两类非线性递归数列的通项及其应用

定义:若数列{a_n}用递推公式给出:a_1=a,a_(n 1)=f(a_n)(n=1,2,…)则称{a_n}为递归数列,f为定义函数。当f为非线性函数时,称{a_n}为非线性递归数列。本文给出两类非线性递归数列通项公式的求法。一、递推公式为一次有理式的情形     

函数思想在数列中的体现

我们知道:数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1,2,3,L,n}上的特殊函数,当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．数列的通项公式a_n=f(n)是数列的第n项a_n与自变量n之间的函数解析式,数列的图像是横坐标为正整     

数列问题中取倒数求解例说

取倒数在解决有些数列问题中方便、快捷,能大大简缩思维.1.取倒数求数列的通项公式例1 已知数列{a_n}的前 n 项和为 S_n,a_1=2,当 n≥2时,2S_n~2=(2S_n-1)a_n,求数列{a_n}的通项公式.     

周期数列的一个通项公式

本文试图解决一类特殊数列的通项公式问题,这类数列的项是周期性地出现的。为此,我们给出如下定义: 定义对数列{a_n},如果存在一个自然数T,使得当k取自然数中每一个值时,恒有a_k+T=a_k成立,则称数列{a_n}为周期数列,T为{a_n}的周期。显然,周期数列的最小正周期一定存在,为方便计,本文所提及的周期均指最小正周期。     

数列求和常用的三种方法

数列求和是中学数学的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象之一.它对于提高数学思维能力十分有益,下面介绍数列求和的几种常用方法。一、错位相减法设数列{a_n}是等比数列,数列{b_n}是等差数列,则求解数列{a_nb_n}或{a_n/b_n}的前n项和S_n均可用错位相减法.例1设{a_n}是等差数列,{b_n}是各项都为正数的等比数列,且a_1=b_1=1,a_3b_5=21,a_5＋b_3=13,（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式;     

数列的单调性

<正>数列的单调性通常是由比较数列{a_n}中任意相邻两项a_n和a_(n+1)(n∈N_+)的大小来判断的,常用的方法有:(1)定义法:若a_(n+1)>a_n,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)0,则{a_n}是递增数列;若a_(n+1)-a_n<0,则{a_n}是递减数列。     

数列与函数

数列是一种特殊的函数,是以正整数为自变量的一种函数.那么,在解决数列的问题,函数起什么作用呢?一、利用函数与方程思想解决数列问题其核心就是构建函数和方程来解决数列的问题.例1(2010年浙江金华)等差数列{a_n}中,S_n是{a_n}的前n项和,已知S_6=2,S_9=5,     

高中数列通项公式问题的常见解题方法

<正>《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出,数列是特殊的函数,并要求学生通过探索数列的变化规律,建立通项公式[1].数列是高考的重量级常客,教材中关于数列的知识并不是很难,但题型却千变万化,灵活度较高,特别是求数列通项公式这部分内容.本文主要通过几道例题,总结归纳求数列通项公式的一般方法.例1已知数列{a_n},其中a_1=1,a_n=a_(n-1)+3(n≥2),求数列{a_n}的通项公式.分析本题难度较低,主要考查学生对等差数列定义     

求递推数列通项的思路和方法

给了数列的递推公式和初始值,起何求它的通项呢?下面通过例题说明求这类数列通项公式的一些基本思路和方法。例1 已知数列{a_n}的项满足: 求通项a_n。我们知道,数列的项a_n是自然数n的函数,递推式是一个循环方程, 实际上是未知数为a_n,a_(n-1)……a_2的函数方程组: 根据递推数列的这一本质特征,求通项a_n就是解方程组(*),求得未知函数a_n。     

数列中的最大(小)项问题探究

<正>在数列{a_n}中,若存在m∈N_+,对任意的n∈N_+都有a_m≥a_n恒成立,则a_m为数列{a_n}中的最大项;若存在t∈N_+,对任意的n∈N_+都有a_t≤a_n恒成立,则a_t为数列{a_n}中的最小项。求一个数列的最大(小)项的方法主要是判断数列的单调性,而判断数列的单调性主要有两种方法:(1)比较a_n与a_(n+1)的大小;(2)利用函数的图像判断。     

