一道高考题的六面观(高二、高三)

题设动点P在直线x=1上,O为坐标原点.以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰直角△OPQ,则动点Q的轨迹是( ) (A)圆. (B)两条平行直线.     

利用二次曲线准线解题

圆锥曲线的准线是一条重要的直线,利用它解题,有许多方便之处。 例1.已知点A(1,0)和直线L: x=3,若动点M到点A的距离为m,到L的距离为n,且m n=4,(1)求点M的轨迹,(2)过A作倾斜角为α的直线与M点的轨迹交于P、Q,设d=|PQ|=f(α),求f(α)的解析式。     

平面几何的性质在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点,这一章涉及的题目运算量大,这不但需要较强的运算能力,而且更需要运算的技巧与方法,巧用平面几何的性质,可使繁杂运算简单化,现举例说明。例1点P是椭圆xa22 yb22=1(a>b>0)上任意一点,F1、F2为其左、右焦点,过F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线,垂足为Q,求点Q的轨迹方程.解:如图1,易知:Q是线段F2M的中点,PM=PF2∴OQ是△F2F1M的中位线∴OQ=12F1M=21(F1P PM)=21(F1P PF2)=a设点Q坐标为(x,y),则点Q的轨迹方程为:x2 y2=a2.图1图2例2已知两定点A(-1,0),B(2,0)满足∠MBA=2∠MAB,求动点…     

用“刚体运动”解一类轨迹与最值问题

我们先看一个例题 :例 1　已知动点 P在上半圆 x2 y2 =1(y≥ 0 )上运动 ,定点 Q(2 ,0 ) ,线段 PQ绕点Q顺时针旋转 90°到 QR,求动点 R的轨迹以及 R到圆心 O的距离的最大值和最小值 .这类问题的解法较多 ,较常规也较简单的解法是“复数法”:图 1先把圆方程改写成复数方程 :| z|= 1 ,设动点 P,R的复数为 z P,z R,定点 Q的复数为 z Q= 2 .再利用复数的向量旋转性质可得关系式 :(z R- z Q) i=z P- z Q,解得 z P=(z R- z Q) i z Q,代入圆的复数方程得| (z R- z Q) i z Q| =1 ,代入相关数据 ,并设动点 R(x,y) ,化为普通方程即是(x…     

依据条件谨防误区

题目　点P与点F( 2 ,0 )的距离和与直线x =8的距离的比是 1∶ 2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解法 1:设P(x ,y)是轨迹上的任意一点 ,它到直线x =8的距离为d ,则|PF|d =12 ,即(x -2 ) 2 y2|x -8|=12 .两边平方、整理得x2 2y2 8x =5 6,也就是(x 4 ) 272 y23 6=1.这就是所求动点P的轨迹方程 ,它表示一个中心在 ( -4 ,0 ) ,焦点为F′( -10 ,0 ) ,F( 2 ,0 ) ,长轴长是 12 2的椭圆 ,如图所示 .解法 2 :根据椭圆的第二定义知所求动点P的轨迹是一个椭圆 ,其焦点在x轴上 .因为焦点F( 2 ,0 ) ,准线x =8,所以c=2 ,a2c=8,解得a2 …     

一道高考试题的探究与推广

2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=…     

到定点与定直线的距离差为定值的点的轨迹

教学过程中经常会遇到这样的问题:动点P(x,y)到定点A(2,0)的距离比它到y轴的距离大2,求动点P(x,y)的轨迹方程。     

利用向量的数量积求点的轨迹方程

.利用向量模的概念图 1【例 1】　已知点P是直线y=1上的动点 ,Q是OP上的动点 ,且｜OP｜·｜OQ｜ =1,求动点Q的轨迹方程(如图 1) .解 :设Q(x ,y) ,(y >0 ) ,P(x1 ,1)∵ ｜OP｜·｜OQ｜ =1,∴x21 +1· x2 +y2 =1即 (x21 +1) (x2 +y2 ) =1①又OP ,OQ共线 ,OP∥OQ ,∴x -x1 y =0 ,即x1 =xy ②把②代入① ,并整理 ,得图 2x2 +y2 -x =0(y>0 ) .2 .利用非零向量垂直的充要条件【例 2】　已知圆x2 +(y-1) 2 =1上定点A( 0 ,2 ) ,动点B .直线AB交x轴于点C ,过C与x轴垂直的直线交弦OB的延长线于圆外一点P(如图 2 ) ,求P点的轨迹方程 .解 …     

