联想导数运算法则 合理构造函数解题

著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中明确提出,联想是解题计划的重要一环,学会联想是数学解题成功的一大关键.因此,在解题过程中,要善于观察题设条件与所求结论的结构特征,分析题设与结论之间的联系,联想题目与已有知识结构的相似性.本文结合联想导数运算法则,举例说明之.一、联想和、差函数的导数运算法则例1设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f′(x)g(x)(B)f(x)g(x)+f(b)(即选项     

导函数对称性的充要条件及应用

1 可导函数f(x)与其导函数f′(x)的对称性的有关结论 定理 设x0为函数f(x)定义域内的一点,n=f(x0)+f(2m-x0)2,则 (1)函数f(x)关于直线x=m对称的充要条件是f′(x)关于点(m,0)成中心对称;     

关于f″(h(x)) p(x)f′(h(x)) q(x)f(h(x))=F(x)的求解定理

文献中曾给出了 f′(h(x))=g(x)的若干求解公式.本文先提出三个引理,再借助复合函数求导法则、积分方法及变量替换法,给出新的微分方程 f″(h(x)) p(x)f′(x)) q(x)f(h(x))=F(x)·论证它在一定条件下的可积性,并获得通解的具体表达式.所得结论是对文献中问题的拓广与深化.     

根据f(x)的图象画出f′(x)的图象

一、关系结论设f(x)是定义域区间上的可导函数.1.(单调性)若函数f(x)的图象在某区间(a,b)内单调递增,则其导函数f′(x)在该区间内的图象必在x轴上方(或与x轴相切);若     

一类导数创新题的构造求解

1逆用导数运算法则构造例1(2011年广东佛山模考)设函数f(x),g(x)在R上的导函数分别为f′(x),g′(x),且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当af(b)g(x)(B)f(x)g(x)>f(b)g(b)(C)f(x)g(a)     

函数单调性结论的应用

设函数f(x)、g(x)的公共定义域为D,则有以下结论: 1.若f(x)和g(x)在D内都是增函数,则f(x)+g(x)在D内也是增函数; 2.若f(x)和g(x)在D内都是减函数,则f(x)+g(x)在D内也是减函数; 3.若f(x)在D内是增函数,g(x)在D内是减函数,则f(x)-g(x)在D内是增函数;     

关于函数f(x)、f(x+t)的讨论

在学习《函数》的过程中,我们常常会遇到关于函数f(x)、f(x+t)的某些问题.事实上,f(x+t)是一个复合函数,用g(x)代替x+t,则f(x+t)=f(g(x)).复合函数是一类更为抽象、复杂的函数,是教学的难点,也是学生感到棘手的问题.那么函     

方程a(x)y″(x)+b(x)y′(x)+c(x)y=0的解法探析

通过变量代换对于形如a(x)y″(x)+b(x)y′(x)+c(x)y=0的函数系数二阶常微分方程,当系数函数满足一定条件时,可以化为二阶常系数齐次微分方程。     

关于函数max(f(x),g(x))的可导性

我们知道,如果函数 f(x)、g(x)在点 x_0连续,则函数 max(f(x),g(x))在点 x_0亦连续。现在要问:如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,函数 max(f(x),g(x))是否在点 x_0亦可导呢?下面的定理1和定理2给出了判别函数 max(f(x),g(x))可导的充分条件。定理1 如果函数 f(x)、g(x)在 x_0点可导,且f(x_0)     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

一道导数题的方法变式与问题变式

2009年天津卷(文)第10题为:例1设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x~2,下面的不等式在R内恒成立的是().     

一道高考题解法引发的思考

题目 (2005年,辽宁,理科第22题)函数 y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数 f′(x)是减函数,且 f′(x)>0.设 x_0∈(0,+∞),y=kx+m 是曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处的切线的方程,并设函数g(x)=kx+m.(Ⅰ)用 x_0、f(x_0)、f′(x_0)表示m;(Ⅱ)证明:当 x_0∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);     

函数与导数交汇的四大常考点

一、研究原函数与导函数之间的关系例1(2012年高考重庆理科卷第8题)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

例析满足“f(x)=f(2a-x)”的函数的图象的对称性的应用

定理定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称的充要条件是f(x)=f(2a-x)(a∈R)证明:(1)充分性由f(x)=f(2a-x)可知若点A(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点,则点A′(2a-x,y)也在其图象上∵点A与A′关于直线x=a对称∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)必要性设A(x,y)是y=f(     

2012年山东高考数学试题(理科)第22题解析

题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明;     

函数不等式f(x)>g(x)与f'(x)>g'(x)的联系探究

<正>近几年的高考出现了与函数不等式有关的压轴题.此类题往往由常见函数的单调性和常用不等式引伸出来,如果不了解试题的背景,将导致论证上的困难或证明复杂化.为理清解题思路、简化解题过程,本文重点探究f(x)>g(x)与f'(x)>g'(x)的联系,以供参考.全文假设f(x)、g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,令F(x)=f(x)-g(x).     

一组高考试题引发的思考

1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值.     

题库(二十五)

1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=2a-3/a+1,求a的取值范围.2.记函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D使得f(x0)=x0成立,则称点(x0,x0)是函数图象上的"稳定点"若函数f(x)=3x-1/x+a的图象上有且仅有两个相异的稳定点,求实数a的取值范围.3.设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),若f(-1)+0,且对任意实数x均有f(x)≥成立,又当x∈[-2,2]时,g(x)=xf(x)-kx单调递增,求实数k的取值范围.     

亦谈周期函数与其导函数的周期

本刊92年第五期刊登了一篇题为“周期函数与其导函数的周期”的文章,该文证明了下述定理。定理非常值周期函数f(x)在R上有定义且连续,而f′(x)存在且可积,则f′(x)也为周期函数,并且f(x)与f′(x)有相同的周期。并举下例说明其应用。例设f(x)=x-2k,(2k≤r<2k+1) -x+2(k+1),k∈2 (2k+1≤x<2k+2) 则f(x)与f′(x)有相同的周期2。(见原文例3)。显然,上例中的f′(x)当x=k时,不存在,故上述例不满足定理之条件,故用上述定理得出其结果不妥。易见,条件“f′(x)存在且可积”是相当强的,以致于象f(x)=tgx这样常用的初等函数