合成数列的又一通项公式

文[1]给出了合成数列{x_n}a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,…的通项公式x_n=1/2[f(n 1/2) g(n/2)] (-1)~(n 1) 1/2[f(n 1/2)-g(n/2)]. 本文用三角函数给出合成数列{x_n}的又一通项公式,并举例说明这个公式的应用。定理如果数列{a_n}和{b_n}的通项分别为a_n=f(n),b_n=g(n),那么,数列{a_n}与{b_n}的合成数列{x_n}的通项公式为     

逆用等差、等比数列的求和公式

有很多问题需要逆用等差、等比数列的求和公式来解决问题.(一)逆用等差数列的求和公式例1已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*) (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;     

数列解题方法技巧

<正>在处理数列题时,最基本的方法是运用定义及公式来解决,但是有时恰当地使用等差、等比数列的性质能给人以出奇制胜、耳目一新的感觉;同时在解决数列题时要注意加强与函数的联系,通过相应的函数及其图像的特征变化地、直观地去认识数列的性质.一、运用定义和公式法例1在数列{a n}中,前n项和S n=13a n-2(n∈N*),求{a n}.解析:为了求通项公式应先得到关于项的递推公式,由a n=S1n=1S n-S n-1n≥{2得,当n=1时,a1=S1=-3.     

差等比数列的通项公式与前n项和公式

本文对差等比数列的通项与前n项和进行探究,给出差等比数列的通项公式与前n项和公式。定义若数列{a_n}中,从第二项起,每一项与前一项的差成等比数列,则称该数列{a_n}为差等比数列。     

也谈周期数列的通项公式

本文利用计算数学中的Largrange插值公式及三角学知识分别求得了一般周期数列的通项公式. 首先我们指出:若数列{a_n}满足:a_(k+r)=a_k(k∈N),其中T是常数且T∈N,则数列{a_n}是周期数列.T为{a_n}的周期,以下所说的周期数列的周期均为最小正周期. 显然分段形式给出的通项公式是:     

’94高考数学理科(25)题引伸与简解

题目;已知数列{a_n}是正项数列。其前n项和为S_n,并且对于所有的自然数n,a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项.(Ⅰ)写出数列{a_n}的前三项;(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式;(Ⅲ)令b_n=1/2(a_n 1/a_n a_n/a_n 1)(n∈N),求lim(b_1 b_2 … b_n-n)。     

由一道数列题延伸出的问题

<正>近日和学生复习数列时遇到这样一道题目:数列{a_n}满足a_1=2,a_(n+1)=a_n+3,求通项公式a_n。这其实是个很简单的问题,学生看到该题就能发现a_(n+1)-a_n=3,符合等差数列的定义,知道这是一个等差数列,公差是3,首项是2,从而得到通项公式a_n=3_n-1。完成该题后让学生探讨新的方法解决这道题目,展开讨论。     

运用函数的观点解等差数列问题

数列{a_n}是等差数列的充要条件是 a_n=a·n b(a,b 为常数).又数列{a_n}是等差数列的充要条件是 S_n 是 n 的不含常数项的一次或二次函数.这一结论使等差数列与函数相结合,则用函数的观点解决一些等差数列问题,会收到意想不到的效果。例1 已知等差数列 a、b、c 中的三个数都     

递推方法

(本讲适合高中) 数列是初等数学的一个重要内容.在解数列问题时,经常会遇到下面一类题目: 已知:数列{a_n}满足a_1=2,a_2=3,a_(n+1)=3a_n-2a_(n-1). 求数列{a_n}的通项公式. 这种已知初始值和递推公式求通项公式的题目相当多,探讨它们解法的文章也相当     

浅谈由数列的前n项和S_n求通项公式

<正>利用递推关系求数列的通项公式一直是高考命题的热点问题,也是难点问题。一般地,如果递推关系中涉及到S_n时,应利用公式a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2),要么将递推关系转化为仅关于a_n的关系式(即消去S_n);要么将递推关系转化为仅关于S_n的关系式,求数列{S_n}的通项公式,再由公式a_n=S_n-S_(n-1)(n≥2)求出{a_n}的通项公式。