解题应充分发掘隐含条件

有的同学在解题过程中往往对审题重视不够,匆匆一看就急于下手,以致题日的条件和要求都没有明确,这样必然导致解题出错.例如,浙江省2004年高中会考卷第33题:平面内一个动点 P 到两定点 A(-5~(1/2),0)、B(5~(1/2),0)的距离之和为6,设动点 P 的轨迹为E.(1)求轨迹 E 的方程;(2)在轨迹 E 上是否存在点 P(x,y)到点 Q(m,0)(0相似文献   

轨迹的纯粹性不可忽视

《数学通报》88—2《高中数学复习探讨》一文P33例4: 已知椭圆方程x~2/4+y~2=1,过P(4,-2)作一直线l交椭圆于M、N两点,又Q点在直线l上,并且满足2/|PQ|=1/|PM|+1/|PN|。求Q点的轨迹方程。解:设过P点的直线方程为 {x =4+tcosθ y=-2+tsinθ(t为参数)代入椭圆方程得(cos~2θ+4sin~2θ)t~2+(8cosθ-16sinθ)t+28=0由2/|t|=1/t_1+1/t_2得Q点轨迹方程为:     

一道试题引出圆锥曲线一个有趣的向量性质

2007年福建省高考理科第20题为:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且(?)·(?).(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知(?)=λ_1(?)=λ_2(?),求λ_1 λ_2的值.     

旧题新用 拓展创新

<正>在高三第二轮复习中,笔者选择了1995年全国卷数学(理)压轴题,让学生对其解法进行探究,目的使学生对求曲线的轨迹问题得到进一步复习、深化和掌握,达到预期的教学目标.现介绍如下.题目已知椭圆x2/24+y2/16=1,直线l:x/12+y/8=1,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上,且满足OQ·OP=OR2.当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.     

应用直线参数方程求动点轨迹解法的一点改进

为说明标题中的问题,让我们先从一道熟知的试题谈起。 例1 已知椭圆x~2/(24) y~2/(16)=1,直线L:x/(12) y/8=1,P是L上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|.|OP|=|OR|~2.当点P在L上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。（1995年全国高考题）     

平面闭折线k号心的一个有趣性质

本文在贵刊文[1]的基础上,探讨平面闭折线A(n)关于点P的k号心与它的一级顶点子集V j(1≤j≤n)关于点P的k号心之间的关系.定理1设闭折线A(n)关于P的k号心为Q.闭折线A(n)一级顶点子集V j关于点P的k号心为Q j(1≤j≤n),过点P任作一直线l,且Q、Q j、Aj三点到直线l的有向距离分别为d(Q)、d(Q j)、d(Aj),则d(Q)=d(Q j)+d(A j)/k.证明以任意一点P为原点建立平面直角坐标系xPy,则可设直线l的方程为ax+by=0.设各点的坐标分别为:Ai(xi,y i),Q(x,y),Q j(x'j,y'j)(i=1,2L,n且1≤j≤n),则11niix=k∑=x,y=1k∑in=1yi,'1j1(ni j)ix=k∑=x?x,y'j=…     

一道高考题引出的圆锥曲线的一个性质

2007年福建省理科20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且→QP· →QF=→FP·→FQ. (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程; (Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=λ1AF,MB=λ 2 BF,求λ1+λ2的值. 我们很容易求出本题第(Ⅱ)问λ1+λ2为定值0,那么在一般情况下,在其他圆锥曲线中是否也是定值.对此我们做了研究,得到了下面的定理.     

1995年一道高考解析几何题解法探讨

题目:已知椭圆x~2/(24) y~2/(16)=1,直线l:x/(12) y/8=1,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|~2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。     

对2011年高考数学安徽卷压轴题的探究

2011年高考数学安徽卷理科第21题:设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足BQ→=λQA→,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM→=λMP→,求点P的轨迹方程.本题设计新颖,主要考查直线和抛物线的方程,动点的轨迹方程,平面向量的概念、性质、运     

解析几何中的轨迹问题

解析几何中经常会碰到轨迹问题,而且它也是高考中的热点和难点.同学们碰到这类问题往往束手无策,但是如果我们能够善于归纳总结的话这些问题还是有规律可循的,下面归纳如下.1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意挖与补.2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.3.代入法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x’,     

对一道高考数学压轴题的研究

<正>2014年高考数学湖北卷文科压轴题(理科次压轴题)如下:在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程;(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.本题立足课本上的通性通法,考查求轨迹方程的基本方法、直线与抛物线的位置关系,考查     

一类(泛)阿基米德三角形的面积何时取最小值?

<正>从某知名资源网站上搜索到一道新题——例1(2015年河北省高三竞赛末题)已知椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1及点P(1,1/2),过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点,过A、B两点分别作C的切线交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)求△ABQ的面积的最小值.第(1)小题的类似题目较多,该网站也提供了