原条件可化为6tan2α+tanα-2=0,解得tanα=-2…     

有用的摩擦"自锁现象"

1斜面的自锁现象如图所示,把质量为m的物体放在斜面上,慢慢地增大斜面的倾角θ,当倾角增大到一定程度时,物体开始滑动。在物体刚开始滑动时,静摩擦力最大。根据物体平衡条件,有:mgsinθ=μmgcosθ∴μ=tanθ由此可知:θ=arctanμ,此时θ角被称为摩擦角。显然,当斜面的倾角小于θ时,在斜面上无论放多重的物体,由于重力沿斜面向下的分力始终与静摩擦力平衡,并且小于最大静摩擦力,物体不会滑动。这就是斜面的摩擦“自锁现象”。     

巧用摩擦角解决平衡问题

在中学物理中,滑动摩擦力(最大静摩擦力)的计算为f=μN,μ是由接触面的情况和材料决定的,一般情况是不会发生变化的,f和N成正比关系,我们把f和N合成为F,F与N的夹角为α,tanα=μ是定值,它不会随f和N的变化而变化,则把α角叫做摩擦角,往往利用摩擦角,来分析一些物理平衡问题非常     

向量与三角

题目：△ABC为锐角三角形,若角口终边上一点P的坐标为（sinA—cos B,cos A—sin C）,则y=sinθ/｜sinθ｜＋｜cosθ｜/cosθ＋tanθ/｜tanθ｜的值是（ ）．     

力学中的“自锁”案例与“解锁”策略

案例1如图1所示,三角形木块放在倾角为θ的斜面上。若木块与斜面间的动摩擦因数μ〉tanθ,则无论作用在木块上竖直向下的外力F多大,木块都不会滑动,这种现象叫做“自锁”．试证明之．     

利用单位圆 巧解三角题

一、利用单位圆,比较三角式的大小． [例1] 已知0<θ<π/2,试比较1-sinθ/1-cosθ和tanθ的大小．解:在图1所示的单位圆中的第一象限中任取点P, 令∠POx=θ,再取点A(1,1), 则KOP=tanθ,     

整体代换解题六则(高一、高二、高三)

解决数学问题时,利用整体代换往往能化难为易,化繁为简.下面举例说明.1.求值例1 若4sinθ 3cosθ=5,求tanθ。解设tanθ=k,则有     

一个引理与一道CMO题的解

2003年中国数学奥林匹克(CMO)第3题:给定正整数n,求最小的正数λ,使得对任何θi∈(0,(π/2)(i=1,2,…,n),只要tan θ1·tan θ2·...·tan θn=2(n/2),就有cosθ1 cosθ2 ... cosθn不大于λ.     

高考数学答题失误分析

纵观近年来的高考数学答题情况,发现不少考生临场发挥不佳、失误频频·现将往届高考中的种种错误进行分析归纳,希望能对同学们有所启示·一、知识性错误1·数学概念和性质模糊不清导致错误例1设θ是第二象限角,则必有()(A)tan2θ>cot2θ(B)tan2θcos2θ(D)sin     

值得研究的一个最大角问题

《普通高中课程标准实验教科书》数学5(必修,2004年人教版)习题3.4B组第113页第2题:树顶A离地面a米,树上另有一点B离地面b米,在地面的C处看此树上的A,B两点,离此树多远时视角最大(图形此处略,以下简称问题).1.问题的解决解法1(三角法)设树与地面相交于一点O,则∠OCB=α,∠OCA=β,∠ACB=θ=∠OCA-∠OCB=β-α,OC=x,则有tanα=xb,tanβ=xa所以tanθ=tan(β-α)=1ta ntβa-ntβtaannαα=xa -axbb(1)由已知有a>b,x>0,故由(1)知tanθ>0,所以θ为锐角,由基本不等式得tanθ≤a-b2x·axb=2a-abb,由三角函数得sinθ≤aa -bb,所以θmax=arc…     

用三角代换法证明不等式(高一、高二、高三)

题1设x∈(1,2),求证:1/x 1/(2-x)>2.证明设x=2sin2θ(θ∈(π/4,π/2)),则1/x 1(2-x)=1/2csc2θ 1/(2cos2θ)=1/2csc2θ 1/2sec2θ=1/2(1 cot2θ 1 tan2θ)=1/2(2 tan2θ cot2θ)≥1/2(2 2(tan2θcot2θ)~(1/2)(但等号不成立)     

深挖课本结论，简解三角题

在三角函数学习中,有关sinθ±cosθ或tanθ-cotθ关系的一些题中,用常规解法解决费时、繁琐,若用下列结论解决,则明了、简洁,尤其解决一些“小、巧、活”的客观题,显得“简、快、准”,有“不点学生‘自通’”之效．     

倾斜传送带上物体的运动

例1 如图1所示,足够长的传送带与水平面的夹角为θ,以速度u0‰逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为Ⅲ的小木块,小木块与传送带之间的动摩擦因数μ〈tanθ,则能反映小木块的速度随时间变化关系的是（） 分析小木块被释放后的开始阶段相对地面做匀加速直线运动,相对传送带向上运动,所受摩擦力沿斜面向下,受力如图2,由牛顿第二定律,得     

关于CMO_(18-1(3))的探究

第 18届中国数学奥林匹克 (CMO)第一天试题第 3题是 :给定正整数n ,求最小的正数λ ,使得对任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i =1,2 ,… ,n) ,只要tanθ1 tanθ2 …tanθn =2 n2 ,就有cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 不大于λ .解答试题可得cosθ1 +cosθ2 +… +cosθn 的最小上界 ,那么 ,自然要问cosθ1 +cosθ2 +…+cosθn 的最大下界是什么 ?笔者探讨得到了更为一般的结果 ,并一举两得———推广了第 4 2届国际数学奥林匹克试题 2和文 [1]的结果 ;给出了IMO42 -2 推广的最小上界 .定理 1　给定正整数n和λ≥n2 - 1,对于任何θi ∈ ( 0 ,π2 ) (i …